隨機激勵下油氣懸架系統的非線性振動分析

王靖岳，付彥植，王浩天，王軍年

(1.沈陽理工大學 汽車與交通學院， 沈陽 110159；2.吉林大學汽車仿真與控制國家重點實驗室， 長春 130025;3.沈陽航空航天大學 自動化學院， 沈陽 110136)

0 引言

油氣懸架是以油液作為傳力介質，以氣體作為彈性介質的一種懸架,具有良好的非線性剛度特性和非線性阻尼特性。近年來油氣懸架的研究受到了越來越多人的關注。對于油氣懸架的研究主要集中在非線性動力學方面，油氣懸架的混沌運動分析也就成為了其中的重要一環。Cui等[1]提出了一種將非線性減震器模型集成到車輛模型中進行系統識別的方法。Andrievskii等[2]討論了幾種新型非線性控制方法在機械系統控制中的應用。Cao等[3]建立了連通式油氣懸架的油氣彈簧模型，研究了在不同連通方式下的抗俯仰與側傾的性能。Solomon等[4]建立了一種新型的物理模型并應用于工程車輛進行分析。徐道臨等[5]針對單氣室油氣懸架特點提出了參數化和非參數化2種方法，并且對參數化建模進行了深度研究。牛冶東等[6]構建了隨機激勵下車身垂向加速度均方根值為目標函數的優化模型，分析了懸架剛度和阻尼特性對于車身的影響。Zheng等[7]研究了具有遲滯非等線性特性的單自度懸架模型在隨機激勵下的混沌運動。楊用增等[8]建立了輪式拖拉機的完整三維多體動力學模型，對4種不同工況下的動態效果進行了比較研究。并且研究了油氣彈簧內部參數對拖拉機系統振動特性的影響。李辰等[9]基于BWR真實氣體狀態方程建立懸架內部熱量變化數學模型，搭建仿真模型和試驗臺進行驗證，很好地反應真實車輛在正常運行時其內部熱力學狀態以及對外動力學變化。王靖岳等[10]將油氣彈簧的彈性力進行了線性化等效，得到了2自由度懸架系統的振動位移響應以及概率分布，提出了限位裝置設計依據和計算方法。李碩[11]在考慮了活塞與內腔壁的動、靜摩擦力，及油液壓縮性等因素情況下研究了輸出力與阻尼力的變化規律，并研究了輸出力和阻尼力的影響因素。

本文在以上研究的基礎上，建立了1/4車體2自由度油氣懸架的數學模型，在路面隨機激勵下，分析了車身的速度在外界激勵以及內部參數變化下的分岔以及混沌現象。

1 系統的模型和運動微分方程

圖1所示為2自由度油氣懸架模型。

圖1 2自由度油氣懸架模型示意圖

根據牛頓第二定律可以建立此模型的動力學方程：

(1)

式中：m1為車身部分的質量；m2為車輪的質量；q為輪胎的剛度系數；z1為車身部分在行駛過程中的位移；z2為車輪在行駛過程的位移；z0為隨機路面激勵，模型不考慮輪胎阻尼對系統的影響；FC為非線性阻尼力；F為油氣彈簧非線性彈性力，具體關系式如下[11]。

(2)

(3)

式中：P0為氣室的初始壓力，在這里2個氣室的初始體積相同；V0為初始體積；Z為活塞桿的相對位移，在這里也可以表示為z1-z2；γ為氣體多變指數；Cd為阻尼孔和單向閥的流量系數；ρ為液壓油密度；AZ為阻尼孔等效截面面積；A1和A2分別為油氣彈簧2個腔的有效截面面積；AD為單向閥的等效面積；ΔA=A1-A2為2個腔的有效面積；sign(x)所代表的是符號函數。由于F非線性項在分子上導致后續計算困難，因此要對F泰勒展開。可以得到彈性力為:

f(δ)=k1(z1-z2)+k2(z1-z2)2+k3(z1-z2)3

(4)

在油氣懸架下方施加一個隨機路面激勵作為輸入，隨機激勵通過正弦激勵疊加高斯白噪聲來模擬，即：

z0(t)=(B+eξ(t))sinωt

(5)

式中：B為隨機激勵的激勵幅值；e為白噪聲強度；ξ(t)為標準正態白噪聲，這里用Monto Carlo方法來模擬隨機數，ξ(t)相當于一個滿足正態分布的隨機變量，在某一時刻t(0)，ξ(t)的取值均為一個隨機數，用此方法即可得到隨機激勵。

將式(3)(4)和式(5)代入(1)中可得：

(6)

(7)

2 分岔與混沌分析

2.1 激勵幅值對系統分岔和混沌影響

選取某車型參數為[11]:m1=1 300 kg,m2=190 kg,ρ=900 kg/m3,q=1 463 000 N/m,P0=3 500 000 Pa,V0=0.002 5 m3,Cd=0.7,A1=0.009 503 m2,A2=0.003 142 m2, ΔA=A1-A2=0.006 361 m2,Az=AD=0.000 196 4 m2,g=9.8 m/s2,e=0.01,ω=12.56 rad/s。用4-5階Runge-Kutta法對式(6)進行積分，積分1 000個周期，舍去前800周期保留后200個周期，得到油氣懸架車身部分的速度在隨機激勵路面下的分岔圖，如圖2所示。李雅普諾夫指數圖如圖3所示，并通過龐加萊截面、相圖、時間歷程圖、功率譜圖對于系統所處狀態進行證明。

圖2 油氣懸架車身部分的速度在隨機激勵路面下的分岔圖

圖3 油氣懸架車身部分的速度在隨機激勵路面下的李雅普諾夫指數圖

當B∈(0,0.14)時系統并沒有發生分岔情況，取B=0.14 m時，如圖4所示，Poincaré映射圖顯示為一條封閉的曲線，系統相圖顯示為規律封閉的曲線，時間歷程圖顯示規則為有序的譜線，功率譜圖為離散的單獨的譜線，系統做擬周期運動。當B∈(0.141,0.151)時系統做周期2運動。當B∈(0.152,0.192)時系統進入混沌狀態。取B=0.155 m時，如圖5所示，Poincaré映射圖顯示為無規則密集的點，系統相圖顯示為雜亂無章的曲線，時間歷程圖顯示為無規則譜線，功率譜圖顯示為連續的譜線。當B∈(0.193,0.268)時，系統做周期1與周期2相互交互的運動。當B∈(0.269,0.286)時，系統做周期運動并伴隨著短暫的混沌運動。當B∈(0.287,0.32)時，系統做穩定的周期2運動。當B=0.14 m時，系統做周期7運動，取B=0.14 m，如圖6所示，Poincaré映射圖顯示為7個離散的點，系統相圖顯示為規則有序的曲線，時間歷程圖顯示為規則有序的譜線，功率譜圖顯示為離散的單獨的譜線。當B=(0.326,0.348)系統做周期2運動并伴隨著短暫的混沌運動。當B=0.14 m時系統做周期1運動。當B=0.14 m時系統做周期3運動。當B=0.14 m時系統又做周期1運動。上述結果說明：當汽車行駛在比較平坦的路面即激勵幅值比較小的路面時不會發生混沌，在特定的激勵幅值之間才會發生混沌運動。

圖4 當B=0.14 m時系統各參數曲線和圖譜

圖5 當B=0.155 m時系統各參數曲線和圖譜

圖6 當B=0.322 m時系統各參數曲線和圖譜

2.2 激勵圓頻率對系統分岔和混沌的影響

其他參數不變，隨機激勵的激勵幅值取0.15 m,以激勵圓頻率ω為分岔參數，可得系統在ω∈(0,20)分岔圖，如圖7所示。當ω∈(12.6,20)時，系統做周期1運動。當ω∈(9.7,12.5)時，系統做周期2運動。當ω=8.8 rad/s時，系統做周期3運動，如圖8所示，Poincaré映射圖顯示為3個點，系統相圖顯示為規律封閉的曲線，時間歷程圖顯示為規則有序的譜線，功率譜圖顯示為離散的單獨譜線。當ω∈(0,9.6)時，系統又做周期1運動。并且在(2,3.4)和(7.6,8.2)之間系統又發生跳躍現象。

圖7 系統隨ω變化的分岔圖

圖8 當ω=8.8 rad/s時系統各參數曲線和圖譜

2.3 阻尼孔等效面積對系統分岔和混沌的影響

其他參數不變，隨機激勵的激勵幅值取0.15 m，激勵頻率為ω=12.56 rad/s,以阻尼孔等效面積Az為分岔參數，可以得到Az∈(0.000 1,0.001)的分岔圖，如圖9所示,李雅普諾夫指數圖如圖10所示。

圖9 系統隨Az變化的分岔圖

圖10 系統隨Az變化的李雅普諾夫指數圖

當Az∈(0.000 1,0.000 119)時，系統做周期1運動。當Az∈(0.000 12,0.000 483)時，系統做周期2運動。當Az∈(0.000 484,0.001)時，系統做周期8運動，并伴隨著短暫的混沌運動。當Az=0.000 888 m2時，如圖11所示，Poincaré映射圖顯示為無規則密集的點，系統相圖顯示為雜亂無章的曲線，時間歷程圖顯示為無規則譜線，功率譜圖顯示為連續的譜線，系統處于混沌狀態。由此可以看出，隨著阻尼孔等效面積的增大，系統的穩定性將逐漸降低，甚至發生混沌運動，因此，在設計油氣彈簧阻尼孔等效面積時，應盡量將阻尼孔面積選取得小一些。

圖11 當Az=0.000 888 m2時系統各參數曲線和圖譜

2.4 氣室的初始壓力對系統分岔和混沌的影響

其他參數不變，以氣室的初始壓力P0為分岔參數，可以得到P0∈(240 400 0,306 600 0)時的分岔圖如圖12，李雅普諾夫指數圖如圖13。

圖12 系統隨P0變化的分岔圖

圖13 系統隨P0變化李雅普諾夫指數圖

當P0∈(240 400 0,306 600 0)時，系統做周期1和周期2的混合運動。當P0∈(2 404 000,3 066 000)時，系統做周期5運動。當P0∈(2 404 000,3 066 000)時，系統做周期2運動，并伴隨著短暫的多周期運動。當P0∈(3 067 000,3 562 000)時，系統做混沌運動，取P0=3 140 000 Pa時，如圖14所示，Poincaré映射圖顯示為無規則密集的點，系統相圖顯示為雜亂無章的曲線，時間歷程圖顯示為無規則譜線，功率譜圖顯示為連續的譜線，系統處于混沌狀態。當P0=3 140 000 Pa時做周期2運動，當P0=3 140 000 Pa時系統退化為周期1運動。

圖14 當P0=3 140 000 Pa時系統各參數曲線和圖譜

2.5 氣室的初始體積對系統分岔和混沌的影響

其他參數不變，以氣室的初始體積V0為分岔參數，可以得到V0∈(0.001 5,0.003)時的分岔圖如圖15所示，李雅普諾夫指示圖如圖16所示。當V0∈(0.001 5,0.001 76)時系統做周期1運動并伴隨短暫的多周期運動，當V0∈(0.001 77,0.002 049)時系統做周期2運動并伴隨短暫的多周期運動。當V0∈(0.002 050,0.002 144)時系統做周期8運動。

圖15 系統隨V0變化的分岔圖

圖16 系統隨V0變化的李雅普諾夫指數圖

當V0∈(0.002 179,0.002 543)時，系統處于混沌狀態，取V0=0.002 225 m3時，如圖17所示，Poincaré映射圖顯示為無規則密集的點，系統相圖顯示為雜亂無章的曲線，時間歷程圖顯示為無規則譜線，功率譜圖顯示為連續的譜線，系統處于混沌狀態。當V0∈(0.002 544,0.002 586)時，系統做周期2運動。當V0∈(0.002 587,0.003 000)時，系統退化為周期1運動。

圖17 當V0=0.002 225 m3時系統各參數曲線和圖譜

3 結論

基于本文所建立的2自由度油氣懸架系統在隨機激勵作用下存在著混沌和分岔現象，系統在外界激勵幅值的影響下會發生擬周期運動、周期運動和混沌運動的情況，在特定的激勵幅值區間內會發生混沌運動；系統在激勵頻率的影響下不會發生混沌運動，但是在特定頻率下發生跳躍現象；隨著阻尼孔等效面積的增大，系統的穩定性將逐漸降低，甚至會發生混沌運動；系統在氣室初始壓力的影響下會發生周期運動和混沌運動的情況，在特定的壓力區間處于混沌狀態；系統在氣室的初始體積的影響下會產生周期運動和混沌運動，在特定的體積區間處于混沌狀態。通過合理地選取汽車結構參數會有效地提高汽車的行駛平順性。本文主要研究了2自由度懸架的非線性動力學特性，接下來將對4自由度懸架的非線性動力學特性進行研究。