混合式步進電機自抗擾控制器狀態觀測反饋優化方法

劉 藝,劉寶泉,魯毛毛,韓 猛,張浩銘

(陜西科技大學 電氣與控制工程學院， 西安 710021)

0 引言

步進電機由于具有調速范圍寬、制造成本低、可開環控、易于起動等特點被廣泛用于工業和消費類應用[1]。但因其使用的開環控制方式和齒槽轉矩的存在，導致其存在輸出轉矩脈動問題。當負載轉矩發生變化時，失步變得非常嚴重[2-3]。目前，較為常用的解決方法是PI控制，但由于電機運行非線性、電磁轉矩和齒槽轉矩中產生的各種干擾量及非正弦分量，使得針對線性系統的傳統PI控制應用受到一定限制。

針對步進電機的振動及加載后抗擾能力差的問題，目前主要采用閉環控制提升運動性能，分為線性和非線性控制兩大類。線性控制主要為以傳統PI控制結合轉矩矢量控制算法，對兩相混合式步進電機定子繞組電流的相位和幅值進行控制[4]。文獻[5]采用矢量控制和調制方式設計步進電機驅動器，對減弱低頻振動、改善系統動態性能有一定的效果。文獻[6]和文獻[7]在PI控制的基礎上用矢量控制算法對定子電流進行細分，改善了電機的步進波動和定位精度，但派克和逆派克變換中包含大量高計算量的三角函數運算，這些坐標變換操作消耗了大量處理器運算資源。文獻[8]提出了新無傳感器控制方案，參考電流由電流變換方程提供，所有信號定義在固定a-b坐標下，故不再需要使用坐標變換將電壓和電流在a-b和d-q坐標間轉換，顯著降低了微控制器計算量，提升了電機相電流及轉子位置的實時跟蹤效果。基于上述調研發現，傳統PI控制的精度很容易受參數變化的影響，且不能隨系統需要實時調整，雖然魯棒性較強，但對于抑制電機轉矩脈動效果有限。

針對系統高精度控制，研究人員提出了非線性控制方法，在保證PID控制器優點的前提下，文獻[9]提出了滿足非線性系統控制要求的自抗擾控制器，但其主要用于永磁同步電機中。文獻[10-12]針對永磁同步電機采用速度、電流雙閉環的自抗擾結合PI的綜合控制方法，在轉速環使用自抗擾控制器，使步進電機在中高速區能夠實現PMSM調速平穩無超調及快速響應，在負載劇烈變化的工況下ADRC控制器抗干擾能力優于 PI 控制器，且轉矩波動減小。文獻[13]提出了一種具有負載轉矩反饋的PMSM動態面控制策略提高控制系統的控制性能，使轉速在負載變化時波動變小，且恢復時間短。文獻[14]提出了基于ADRC的位置環和PI控制的電流雙閉環控制算法。文獻[15]在位置環使用自適應遺傳算法對自抗擾控制器參數進行在線優化，但并未對電流、轉矩和轉速進行分析。根據前文所述，ADRC主要應用于PMSM領域，但由于其具有較多的控制參數需要調節，且調節過程復雜繁瑣，因而需要更強大的計算能力。而控制器運算能力不足會使系統延遲跟蹤，同時拉低電機的響應速度，在低成本步進電機應用領域的適用性較差。雖然有部分文獻對此進行了嘗試，但僅應用于位置環，鮮有在速度環中的應用分析。

1 兩相混合式步進電機的數學模型

1.1 兩相靜止坐標系下的數學模型

兩相混合式步進電機電磁轉矩方程和運動方程分別表示為：

ZrMsrIm(-iAsinθe+iBcosθe)

(1)

(2)

兩相混合式步進電機轉子中間鑲入永磁體，鐵芯兩段呈現不同的極性[16-17]，其結構見圖1。根據電機模型，得出電機電壓方程，見式(3)。

圖1 兩相混合式步進電機結構示意圖

(3)

式中：UA、UB，iA、iB，rA、rB分別為A、B相定子電壓、電流及電阻；ω為角速度；θ、Zr、ωr分別為轉子的位置、齒數及角速度；B為黏滯阻尼系數；J為轉動慣量；TL為負載轉矩。

由步進電機一相等效電路可得其電磁轉矩表達式為：

T=E0I/ωm

(4)

式中：E0為反向電動勢。電機的電磁轉矩和齒槽轉矩中的非正弦分量也會導致運動過程中產生諧波，對電機實際運行產生影響。在考慮三次諧波的影響下，電機的交鏈磁通可表示為：

(5)

式中：K1、K3分別為基波和三次諧波系數。若電機為細分控制，則結合式(4)和式(5)，電磁轉矩可表示為：

Te=iA(dφA/dθ)+iB(dφB/dθ)=

Iφ[K1sinδ-3K3sin(2ωt-3δ)]

(6)

式中：第1項為恒定轉矩，第2項為含ω的振動轉矩。

1.2 d-q旋轉坐標系下的數學模型

兩相混合式步進電機矢量圖見圖2。α、β軸上分別為A、B兩相的定子繞組，引入d-q坐標系，α軸與d軸夾角為轉子的位置角，可得：

圖2 兩相混合式步進電機矢量圖

(7)

式(2)和式(7)聯立，得到d-q笛卡爾坐標系下電磁轉矩方程為：

Te=Zr(Ld-Lq)idiq+ZrMsrImiq

(8)

式(8)中：

(9)

因此，在d-q坐標系下步進電機電壓方程為：

(10)

式中Rs為定子每相的電阻。

將式(8)中電磁轉矩Te解耦，采用id=0控制方法，即等效為定子電流只在d軸產生熱量，在q軸產生電磁轉矩，電磁轉矩只和iq相關，可將式(8)簡化為：

Te=ZrMsrImiq

(11)

可知，電機電流iq影響電機電磁轉矩。

綜上所述，電機轉矩脈動的主要影響因素為電機運行中各種干擾量及電磁轉矩和齒槽轉矩中產生的非正弦分量。

2 觀測器反饋的ADRC控制器

2.1 ADRC控制理論

圖3 自抗擾控制器結構框圖

以1階系統為例，假定系統的狀態方程為：

(12)

式中：w(t)為外擾；f(y,w(t),t)為總擾動；u、b分別為控制量及其補償因子。令x=y，則式(12)轉換為：

(13)

狀態方程經過TD得到：

(14)

式中：v、v1分別為系統給定的參考信號及給定轉速的跟蹤值;v1和v的誤差經過fhan函數處理，得到v的近似微分信號。其中，非線性函數fhan(x,r,h)定義為：

(15)

(16)

式中：r值決定跟蹤速度。濾波因子h與采樣周期相關聯，對控制過程中的噪聲進行過濾。

1階系統ESO數學模型表示為

(17)

式中：z1，z2分別為y的跟蹤信號和ESO對系統內外擾動估計值。ADRC的控制性能取決于狀態觀測器觀測值的準確性。α1、α2的取值規律為α1=0.5α2；濾波因子δ>0；β01、β02為可調節參數；e為v1與z1差值。

式(17)的1階系統的NLSEF數學模型為：

(18)

式中：β1、δ1、α3分別為可調參數、濾波因子及非線性因子。NLSEF中的可調參數與ESO中的可調參數獨立，可分別進行整定：

(19)

對控制量輸出劃分的目的是提高控制精度及其性能。

2.2 OF-ADRC控制算法

傳統ADRC雖然能夠降低系統內外干擾誤差，但微分器環節和擴張狀態觀測器環節計算復雜，會使系統延遲跟蹤，同時拉低了電機的轉速響應速度，故取消其TD環節，直接將系統給定轉速作為輸出；使用擴張狀態觀測器模塊計算，用實際轉速代替其輸出z1，僅使用觀測器中的最主要部分對系統擾動量進行觀測。觀測器反饋的自抗擾矢量控制過程如圖4所示。

圖4 狀態反饋的混合式步進電機矢量控制過程框圖

設fal(e,α,δ)為非線性函數，其表達式定義為：

(20)

則改進的控制器完整形式如式(21)所示，式中nref為參考轉速；v為跟蹤微分器輸出；跟蹤微分器輸出e1為nref與n之差；e2為e1積分；控制量u由z2前饋補償后得到。

(21)

由混合式步進電機運動方程可得：

(22)

TL為外部干擾；B、J為內擾，均為不可估算的不確定項。基于OF-ADRC的控制，設w(t)為系統所受內外擾動的和：

(23)

基于混合式步進電機運動方程，電磁轉矩的參考值是轉速環輸出值，得到速度環的控制規律為：

(24)

式中：b1為最終控制量的補償因子，其參考值為1/J，根據系統反饋情況對補償因子進行調整。在矢量控制id=0時，電磁轉矩的微分形式表示為：

(25)

將式(10)代入式(25)中，可得

(26)

令

(27)

將w2(t)看作擾動項，由速度環的控制率可得到轉矩環的控制率為：

Te=b2Uq+w2(t)

(28)

OF-ADRC控制器在結構上可以描述為：利用PID控制、ADRC中對擾動估計的ESO模塊及補償控制的組合。該算法利用傳統 PID 控制中參考量和實測量實時得到控制器的輸入量，利用ADRC 中對被控對象觀測擾動的核心模塊加上前饋補償來提高步進電機的實時抗擾能力和穩定性，OF-ADRC控制器相對于ADRC控制器簡化了式(14)和式(17)，減少了大量計算過程，提高了系統響應速度。

3 仿真實驗及結果分析

為驗證上述理論的正確性及控制方法的有效性，在Matlab/Simulink平臺搭建混合式步進電機矢量模型，使用狀態反饋的ADRC控制算法對系統進行建模與仿真分析。

3.1 實驗參數設置

電機參數設置見表1。

表1 電機參數

3.2 不同加載值轉矩脈動對比分析

為了驗證控制器的跟蹤精度和抗負載擾動能力，進行實驗：給定電流值id=0 A，在電機供電電壓為24 V時，初始負載轉矩為0.05 N·m，0.25 s后負載轉矩分別為0.1、0.2 和0.3 N·m，觀察轉矩脈動。

圖5為OFADRC_FOC策略和傳統PI_FOC控制策略下電機加載0.1 N·m后轉矩脈動仿真波形。可以看出，加入負載擾動后PI_FOC轉矩波動范圍是-0.020～0.292 N·m，波動大小為0.312 N·m，OFADRC_FOC策略轉矩波動范圍是 -0.017～0.262 N·m，波動大小為0.297 N·m。

圖5 步進電機加載0.1 N·m轉矩仿真波形

從圖6可以看出，負載擾動后OFADRC_FOC的轉矩脈動明顯比PI_FOC轉矩脈動波動小；加入負載擾動后PI_FOC轉矩波動范圍是0.042～0.425 N·m，波動大小為0.383 N·m，OFADRC_FOC策略轉矩波動范圍是0.069～0.403 N·m，波動大小為0.334 N·m。

圖6 步進電機加載0.2 N·m轉矩仿真波形

從圖7可以看出，負載擾動后OFADRC_FOC的轉矩脈動明顯比PI_FOC轉矩脈動波動小，且PI_FOC幅值不穩定；加入負載擾動后PI_FOC轉矩波動范圍是0.118～0.587 N·m，波動大小為0.469 N·m，OFADRC_FOC策略轉矩波動范圍是0.114～0.507 N·m，波動大小為0.393 N·m。

圖7 步進電機加載0.3 N·m轉矩仿真波形

在OFADRC_FOC控制策略和傳統PI_FOC控制策略下，電機加載不同值后的轉矩脈動如表2所示。

表2 不同加載值下轉矩脈動

3.3 不同供電電壓下轉矩脈動對比分析

給定電流值id=0 A，在電機供電電壓分別為12、24和36 V時，給定初始負載轉矩為0.05 N·m，0.25 s后負載轉矩為0.1 N·m時觀察轉矩脈動波形。

從圖8可以看出，供電電壓為12 V時，加載后OFADRC_FOC的轉矩脈動明顯比PI_FOC轉矩脈動波動小，加入負載擾動后PI_FOC轉矩波動范圍是-0.041～0.276 N·m，波動大小為0.317 N·m，OFADRC_FOC策略轉矩波動范圍是-0.045～0.265 N·m，波動大小為0.31 N·m。

圖8 電機供電電壓12 V轉矩仿真波形

從圖9看出，在供電電壓為24 V時，加載后PI_FOC轉矩波動范圍是-0.020 ～0.292 N·m，波動大小為0.312 N·m，OFADRC_FOC策略轉矩波動范圍是-0.017～0.262 N·m，波動大小為0.297 N·m。從圖10可以看出，供電電壓為36 V時，加載后PI_FOC轉矩波動范圍是-0.022～0.312 N·m，波動大小為0.334 N·m，OFADRC_FOC策略轉矩波動范圍是0～0.276 N·m，波動大小為0.276 N·m。

圖9 電機供電電壓24 V轉矩仿真波形

圖10 電機供電電壓36 V轉矩仿真波形

在OFADRC_FOC控制策略和傳統PI_FOC控制策略下，電機不同供電電壓時的轉矩脈動如表3所示。

表3 不同供電電壓下轉矩脈動

通過對2種控制策略的轉矩仿真結果分析可以看出，OFADRC_FOC策略可以降低系統轉矩脈動，在加入負載擾動后穩定性更高，OFADRC_FOC策略對轉矩脈動的抑制效果明顯。

4 結論

為降低混合式步進電機轉矩脈動，提高系統抗干擾能力，提出了一種混合式步進電機自抗擾控制器狀態觀測反饋優化方法。通過使用觀測器中的ESO對系統擾動量進行觀測，將這些擾動值實時地補償到系統中，從而提升系統控制效果，有效地降低了電機轉矩脈動。通過對負載轉矩分別為0.1、0.2和0.3 N·m時的場景仿真分析，發現相比于傳統PI矢量控制方式，轉矩脈動分別降低了4.8%、12.8%和16.2%，在供電電壓分別為12、24和36 V時，轉矩脈動分別降低了2.2%、4.8%和17.4%，表明所提方法能有效減少步進電機轉矩脈動。