復雜多環路連桿機構曲柄判定的分支圖識別法

聶良益 丁華鋒 王君 畢樹生

(1. 湖北理工學院 機電工程學院, 黃石 435003; 2. 中國地質大學(武漢) 機械與電子信息學院, 武漢 430074;3. 湖北工業大學 機械工程學院, 武漢 430068; 4. 北京航空航天大學 機械工程及自動化學院, 北京 100083)

連桿機構的曲柄指的是能夠作整周轉動的連架桿,其被廣泛應用于航空航天領域中,如動力引擎中做往復運動的曲軸活塞機構、勘探小車的行走裝置等。 對連桿機構設計來說,判斷在桿件參數已知的連桿機構內是否存在曲柄,可以設計出滿足功能和運動需求,且運動學性能優良、無運動缺陷的機構骨架,對機械設備的研制工作具有一定的指導意義。

連桿機構的曲柄研究工作最早起源于對平面4R 連桿機構運動分析的探討,提出了著名的Grashof 定理[1]。 曲柄存在條件的核心是鉸鏈轉角范圍的判定與機架的選擇,然而Grashof 定理僅僅對平面4R 連桿機構適用,對于其他連桿機構曲柄判定無法適用,這引起了廣大學者的研究興趣。張全明等[2]根據原動件與機架組的極端條件和桿組適應性條件提出2-DOF 平面五桿的雙曲柄存在的充要條件。 田漢民等[3]在Grashof 定理的基礎上研究了2-DOF 五桿機構的曲柄存在情況。廖漢元等[4]應用機架變換法導出了2-DOF 鉸鏈五桿機構的全部類型,判斷了機構的類型。 Tsai和Ting[5]依靠傳動角的概念針對兩輸入相鄰情況下的平面五桿機構提出了相應的運動準則,用于連桿機構的完全旋轉特性判別。 Ting[6]拓展了Grashof 定理,得到了關于單閉環N桿的曲柄存在條件,在重新定義機構長短桿的基礎上,提出3 條關于曲柄存在的準則。 王君等[7-8]建立了連桿機構的環路方程,通過判別式求解得到Stephenson 六桿、Watt 六桿、齒輪五桿機構的死點情況,從而判斷其相應機構的完全旋轉特性。 郭曉寧和褚金奎[9]提出了距離曲線-限制線回路分析法,給出Stephenson II 型六桿機構的曲柄存在條件。 宋杰等[10]提出了虛桿概念,將六桿機構等效為四桿桿鏈,分析了平面3-DOF PRR-RRP 型六桿機構的曲柄存在條件。 戴建生和Shah[11]提出了一種通過工作區間分解,將連桿機構的可旋轉性特性用于分析串聯機械臂的定向能力的方法。

根據上述文獻可知,N 桿旋轉定理很好地解決了單閉環連桿機構的曲柄判定問題,但針對僅含有轉動副的多環路連桿機構的曲柄存在問題,雖然已有不少研究方法,但其大多僅針對特定機構,適用范圍小,通用性較差。 因此,本文提出了分支圖識別法。 該方法通過利用連桿機構運動分支識別圖與桿件的關系不等式對只含有轉動副的單閉環、復雜多環路連桿機構內的曲柄進行判定,通用性好,適用范圍廣。

1 桿件關系不等式

1.1 Grashof 定理

以圖1 中所示平面4R 連桿機構舉例說明,l1、l2、l3、l4分別表示桿1、桿2、桿3、桿4 的桿長參數,由Grashof 定理,即最短桿與最長桿桿長之和小于或等于中間桿的桿長長度之和(式(1)),可確定該平面4R 連桿機構的曲柄存在情況。

圖1 平面4R 連桿機構Fig.1 Planar four-bar linkage

最短桿的間隔桿為固定機架時,為雙搖桿機構(見圖2(a));最短桿相鄰的連桿為固定機架時,為曲柄搖桿機構(見圖2(b));最短桿為固定機架時,為雙曲柄機構(見圖2(c))。

對于最短桿與最長桿之和大于中間桿的長度和,則無論連桿機構內任何連桿被作為固定機架,該連桿機構內均不存在曲柄,為雙搖桿機構;最短桿與最長桿之和等于中間桿的長度和,連桿機構內存在運動失控的死點位置。 因此,上述2 種情況均不作討論。

圖2 中虛線為平面4R 連桿機構運動的極限位置,且各個機構的桿長參數如表1 ～表3 所示。

圖2 平面4R 連桿機構曲柄存在情況Fig.2 Cranks of planar four-bar linkages

表1 圖2(a)雙搖桿機構桿長參數Table 1 Parameters of double rocker linkage in Fig.2(a)

表2 圖2(b)曲柄搖桿機構桿長參數Table 2 Parameters of crank-rocker linkage in Fig.2(b)

表3 圖2(c)雙曲柄機構桿長參數Table 3 Parameters of double crank linkage in Fig.2(c)

1.2 N 桿旋轉定理

Grashof 定理應用對象單一,為解決這一缺陷,N 桿旋轉定理重新定義了長短桿,并給出了僅含轉動副的單閉環連桿機構的曲柄判定準則[6],以圖3 所示的2-DOF 5R 連桿機構曲柄判斷說明。

圖3 平面5R 連桿機構Fig.3 Planar five-bar linkage

1.2.1N桿機構桿件關系

1) 條件設定。 假定在閉環單鏈N桿機構中,所有鉸接關節均為轉動副,規定所有桿全是簡單二力桿,用li(i=1,2,…,n)表示連桿機構內桿件的桿長,其大小為兩旋轉副中心的距離,且令連桿機構中各桿件間桿長關系滿足l1≤l2≤…≤ln-1≤ln。

2) 機構裝配的充要條件。 在任意N(N≥3)連桿機構中,桿長間關系必須滿足非最長桿的所有桿件桿長之和大于或等于最長桿桿長時,連桿機構才能被成功裝配,即滿足如下不等式:

3) 定義連桿機構內長短桿。

①短桿。 在N桿機構中,桿長與最長桿桿長之和小于或等于其他桿件桿長之和的連桿,也就是滿足如下不等式,即為短桿。

②長桿。 在N桿機構中,桿長與最長桿桿長之和大于其他桿件桿長之和的連桿,也就是滿足如下不等式,即為長桿。

值得注意的一點是,當n=3,則連桿機構內每個桿均可作為長桿。

1.2.2N桿機構曲柄判斷定理

定理1 在閉環單鏈N桿機構中有且僅有兩相鄰桿旋轉角度能達到0°與180°時,兩桿之間才可能存在曲柄。

定理2 在閉環單鏈N桿機構中短桿與N桿中其他任意連桿存在整轉副,即可能形成曲柄,若該連桿為連架桿,則其確定為該機構的曲柄,長桿不能與N桿中其他任意長桿存在整轉副,即不能形成曲柄。

1.2.3 連桿機構的3 種分類

由連桿機構桿件滿足不同的桿長關系,可以將閉環單鏈N桿機構分成3 類:

1) 當連桿機構桿長關系滿足不等式(5),為第Ⅰ類連桿。

由不等式(2)、(5)可推導出,對于屬于第Ⅰ類連桿機構的桿件,也滿足l1+l2+ … +ln-3≤ln-2≤ln-1≤ln。 也就是說,第Ⅰ類連桿中有3 個長桿,而任意兩長桿之間的旋轉角度都不能達到0°與180°,即不存在桿件間共線與折疊的情況,依據定理1,若輸入在三長桿兩端,則連桿機構中無曲柄存在,換句話說,要想機構可能存在曲柄,則至少有一個輸入在短桿上,如圖2(b)所示平面4R 曲柄搖桿機構即為這種情況。

2) 當連桿機構桿長件關系滿足不等式(6),為第Ⅱ類連桿。

由不等式(6)可得,在第Ⅱ類連桿機構中,任意兩長桿可能能達到共線或折疊的情況(180°或者0°),但是關節的旋轉角度范圍不能同時包含0°與180°,依據定理1,滿足該類條件的連桿機構中無曲柄存在。

3) 當連桿機構桿長件關系滿足等式(7),為第Ⅲ類連桿。

與第Ⅰ類連桿機構對比,在第Ⅲ類連桿機構中,由等式(7)可得,連桿機構可能存在曲柄,但也可能存在使機構失去控制的死點位置,因此一般不作討論。

1.2.4 2-DOF 5R 連桿機構曲柄判別

為了分析方便與裝配要求,2-DOF 5R 連桿機構的桿長間關系需滿足如下條件:

圖4 為平面5R 連桿機構相鄰桿滿足桿件間關系存在曲柄的可能情況。 依據定理1 和定理2,當l5+l1≤l2+l3+l4時,桿1 與任何桿相鄰都能形成整轉副(可能曲柄,進一步確定,取決桿1是否為機構的連架桿,下同);當l5+l1＞l2+l3+l4時,機構內部桿件間均無法形成曲柄;當l5+l2≤l1+l3+l4時,桿2 與任何桿相鄰都能形成整轉副;當l5+l2＞l1+l3+l4時,桿2 不能和其他長桿形成曲柄;當l5+l3≤l1+l2+l4時,桿3 與任何桿相鄰都能形成整轉副;當l5+l3＞l1+l2+l4時,桿3 不能和其他長桿形成曲柄;當l5+l4≤l1+l2+l3時,桿4 與任何桿相鄰都能形成整轉副;當l5+l4＞l1+l2+l3時,桿4 與桿5 不能形成曲柄。

圖4 平面5R 連桿機構曲柄判定流程Fig.4 Flowchart of crank judgement of planar five-bar linkage

圖5 為4 種平面5R 連桿機構裝配實例,其尺寸參數如表4 ～表7 所示。 在圖5(a)、(b)中,桿長間關系滿足l5+l2＜l1+l3+l4與l5+l3＜l1+l2+l4,因此,圖5 (a)中連桿機構存在2 個曲柄與1 個整轉副,分別在關節旋轉副A、E、B處。 圖5(b)中連桿機構存在2 個曲柄與2 個整轉副,分別在關節旋轉副A、E、B、D處。 圖5(c)中桿長間關系滿足l5+l1＞l2+l3+l4,圖5 (c)中連桿機構內無曲柄存在。 圖5(d)中桿長關系滿足l5+l3＜l1+l2+l4與l5+l4＞l1+l2+l3,因此,圖5 (d)中連桿機構存在1 個曲柄與3 個整轉副,分別在關節旋轉副A、B、C、D。

圖5 平面5R 連桿機構的曲柄Fig.5 Cranks of planar five-bar linkages

表4 圖5(a)平面5R 連桿機構桿長參數Table 4 Parameters of five-bar linkage in Fig.5(a)

表5 圖5(b)平面5R 連桿機構桿長參數Table 5 Parameters of five-bar linkage in Fig.5(b)

表6 圖5(c)平面5R 連桿機構桿長參數Table 6 Parameters of five-bar linkage in Fig.5(c)

表7 圖5(d)平面5R 連桿機構桿長參數Table 7 Parameters of five-bar linkage in Fig.5(d)

2 曲柄判定分支圖

分支識別圖由機構的環路方程形成,包含連桿機構所有的運動信息,一般用來解決機構的分支與子分支識別問題[7-8,12-15],但本文中其被用于解決連桿機構曲柄判定問題,因為機構的分支識別圖只與機構的桿長參數有關,與機構輸入位置的選擇無關,也就是使用曲柄判定分支圖識別法無需指定機構的輸入關節。

圖6(a)、(b)為圖2(a)平面4R 連桿機構關于關節角度θ2與關節角度θ3、θ4的分支識別圖。在圖6(a)中,關節角度θ2在[0°,A],[A,360°]范圍內轉動,關節角度θ3可以在[0°,360°]范圍內轉動,即整轉副存在旋轉關節B處。 在圖6(b)中,關節角度θ2在[0°,C],[E,360°]范圍內轉動,關節角度θ4分別對應在[0°,D],[F,360°]范圍內轉動,即不存在曲柄。 由以上分析可證實該連桿機構為雙搖桿機構。

圖6 平面4R 連桿機構曲柄分支識別圖Fig.6 Crank judgement of planar four-bar linkage with branch graph

圖6(c)、(d)為圖2(b)平面4R 連桿機構關于關節角度θ2與關節角度θ3、θ4的分支識別圖。在圖6(c)中,關節角度θ2可以在[0°,360°]范圍內轉動,關節角度θ3可以在[0°,G],[H,360°]范圍內轉動,即曲柄存在旋轉關節A處。 在圖6(d)中,關節角度θ2可以在[0°,360°]范圍內轉動,關節角度θ4分別對應在[0°,K],[J,360°]范圍內轉動,也就是僅關節角度θ2能做整轉運動。 綜上,該機構為曲柄搖桿機構。

圖6(c)、(d)為圖2(c)平面4R 連桿機構關于關節角度θ2與關節角度θ3、θ4的分支識別圖。在圖6(e)中,關節角度θ2可以在[0°,U],[V,W],[X,360°]范圍內轉動,關節角度θ3分別在[M,N],[0°,O]/[P,360°]范圍內轉動(均不能形成整轉運動)。 在圖6(f)中,關節角度θ2可以在[0°,T],[T,360°]范圍內轉動,關節角度θ4分別對應在[Z,360°],[0°,Z]范圍內轉動,即關節角度θ2、θ4能做整轉運動。 綜上,該機構是雙曲柄機構。

3 平面5R 連桿機構曲柄判定

圖7(對應圖5(a)平面5R 連桿機構)為關節角度θ2與關節角度θ3、θ41、θ4、θ5的分支識別圖。 通過分 析 可 得,關 節 角 度θ2、θ3、θ41可 以 做整轉運動,而關節角度θ4、θ5只能做一定角度內的往復運動,因此該機構的曲柄存在于關節旋轉副E處。

圖7 平面5R 連桿機構曲柄分支識別圖(對應圖5(a)平面5R 連桿機構)Fig.7 Crank judgement of planar five-bar linkage with branch graph (Fig.5(a))

圖8(對應圖5(b)平面5R 連桿機構)為關節角度θ2與關節角度θ3、θ41、θ4、θ5的分支識別圖。通過分析可得,關節角度θ2、θ3、θ4、θ5可以做整周運動,而關節角度θ41只能做[45°,320°]的往復運動,因此該機構的曲柄存在于關節旋轉副E、A處。

圖8 平面5R 連桿機構曲柄分支識別圖(對應圖5(b)平面5R 連桿機構)Fig.8 Crank judgement of planar five-bar linkage with branch graph (Fig.5(b))

圖9(對應圖5(c)平面5R 連桿機構)為關節角度θ2與關節角度θ3、θ41、θ4、θ5的分支識別圖。通過分析可得,關節角度θ2、θ3、θ4、θ41、θ5均只能在一定角度范圍的往復運動,因此該機構內曲柄不存在。

圖9 平面5R 連桿機構曲柄分支識別圖(對應圖5(c)平面5R 連桿機構)Fig.9 Crank judgement of planar five-bar linkage with branch graph (Fig.5(c))

圖10(對應圖5(d)平面5R 連桿機構)為關節角度θ2與關節角度θ3、θ41、θ4、θ5的分支識別圖。 通過分析可得,關節角度θ3、θ4、θ41、θ5可以做整轉運動,而關節角度θ2只能做一定角度范圍的往復運動,因此該機構的曲柄存在于關節旋轉副A處。

圖10 平面5R 連桿機構曲柄分支識別圖(對應圖5(d)平面5R 連桿機構)Fig.10 Crank judgement of planar five-bar linkage with branch graph (Fig.5(d))

4 復雜多環路連桿機構曲柄判定

復雜多環路連桿機構是由多個簡單的閉環單鏈耦合而成,如Stephenson 六桿、2-DOF 七桿機構、1-DOF 八桿機構等,其運動由多個環路耦合共同決定,運動情形較為復雜,曲柄問題難以研究。由連桿機構分支識別可知,若多環連桿機構內存在分支點,即機構可連續運動的區域被隔斷[8],也就是大多數多環連桿機構內部是不存在曲柄的。反之,如何保證多環連桿機構在輸入關節做整轉運動成為一個難點。 針對這一問題,本文提出了關于2 條多環連桿機構存在曲柄的充分條件。

充分條件1 在所有耦合環路鏈中,桿件間桿長關系必須滿足閉環單鏈曲柄存在條件,且作整轉運動的旋轉關節存在位置重合。

充分條件2 在所有耦合環路鏈中,在對應分支識別圖中不存在分支點。

僅含轉動副的Stephenson 六桿機構是較為簡單的多環路連桿機構,其由一個閉環4R 單鏈與一個閉環5R 單鏈耦合而成。 本文以僅含轉動副的Stephenson 六桿機構為例,解釋復雜多環路連桿機構的曲柄判定問題。 依據僅含轉動副的Stephenson 六桿機構中輸入在不同環路鏈中其運動特性不同,將該機構內曲柄存在的問題按輸入在四鏈環路中及輸入在五鏈環路中分別討論。

1) 輸入在四鏈環路中

在圖11 所示Stephenson 六桿機構中,當給定輸入關節角度為θ2時,連桿機構由一個四鏈環路ABCD與一個五鏈環路ABEFG耦合而成。 即除裝配條件外,四鏈環路ABCD與五鏈環路ABEFG中桿長關系需滿足l41+l44＜l42+l43,l51+l52+l55＜l53+l54(l4i表示四鏈環路中的桿長,l5i表示五鏈環路中的桿長,i=1,2,3,4,5),且兩環路鏈中關節角度θ2轉動范圍均為[0°,360°]。 在Stephenson 六桿機構分支識別圖中,不存在分支點,即Stephenson 六桿機構的四鏈環路ABCD的關節旋轉空間被包含在五鏈環路ABEFG的關節旋轉空間內部,連桿機構的運動完全受四鏈環路的影響,如圖12 所示,參數如表8 所示。

圖11 Stephenson 六桿機構Fig.11 Stephenson six-bar linkage

由表8 中參數可得,四鏈環路ABCD中a2＞a3＞a1＞a4,且a1+a3＞a2+a4,令l44、l43、l42、l41分別為a2、a3、a1、a4,即l42+l43＞l44+l41,連桿機構內存在曲柄。 但在Stephenson 六桿中,a1(滿足不等式l44+l42＞l43+l41)與a2均為長桿,其桿件間無法形成曲柄(見圖12)。

圖12 Stephenson 六桿機構曲柄分支識別圖(四鏈環路輸入)Fig.12 Branch graph for crank judgement of Stephenson six-bar linkage (input joint in four-bar loop)

表8 圖12 Stephenson 六桿機構桿長對應參數Table 8 Parameters of Stephenson six-bar linkage in Fig.12

如要關節輸入位置做整轉運動,則a1與a2中需有短桿,又a2與五鏈環路ABEFG有關,因此對調表8 中a4與a1參數。 在五鏈環路ABEFG中,a6＞a9≥a5＞a2＞a7且a9+a5＜a6+a2+a7(由圖8 灰色關節旋轉空間所示,此時五鏈環路中也存在曲柄,但這是個例[16]不具有普適性),不滿足充分條件1,依照曲柄存在關系式與長短桿定義,短桿兩端可能存在曲柄,因此五鏈環路ABEFG參數調整如表9 所示,分支識別圖如圖13 所示,可知連桿曲柄在關節旋轉副A處。

圖13 Stephenson 六桿機構輸入θ2 曲柄分支識別圖(四鏈環路輸入)Fig.13 Crank judgement of Stephenson six-bar linkage using branch graph with input angle θ2

表9 圖13 Stephenson 六桿機構輸入θ2 曲柄對應參數Table 9 Parameters of Stephenson six-bar linkage with input joint θ2 in Fig.13

2) 輸入在五鏈環路中

當給定輸入關節角度為θ6時,連桿機構由2 個五鏈環路ABEFG與DCEFG耦合而成。 即除裝配條件外,五鏈環路ABEFG與DCEFG中桿長關系需先滿足l151+l152+l155＜l153+l154,l251+l252+l255＜l253+l254(l15i、l25i表示五鏈環路中的桿長,i=1,2,3,4,5),且兩環路鏈中關節角度θ6轉動范圍均為[0°,360°],在Stephenson 六桿機構分支識別圖中,不存在分支點,即Stephenson 六桿機構的一個五鏈環路的關節旋轉空間被包含在另一五鏈環路的關節旋轉空間內部,連桿機構的運動完全受其中一個五鏈環路的影響,如圖14 所示,參數如兩環路鏈均不滿足必要充分條件1,依照曲柄存在關系式與長短桿定義,且短桿兩端可能存在曲柄,兩五鏈環路參數調整如表11 所示,分支識別圖如圖15 所示。 可知,連桿曲柄在關節旋轉副G處。

圖14 Stephenson 六桿機構分支識別圖(五鏈環路輸入)Fig.14 Branch graph of Stephenson six-bar linkage with input angle in five-bar loop

圖15 Stephenson 六桿機構輸入θ6 曲柄分支識別圖(五鏈環路輸入)Fig.15 Crank judgement of Stephenson six-bar linkage using branch graph with input angle θ6

表10 圖14 Stephenson 六桿機構桿長對應參數Table 10 Parameters of Stephenson six-bar linkage in Fig.10

表11 圖15 Stephenson 六桿輸入θ5 曲柄對應參數Table 11 Parameters of Stephenson six-bar linkage with input joint θ5 in Fig.11

5 結 論

1) 依據連桿機構的分支識別圖和桿間關系,通過所提出的曲柄分支圖識別法,對幾類典型平面4R、5R、僅含有轉動副的Stephenson 六桿機構的曲柄判定分支識別圖進行了繪制,并通過數據分析,得到了曲柄數目與位置,相比現行方法,可視化強,簡單直觀,便于理解。

2) 針對僅含轉動副的復雜多環路連桿機構的曲柄問題,提出曲柄存在的2 條充分條件,并以Stephenson 六桿為例說明,證明方法對復雜多環路連桿機構的曲柄判定是有效的,彌補了現行方法的應用的不足。

3) 通過對比分析了曲柄分支圖識別法與Grashof 定理、N 桿旋轉定理的應用實例與應用范圍,證明本文方法的適用范圍更廣,通用性更好。

4) 本文提出的曲柄分支圖識別法具有可視化強、通用性佳等優點,可以為單閉環、復雜多環連桿機構的曲柄研究,提供一種研究思路,對含有復雜連桿機構的機械裝備設計提供一定的理論指導。