重教材，講通法，揭本質
——以“橢圓中的最值、范圍問題”為例

楊陽

江蘇省南京市金陵中學河西分校 210000

在高三復習教學中，部分教師為了追求“多、新、難”常將學生引入茫茫“題海”，忽視了學生“四基”的培養.要知道，重復的、機械的練習容易造成思維定式，限制學生思維能力的發展，得不償失.教學中教師要從學生實際出發，善于通過“少而精”的問題來揭示數學本質，激活學生的數學思維，提升學生的解題效率.

橢圓是高考的重點考查內容之一，而橢圓中的最值和取值范圍問題因其考查的視角寬、靈活多變而成了高考的熱點問題.此類問題有一定難度，對學生的能力要求比較高，一直是教學難點.為了突破這一教學難點，在復習教學中，教師要“以生為主”，重視回歸課本，重視展示思維過程，關注揭示問題本質，以此讓學生學懂吃透.現筆者結合具體教學，談一談對此類專題的幾點認識，若有不足，請指正.

教學過程

1.課前熱身

為了解學生掌握基礎知識的情況，課前教師以教材為依托，為學生精心設計了課前導學問題，問題如下：

（1）如圖1所示，已知F1，F2分別是橢圓=1的左、右焦點，P是橢圓上任意一點，點M的坐標為（6，4），則PM+PF1的最大值為______.

圖1

（2）已知點P（x0，y0）是橢圓=1上的任意一點，則t=x0+y0的最大值為______.

圖2

設計意圖：將例題進行有效改編和整合，使知識點融于小題訓練中，繼而通過練習喚起學生的記憶.同時，“小而精”的問題可以降低思維的難度，提升學生解題的信心.另外，這些“小而精”的問題能引導學生從不同視角體驗橢圓中的最值和取值范圍等問題，有助于更好地考查和鞏固學生的“四基”，為繼續探究埋下伏筆.

2.交流反饋

上課時，教師預留時間讓學生進行互動交流，并在交流中適時地進行追問：你是怎么想的？這么做的理由是什么？還有其他方法嗎？

設計意圖：通過交流，啟迪學生思維，增長智慧；通過追問，充分展示學生的思維過程，了解學生在解題中存在的不足，從而為課堂上開展有針對性的教學活動提供素材.

3.歸納梳理

交流反饋后，教師應引導學生進行知識歸納和梳理，從而逐漸完善個體認知體系，為接下來的拓展訓練做好鋪墊.

師：通過課前熱身，我們解決了幾個具有代表性的問題，通過解題你有哪些收獲？談一談你的心得體會.（師生共同總結歸納）

圖3

設計意圖：通過小結，幫助學生回顧橢圓中最值和取值范圍問題所考查的常見示例，并通過解題過程回顧提煉處理方法，為接下來的綜合探究提供思考的路徑.

4.例題解析

有了前面的鋪墊，學生對橢圓中的最值和取值范圍問題已經有了清晰的認識，接下來教師精心設計問題，通過交流反饋，逐漸揭示問題本質，以此提升學生分析和解決問題的能力.

圖4

（1）求橢圓方程；

（2）設橢圓左、右頂點分別為A，B，直線l是橢圓的右準線，直線AP交準線l于點M（點M在x軸上方），記直線F1P的斜率為k1，直線BM的斜率為k2，求k1k2的取值范圍.

問題給出后，教師先讓學生獨立思考，然后進行交流點評.對于第（1）問，大多數學生都能順利求解，最終得到橢圓方程為=1，然后重點探究橢圓中的最值和取值范圍問題.

師：對于第（2）問，誰來說一說，你是怎么求解的？

師：解題思維清晰，解題過程完整，展示了超強的運算能力，現在請簡述一下你的解題思路.

生1：根據已知設出直線AP的斜率k，利用方程思想方法求出點M和點P的坐標，進而將目標k1k2用k表示出來，這樣問題就轉化成了關于k的函數取值問題.

師：很好的思路，立足函數思想，通過設元得到目標函數，繼而運用求函數取值范圍的思路解決問題.大家還有沒有其他的方法呢？

生2：設點P（x，y），可以借助點P的坐標表示點M，再表示k1k2.

生3：設點M（4，m），從點M的坐標出發，用m表示點P，再表示k1k2.

生4：也可以設直線MB的斜率，然后用直線MB的斜率表示點M，P，再表示k1k2.

師：很好，分析以上幾種解決方法，你得到了什么啟示？

生5：設點或設斜率都可以完成轉化，順利解決問題.

師：還有嗎？（學生陷入沉思）

生6：雖然形式有所不同，但是其本質是相同的，都是通過設元表示目標函數，然后運用求函數取值范圍的思路解決問題.

師：若從直線F1P的斜率入手是否行得通呢？

生7：應該可以，不過這樣設元，聯立方程后表示點P的坐標會比較復雜，所以還是上面幾種方法較好.

師：確實，對于同一問題往往有多種解法，尤其對于設元問題，更是靈活多變.如本題就可以設關鍵點P或M的坐標，也可以設關鍵直線MB，AP的斜率等.但是不同設元法的運算量會有所不同，因此設元時，要從整體思路出發，對計算過程進行充分預設，繼而優化解題過程，提升運算效率.

師：因時間關系，這里就不一一展示各種方法的具體求解過程了，請大家在課后用不同的方法試一試，交流一下，相信你們一定有不同的收獲.

師：通過以上的交流分析，你有哪些收獲？

生8：其實這類問題看似復雜，但解題思路并不難，通過設元表示出目標后，將其轉化為目標函數即可迎刃而解.

師：確實，在研究橢圓中的最值與取值范圍問題時，大多通過合理設元，表示出目標后，再借助函數的性質來解決問題.

設計意圖：在此環節中，教師先讓學生獨立思考，形成解題思路后再合作交流，從而充分發揮個體優勢，培養思維的多樣性.教學中，學生給出了具體的解題過程，教師讓學生對解題過程進行提煉，繼而形成解題的一般思路.同時，教師鼓勵學生從不同的角度進行分析，嘗試應用不同的方案來解決問題，以此豐富學生的認知、發散學生的思維.解題后，通過反思逐漸抽象出問題的本質屬性，形成解題通法，培養學生的思維深刻性，建構學生完善的認知.

為了進一步強化學生認識，提升學生的解題能力，在例1的基礎上，教師設計了以下這個問題：

例2如圖5所示，已知橢圓=1，A，B分別是橢圓的上頂點和右頂點，過原點O的直線l與橢圓相交于C，D兩點，求四邊形ACBD面積S的最大值.

圖5

同樣，教師給出問題后，讓學生先嘗試獨自解題，再交流點評.

師：結合例1的解題經驗，說一說你的解題思路.

生9：先設元，再轉化，表示出四邊形ACBD面積S后，求其最值.

師：應該如何表示四邊形ACBD的面積S呢？

生10：需要將四邊形ACBD分解成△ACD和△BCD.

師：為什么要分解呢？不能直接表示嗎？如果要分解，那么一定要這樣分嗎？

生11：四邊形的面積很難直接表示，拆分后比較方便，除了分解成△ACD和△BCD外，還可以分解成△ABC和△BAD.

師：可以如何設元呢？

生12：可以設直線CD的斜率為k.

生13：也可以設點C的坐標為（x0，y0）.

師：很好，設點的坐標和設直線的斜率都是我們常用的方法，在不計算的情況下，請推演一下過程，你認為如何設元會使解題過程更簡潔呢？（學生積極思考、交流）

生14：設點C（x0，y0），將四邊形ACBD分解成△ABC和△BAD，以AB為底邊，C，D到直線AB的距離為高來求解更簡潔.

師：大家試一試，看看還有沒有其他的發現.

學生積極練習，教師選取了典型做法，投影展示，并展開互動點評.在交流中發現，有學生給出了其他方法，教師點名讓學生板書展示.

生15：將四邊形ACBD拆分成△AOD，△AOC，△BOD，△BOC，由于C，D關于點O對稱，則△AOD和△AOC的面積相等，△BOD和△BOC的面積相等.設C（x0，y0），則S=2（S△AOC+S△BOC）=

師：非常好.今后再面對難以表征的目標時，我們可以如何處理呢？

學生齊聲答：分解.

師：回顧以上求解過程，你認為如何分解更簡潔呢？

此時，學生一致認為將四邊形ACBD拆分成△AOD，△AOC，△BOD，△BOC更簡潔、方便.

師：解題時經常會遇到一些難以表征的對象，若能巧妙地分解，定能獲得柳暗花明的效果.值得注意的是，在分解和計算時要善于結合幾何特征，避免盲目分、盲目算，只有這樣才能優化解題過程，提升解題效率.

學生提出了多種解題思路，有的學生認為可以聯立方程，通過根的判別式求最值；有的學生認為可以利用基本不等式求最值；還有學生提出了幾何法、參數法等求最值.教師鼓勵學生嘗試應用不同方法求最值，并在解后進行交流和反思，以此豐富學生的解題經驗，提升學生的解題信心.

設計意圖：借助練習進一步強化學生的已有知識和已有經驗，以此深化學生對通性通法的理解，繼而實現知識與方法的融會貫通.本題重在體現如何建立目標函數及函數求最值的方法.在具體的練習中，教師鼓勵學生應用多種方法解題，通過對不同解法的對比分析，以此優化解題過程，減少運算量，提升解題準確率.另外，解題后教師組織學生進行交流和小結，繼而培養學生思維的多樣性，豐富學生的原認知，提煉學生的數學思想方法，揭示問題本質.

5.練習及課堂小結

略.

教學思考

1.以教材為依托，建構并完善認知體系

教材是教學之本，是課堂教學的必要素材，教學中教師只有認真研讀教材，切身掌握教材編排者的真正意圖，才能通過合理設計、巧妙引導幫助學生學懂吃透.但在實際教學中，尤其在復習教學中，部分教師認為教材內容是學過的，難以吸引學生的注意力，因此在教學中常常以教輔內容為主，忽視了教材的核心價值，使得教學偏離了原來的軌跡，不僅增加了學生的課業負擔，而且影響了學生的積極性和學習信心，學習得不償失.因此在復習教學中，尤其是高三一輪復習，教師必須回歸教材，通過對教材的挖掘幫助學生厘清知識發生的本原，揭示數學本質，幫助學生建構完善的知識脈絡，提升學生的知識遷移能力，提高學生的解題效率.在本節課教學中，教師結合課堂標準對教材內容進行了改編，將其轉化為基礎訓練題，通過“小而精”的問題幫助學生梳理知識、總結方法，構建知識網絡，有效發展了學生的思維能力，提升了學生的解題信心.

2.關注思維的形成，建構并完善知識體系

在復習課堂上，教師為了追求“大容量、高速度”，常常是大包大攬，習慣將教師的知識和經驗強加給學生，忽視了學生思維的形成，影響了學生思維能力的提高.在復習教學中，應多給學生一些展示的機會，充分暴露思維過程，這樣才能更好地了解學生，從而為教學活動的開展提供寶貴的生成性資源.數學知識具有一定的關聯性，在新授課階段因受認知水平的限制，許多相同或相似的問題可能散落在不同的章節中，因此在一輪復習時，先要將這些散落的知識點連成線、織成網，形成一個完整的知識體系，這樣學生在解題時才能靈活調取相關的知識和方法.而且復習課堂除了喚醒學生的記憶、完善學生知識結構外，還要重視思想方法的滲透，關注學生思維能力的發展.比如在本節課教學中，通過前期回顧形成了解題思路后，教師引導學生從不同角度出發，嘗試運用不同方法解題，力求通過多解讓學生掌握解決一類問題的一般方法.另外，教學中教師通過有效追問，啟迪學生思維，充分暴露了學生的思維過程，讓不同學生獲得了不同程度的發展.

3.關注通性通法，揭示問題本質

在數學學習中，學生只有抓住問題的本質，才能靈活運用數學知識解決問題.因此，在揭示問題本質的階段，教師要下狠功夫.對于橢圓的最值問題的本質就是借助函數思想方法，將幾何問題轉化為函數最值問題進行處理.為了揭示問題的本質，教學的各個環節都應圍繞這一目標展開.例如在課前自測階段，教師從不同視角呈現橢圓中的最值問題、取值范圍問題，歸納后不難發現，最終都轉化成了函數最值問題、函數取值范圍問題.又如在例題展現環節，教師鼓勵學生應用不同方法求解，但解后反思發現，多種解法的本質是相同的，繼而揭示了問題的本質，提煉出了解決問題的通法，優化了學生的認知結構.

總之，在復習教學中，教師要關注學生的思維發展，重視揭示問題的本質，關注學生認知的系統化建構，以此提升學生的學習品質，提高學生的解題能力.