連續時間圓形城市模型中的進入時機與產品差異化決策

張博 胡支軍

(貴州大學數學與統計學院,貴陽,550025)

1 引言

隨著時代的發展,市場上產品和品牌嚴重過剩,產品同質化無可避免地成為所有企業需要面對的一大難題.在此背景下,企業產品垂直特征日益趨同. 為了能夠在市場競爭中處于有利地位,越來越多的企業開始設計并生產具有水平特征差異的產品.例如,康師傅方便面制造商針對不同的人群,設計了紅燒、麻辣、酸菜等口味差異的產品,也設計了隨心杯、大食桶等分量差異的產品；又如位于同一航線上的航空公司,部分公司選擇相同的離港時刻,而另一部分公司則更愿意避免與其他公司在相同時刻離港.這種由于產品水平特征上具有差異,使得消費者對同質產品產生不同評價和感知效用的現象,在現代產業組織理論中被稱為橫向產品差異化.目前,企業通過采用橫向產品差異化策略,一方面,將不同類型產品的消費者區分開來,起到細分市場的作用；另一方面,使產品同質化帶來的激烈價格競爭得到緩解.因此,深入探討橫向產品差異化給企業競爭帶來的影響,對優化企業決策有著重要的理論價值和現實意義.

雖然產品差異化使企業避免了激烈的價格戰,但企業在投資時仍然面臨來自市場、技術和自然等各個方面的風險以及需要付出大量的不可逆投資成本. Dixit 和Pindyck[1]使用實物期權方法解決了企業在產品市場不確定環境下的不可逆投資決策問題；之后的學者又將期權定價理論和博弈論相結合得到期權博弈理論,以期得到多家企業在不確定環境下的競爭決策.但現有期權博弈文獻大部分將企業在不同市場階段的企業價值作為給定條件,無法表現出企業產品差異化和產品定價決策對企業價值的影響.為了更深刻地反映產品差異化對企業價值和企業競爭的影響,本文以經典的差異化模型—空間競爭模型為基礎,利用期權博弈方法對企業進入時機以及差異化水平進行分析,討論成本不對稱雙寡頭企業在圓形城市模型中的最優決策問題.

與本文相關的研究主要包括橫向產品差異化以及不對稱雙寡頭期權博弈兩個方面.橫向產品差異化的思想來源于Hotelling[2]提出的線性城市模型.該模型的主要假設包括:消費者沿著兩端有邊界的直線均勻分布；市場上僅有兩個企業進行競爭；每個企業僅生產一種產品. Hotelling[2]用消費者和企業之間距離的線性函數來表示消費者購買該企業產品需要支付的交通成本,指出同質產品由于所處的空間位置不同也會具有差異,將產品差異化問題轉化為最優選址問題,并提出企業選址應遵循最小差異化原則. D’Aspremont 等[3]則指出,當交通成本為二次函數的形式時,企業坐落在市場兩端,得到最大化差異原則. Ebina 等[4]在交通成本為二次函數時,研究了企業在連續時間線性城市模型中的進入時機以及產品差異化問題,認為企業選擇最大化產品差異還是最小化產品差異取決于市場期望收益率的大小. Ma 等[5]研究了混合雙寡頭在線性城市上的產品差異化問題. Bollinger 等[6]討論了進入成本相同的兩家企業在不斷增長的市場中的選址與投資時機問題.Sun[7]在空間競爭的背景下,研究了雙寡頭企業在預承諾博弈和搶占博弈中的投資時機問題.上述的文獻研究了企業在線性城市中的投資決策.線性城市的特點在于具有邊界和中心.在實際生活中,同樣存在著無邊界以及無中心的市場,其中最常見的為圓形市場. Salop[8]提出了另一個著名的空間差異模型—圓形城市模型,將企業等距定位作為給定條件,首次研究了圓形市場上企業的進入和并購問題.現有研究圓形空間競爭的文章較少,并多是沿著Salop 提出的框架研究企業的并購和進入問題,把最大化產品差異作為給定條件.但在實際投資決策中,企業需要考慮的首要問題是產品定位與企業選址,它們決定了企業的市場占有率和盈利能力.因此,一些學者對圓形市場上的企業選址問題進行了更深入的研究: Kats[9]導出了雙寡頭企業在圓形市場競爭選址中的純策略均衡,證明了Salop 模型中的等距定位為均衡解；Gong 等[10]討論了多家企業在圓形空間競爭中的均衡存在性問題；桂巍巍[11]在交通成本為二次函數時,探討了多寡頭企業在具有網絡外部性的圓形市場中的競爭選址問題.

Pawlina 和Kort[12]最早對不對稱雙寡頭期權博弈模型進行了研究,并指出兩家企業進入資本市場的渠道不同和對生產技術的掌握程度不同會造成企業間的投資成本不對稱.事實上,市場上幾乎不存在投資成本完全相同的兩家企業,并且不同企業間的成本不對稱程度也存在差異. Pawlina和Kort[12]分析了雙寡頭企業在投資成本不對稱時的決策行為,基于領導者和跟隨者的最優投資閾值完整地刻畫了企業競爭的搶先均衡、序貫均衡以及同時均衡,并證明市場的均衡狀態與企業的成本不對稱程度有關,將現有一些戰略實物期權模型歸納為統一的框架.之后一些學者也對不對稱雙寡頭期權博弈模型進行了研究: Smirnov 等[13]研究了投資成本不對稱的雙寡頭和三寡頭在持續增長的線性市場中的投資決策問題；Hoe 等[14]探討了領導者進入市場后的競爭優勢如何影響領導者最優進入決策和與跟隨者的斯塔克爾伯格戰略互動；楊巧曼和劉亞相[15]則利用期權博弈方法研究了企業在先占和非先占情況下的投資時機和企業價值問題；Ebina 等[16]將市場不確定性引入連續時間線性城市模型中,通過期權博弈方法研究了在投資成本不對稱條件下的企業產品定位和投資時機決策問題.

上述文獻中,文獻[2-11]研究了企業的差異化選擇與定價策略,文獻[4-7]討論了企業的投資時機問題,但都限于在確定性的環境中進行討論,沒有考慮到產品投入市場的收益是不確定的.文獻[12-14]研究了企業在不確定環境下的投資時機問題,但企業收益都是直接給定的,沒有考慮到企業收益是企業多方面決策得來的結果.文獻[15,16]同時研究了兩方面的問題,得到了企業在不確定環境下的差異化選擇、產品定價以及投資時機,但都只在線性城市中對問題進行了討論,沒有考慮圓形城市的情況.

本文將Ebina 等[16]提出的線性城市模型推廣到圓形城市模型,在圓形城市中討論市場不確定問題,研究不對稱雙寡頭在市場需求隨機變化情況下的企業投資決策問題,對現有的圓形城市空間競爭模型進行拓展.與Ebina 等[16]的結論不同,本文得到: (1)由于圓形市場具有無邊界以及無中心的特點,無論跟隨者的選址如何,它進入市場后兩家企業制定的價格總是相同的；(2)無論市場波動率如何變化,產品差異最大化在圓形市場中總是成立；(3)由于跟隨者的進入時機不依賴于領導者的選址,隨著市場波動率的增加,跟隨者的進入時機是單調增長的；(4)成本優勢企業總是希望成本不對稱程度加大,而成本劣勢企業則相反.

2 模型建立

考慮生產同質產品的企業1 和企業2,它們都打算在某一圓形城市上出售產品,產品的需求者在圓形城市的圓周上均勻分布.不失一般性,假設圓形城市周長為1,同時消費者只能沿著圓周移動購買產品.

為了保證模型的可解性,假設市場上的企業和消費者都是理性的:位于x ∈[0,1)的消費者只會選擇購買給自己帶來最高效益的產品,同時企業會在市場中做出令自己利益最大化的決策.假設消費者交通成本為二次函數,即當消費者從位于xn ∈[0,1)的企業購買產品時,會支出二次交通成本cm2n.其中,mn=min{|x-xn|,1-|x-xn|},n ∈{1,2}.在[t,t+dt)時間內每個消費者最多購買一個單位的產品,并在購買時支付價格pnt.總而言之,t ∈[0,∞)時,位于x ∈[0,1)的消費者購買產品獲得的效用由下式給出:

其中, ˉu表示產品帶給消費者的效用,c是該產品的單位運輸成本,用于刻畫產品之間的橫向差異化程度.除了滿足以上的模型基本設定外,模型還應滿足如下的假設.

假設1 ˉu>3c/4.

假設1 保證了市場上有至少一家企業存在時,無論企業選址于市場的何處位置,每個消費者都有興趣購買產品.

下面將不確定性引入圓形城市中,假設市場需求(或消費者分布密度)Yt隨機變化.

假設2Yt服從如下的幾何布朗運動:

其中α為市場的期望增長率,σ為市場波動率,{Wt}t≥0為標準布朗運動.

假設2 指出每家企業的未來利潤流是不確定的,并且遵循幾何布朗運動.同時假設過程初值Y0=y0且y0足夠小,表明實際情況中市場初始規模很小,兩家企業都沒有動機在最初時候進入市場.

假設3F1=F1.

假設3 表明,企業1 相較企業2 具有成本優勢. 若兩家企業同時投資,企業1 所需要的投資成本更少.κ的大小反映了兩家企業成本的不對稱程度,κ越大,兩家企業成本不對稱程度越大；κ越接近1,兩家企業成本不對稱程度越小.

基于上述模型假設,企業的最優投資時機即為市場需求第一次到達企業投資閾值的時刻,由如下的最優隨機停時決定:

圖1 圓形市場雙寡頭競爭模型

3 跟隨者的最優投資策略

3.1 最優價格制定策略

根據Ebina 等[4]的結論,企業的產品定價只與市場結構有關.在本文的模型中,只有領導者或跟隨者進入市場時市場結構才會發生變化,企業的定價策略才需要改變.由此可得,企業的總利潤最大化問題即企業進入市場時的瞬時利潤最大化問題.通過最大化企業的利潤得到命題1.

由假設1 可以得出式(3.3)在?x1∈[0,1/2]時恒大于0,因此,領導者企業在壟斷時制定的價格即為?x1取1/2 時的價格pMi.

根據Ebina 等[4]的結論,雙寡頭的價格制定只與市場結構有關,即只在跟隨者進入市場時兩家企業的價格才會發生改變,由此可得企業的總利潤最大化問題即為企業在進入時的瞬時利潤最大化問題.求解兩家企業的定價問題即解決式(3.1)和式(3.2)的最優化問題.利用一階條件可得:

求解式(3.4)即可得到命題1 的結果.證畢.

當t ∈[Ti(yli),Tj(yfj)]時,市場中只存在領導者.由于領導者總是定位于xi=0,最遠的消費者位于x= 1/2,而領導者期望在所有消費者購買產品的約束下將其利潤最大化,因此領導者將產品定價為pMi,使離領導者最遠的消費者對于購買與不購買產品持無所謂的態度.pDn,n ∈{i,j}則是跟隨者進入市場時兩家企業靜態博弈的結果.命題1 表明,當兩家企業同時存在于市場時,它們的產品定價策略相同,這與線性城市模型中得到的結果不同.下面將結合兩家企業的瞬時利潤對該結果進行分析.

結果表明,跟隨者進入市場后,兩家企業總是獲得相同的利潤.這是因為,在消費者分布均勻的情況下,無差異效用點總是位于兩家企業路徑上的中點,兩家企業的市場占有率相同,因而獲得利潤相同.在圓形市場中,從跟隨者的角度看,領導者的選址總是固定的,市場不存在中心位置,使得領導者可以通過選址獲得更多的市場占有率.此外,由命題1 還可以得到,隨著產品差異化的增加,兩家企業獲得的利潤增加.

3.2 跟隨者的選址與最優投資閾值

由于xj ∈[0,1/2],且r-α>0,c>0,式(3.7)總是大于0. 命題得證.

命題2 表明,跟隨者總是選址在相對于領導者最遠的位置,即最大化差異原則在圓形市場中總是成立.這樣的結果來源于消費者的交通成本為距離的凸函數形式. 隨著距離的增加消費者的交通成本快速增加,企業通過最大化產品差異減少消費者的整體交通成本,從而提高產品價格以獲得更大的利潤.確定跟隨者選址策略后,可得到跟隨者的價值函數如下:

式(3.8) 在實物期權文獻中被廣泛運用. 根據經濟學中常用的NPV 標準, 企業應將閾值設置為(r-α)Fj/πDj(1/2).在本文的模型中,由于β/(β-1)大于1,可得到式(3.8)大于NPV 閾值.對于此結果,一種符合直覺的解釋為:由于企業投資成本的不可逆性以及市場的不確定性,企業有動機等待市場規模發生演變以保證在最佳的時機進入市場.

Solving this equations, under the action of overturning moment, and the maximum axial force of support plates is

4 領導者的策略與均衡

4.1 占優序貫均衡

經濟學、市場營銷學和心理學的大量研究表明,時間優勢存在于各種競爭環境中.在市場競爭中,該情況出現是由于某家企業相對其他企業有著更小的投資成本或生產成本,此時企業預期更早進入市場以獲得更大的利潤.這種由于某一家企業具有明顯的優勢,使得另一家企業默認由優勢企業先進入市場的均衡,稱之為占優序貫均衡.兩種情況的發生會使得企業之間形成占優序貫均衡:兩家企業中某一家企業有作為領導者進入市場的動機,而另一家企業選擇繼續觀望一段時間后再進入市場；兩家企業都有作為領導者的動機,而某一家企業的投資閾值小于另一家企業.為討論兩家企業作為領導者與跟隨者的利潤差別,定義ξi(y;xi,xj)如下:

當上述兩種情況中的任一種成立時,企業i相比于企業j更早進入市場,兩家企業競爭達成占優序貫均衡條件.ξj(y;xi,xj)反映了跟隨者對先發優勢和觀望市場帶來價值的權衡,當兩家企業的成本不對稱程度很大時,企業2 相較于企業1 需要付出更大的代價來獲得先發優勢.由于市場具有不確定性,進入成本較大的企業2 會選擇花更多的時間來觀望市場變化,以獲得更多的利潤.事實上,當成本不對稱程度κ=F2/F1很大時,市場只存在占優序貫均衡,此時具有成本優勢的企業1 總是作為領導者進入市場.

定理1 表明, 隨著市場不確定性增加, 等待的價值增加, 企業1 的進入時間推遲, 與Dixit 和Pindyck[1]的結論相符.雖然企業1 的進入被推遲,但后續的數值計算將表明,當成本不對稱程度κ很大時,不管市場波動率如何變化,占優序貫均衡總會發生,企業1 按照領導者的最優投資時機進入市場,而企業2 按照跟隨者的最優進入時機進入市場.

這表明權重跟折現因子r的大小以及兩家企業進入的時間差有關.在本文的模型中,領導者的選址決策并不會影響跟隨者的決策,且在雙寡頭競爭階段兩家企業總是平分整個市場,因此跟隨者在圓形城市中的決策與線性城市中的決策有著本質的不同,我們有如下命題3.

命題3 給出了序貫均衡中領導者和跟隨者的選址、投資閾值以及定價策略,該均衡解的具體取值依賴于折現率r和市場規模動態參數等參數的選取.

4.2 搶占均衡

命題5 給出了在搶占均衡中兩家企業的選址、投資閾值以及定價策略,該均衡解的具體取值同樣依賴于折現率r和描述市場規模動態的參數等.

4.3 同時進入均衡

同時進入均衡意味著兩家企業將在同一時刻進行投資,但此均衡并非兩家企業通過合作確定在某一時刻同時進入市場,而是兩家企業在非合作情況下的博弈結果.雖然同時進入均衡是非合作博弈的結果,但這種均衡被稱為默契共謀,因為企業同時進入市場能獲得更多的利潤也就意味著市場中存在“某種隱性的協調”,使得對于兩家企業來說有比搶占市場更好的獲得利潤的方式.

命題6 在市場需求隨機變化的圓形市場模型中,同時進入均衡不會作為均衡結果出現.

Ebina 等[16]指出,只有當兩家企業已經在市場上競爭,并且面臨著從現有資產中攫取利潤的風險時(如創新投資),這種均衡才有可能實現.換言之,只有在現有利益可能會損失的情況下,默契共謀才是可持續的.在本文的模型中,企業在進入市場前沒有任何的利潤.并且在成本不對稱的情況下,兩家企業沒有協調的動機.因此,在本文的模型中,同時進入均衡不會作為均衡結果出現,即對于任何一家企業來說,失去現有利潤的威脅都不存在.

5 數值分析

從本文第4 節的分析可以得到,市場的均衡類型跟兩家企業的成本不對稱程度κ密切相關:當1<κ<κ?時,市場發生搶占均衡；當κ?≤κ時,市場發生序貫均衡.其中,κ=F2/F1與兩家企業的投資成本有關,臨界值κ?則與市場的波動率σ以及市場的期望增長率α有關.由于臨界值κ?不存在解析解,本文將通過數值分析給出市場動態參數σ和α對市場均衡的影響,并計算κ?的數值解,同時對第4 節得到的結論進行驗證.

5.1 波動率對市場均衡的影響

由于企業競爭的均衡類型與企業間的成本不對稱程度κ有關,本節將分兩種情況來對市場均衡進行討論,其他參數如表1 所示.

表1 基礎參數的取值

第一種情況:κ= 8. 首先考慮成本不對稱性較大的情況.通過數值計算可以得到,無論市場波動率如何變化,序貫均衡都會發生,如表2 所示.

表2 給出了σ ∈{0.0001,0.1,0.2,...,1}時兩家企業的均衡結果.從表2 中可以看出,兩家企業僅有投資閾值隨著波動率的改變而改變,這與Ebina 等[16]得到的結論不同. 在圓形市場中,從跟隨者的角度看領導者的位置是始終固定的,領導者的選址決策不影響跟隨者的選址決策,兩家企業只會分布在圓形市場某一條直徑的兩端.而當企業位置確定后,企業產品價格也確定了.因此波動率的增加,只會推遲兩家企業的進入時間,即市場不確定性越大,企業等待所帶來的價值也就越大.

表2 κ=8 時波動率對均衡結果的影響

第二種情況:κ= 1.1.我們考慮成本不對稱程度較小的情況.通過數值計算可以得到,無論市場波動率如何變化,搶占均衡都會發生.

表3 給出了當σ ∈{0.0001,0.1,0.2,...,1}時兩家企業的均衡結果.與表2 的結果一致,隨著市場波動率的增加,只有企業的投資閾值發生變化,并且投資閾值隨著波動率的增加而增加.同時,表3 的結論與Ebina 等[16]的結論有著本質上的不同:在線性城市中,跟隨者的進入時機依賴于領導者的選址,因此跟隨者投資閾值隨波動率的變化是非單調的；而在圓形城市模型中,跟隨者的進入時機與領導者位置無關,因此跟隨者投資閾值隨波動率的變化是單調的.

表3 κ=1.1 時波動率對均衡結果的影響

表2 和表3 表明,不管兩家企業所處的均衡狀態如何,市場的不確定性增加時,兩家企業都更愿意延遲投資時間.從投資閾值的角度看,雖然企業2 在κ= 8 時的投資閾值更高,但在κ= 8 時

5.2 期望增長率對市場均衡的影響

考慮波動率σ=0.5,κ=8 時,期望增長率α對均衡結果影響,如表4 所示.

表4 κ=8 時期望增長率對均衡的影響

5.3 成本不對稱程度對市場均衡的影響

同樣考慮市場波動率σ= 0.5 的情況,兩家企業在不同成本不對稱程度下的均衡結果如表5所示.同時通過式(4.5)可以得到κ?=4.7707.

從表5 中可以看出,當成本不對稱程度較小時,兩家企業形成搶占均衡；而當成本不對稱程度較大時,兩家企業形成序貫均衡,這與之前的分析是一致的.當兩家企業處于搶占均衡時,盡管企業1 的投資成本不變,但是隨著成本不對稱程度減小,企業1 投資閾值也減小；而在序貫均衡時,隨著成本不對稱程度減小,企業1 的投資閾值保持不變.原因在于,當兩家企業處于搶占均衡時,成本不對稱程度越小,企業2 搶先進入市場的動機也就越大,企業1 不得不更加提前進入市場防止被企業2 搶占,從而投資閾值減??；當兩家企業處于序貫均衡時,企業2 沒有動機搶占市場,因此,企業1 始終在最優的投資閾值時進入市場,而隨著成本不對稱程度增加,企業2 投資成本增加,企業2 的投資閾值也隨之增加.此外,從表中可以得到κ?的值介于4.7-4.8 之間,與計算得到的κ?=4.7707 相符.

表5 κ 不同時的均衡結果

6 結語

本文將Ebina 等[16]提出的線性城市擴展到圓形城市,討論了不對稱雙寡頭企業在市場需求不確定的圓周型市場中的產品差異化與投資時機問題,運用期權博弈模型以及逆向歸納法推導出了企業的最優進入時機、最佳選址以及產品最優定價,對現有的空間競爭文獻進行了拓展.相較于線性城市,圓形城市具有無邊界以及無中心的特點,每個企業的兩側都有著競爭對手,先進入市場的企業也不存在位置優勢,使得企業在圓形城市中的投資決策與在線性城市中有著很大的不同.本文通過對企業的投資期權價值與投資決策之間的相互影響進行詳細探討,得到圓形城市中確定均衡策略的同時,為相關企業（如餐飲、加油站、旅館等）在圓周型市場上進行投資決策提供了一定的理論依據和實踐指導.研究發現:

(1)無論兩家企業的成本不對稱程度如何,當市場的不確定性增加或市場期望收益率減少時,兩家企業都應推遲投資時機；

(2)成本優勢企業在投資時應注意成本劣勢企業的投資成本,當兩家企業的成本不對稱程度大于臨界值時,成本優勢企業按照最優進入時機進入市場；當兩家企業的成本不對稱程度小于臨界值時,成本優勢企業則需要提前進入市場避免成本劣勢企業搶占市場；

(3)成本劣勢企業需要隨時關注市場,若成本優勢企業在成本劣勢企業可以搶占市場時未進入市場,則可及時進入市場獲得更多的利潤；若成本優勢企業搶占市場,則選擇作為跟隨者進入市場；

(4)當交通成本為二次函數時,兩家企業以最大化差異原則定位于圓形市場同一直徑兩端,可以使企業的利潤達到最大.

本文只考慮了橫向差異化的情況,在今后的研究中,可以考慮縱向差異化以及雙維度差異化的情況.