立足學情，巧妙設計，滲透思想
——以“三角函數的應用”教學為例

朱付菊

山東省泰安長城中學 271000

奧蘇伯爾認為：影響學習的重要因素是學生已經知道了些什么，教師如何基于“學生已有認知”進行教學［1］.學生已有的認知結構、學習經驗和能力是教師實施教學的起點.于教師而言，運用三角函數模型來解決一些常規問題，是一件極其簡單的事情，但于學生而言，卻沒那么容易.

何為簡諧運動？為什么三角函數模型能刻畫這種運動？如何應用三角模型來解決具有周期性運動規律的問題？這些都是學生感到新奇而又陌生的問題，這就需要教師轉換自身的角色，站在學生的角度，巧妙地設計與學生認知相契合的問題情境，帶領學生一起由淺入深地進行探討分析，滲透數學思想的同時，讓學生從真正意義上理解問題的本質.

教學簡錄

1.情境創設，引出問題

情因境生，境為情設.情境作為一種特殊的教學環境，是教師為了增強教學效果，結合學生認知創設出來的一種支持學生學習的教學環境［2］.良好的情境，不僅能增強學習的針對性，還能滲透數學文化，為課堂教學奠定良好的情感基調，激發學生的學習興趣.

情境創設：水車外形與車輪相似，它是我國古代常用的一種灌溉工具，具有省時、省力、省錢的作用.明朝徐光啟在《農政全書》中詳細記載了水車的工作原理.如今，我國的三峽水電站也利用這種原理設計了大型水輪機組不斷為我們的生活提供服務.由此可見，水輪對我們的生活具有重要影響.

問題1：假設在水流穩定的狀態下，水輪邊緣的各點都在不斷地進行勻速圓周運動，大家分析一下水輪運動具備怎樣的特點.

在問題探究過程中，教師俯下身子，與學生一起研究水輪在周而復始勻速圓周運動的過程中具備怎樣的特點，同學生一起嘗試從三角函數的角度猜想這種運動的特點.當學生對此有一定思考后，再增加啟發性問題，將生活情境抽象為數學問題.

追問：如果點P為水輪邊緣上的一點，我們可以用怎樣的數學模型來刻畫點P的位置？

設計意圖：水車的引入，具有滲透數學文化的重要作用.水輪在如今的水電站一直發揮著重要作用，教師帶領學生從水輪周而復始的運動中，抽象出三角函數是研究此類運動問題的重要模型.追問的提出，不僅為刻畫勻速圓周運動中的點P的位置奠定了基礎，還為學生提供了明確的思考方向.

2.問題驅動，鋪設臺階

問題是數學的心臟，數學教學離不開問題的引導，好的問題有助于幫助學生擺脫思維定式與滯澀，具有激活學生想象力與創造力的作用.實際教學中，教師結合學生實際認知水平設計逐層遞進的問題，不僅能驅動學生的思維，為實現教學目標鋪設臺階，還能讓學生在問題的探索中形成創新意識.本節課中，教師可基于學生原有的認知經驗，以如下問題來驅動學生的思維發展.

問題2：如圖1所示，以A為半徑，O為圓心的圓上存在一點P，我們可以怎么刻畫點P的位置？

圖1

學生思考、分析這個問題后，以圓心O為原點，建立平面直角坐標系，點P的位置可用坐標表示.若將點P視為從x軸正半軸開始旋轉而來的，則可用角θ來刻畫點P的位置，記作

設計意圖：引導學生感知建立平面直角坐標系對解決一些數學實際問題的便利，并學會從任意角三角函數的定義出發，使用三角函數表示位于圓周上的運動點的坐標位置.

問題3：如圖1所示，在平面直角坐標系xOy中，點P是以點O為圓心，A為半徑的圓上的一點，以P0為起始點，逆時針進行勻速圓周運動，已知角速度是ω（單位：rad/s）（單位時間內轉過的角），該怎樣確定時間t（單位：s）后點P的位置？

學生思考后提出：OP經過t s后轉過的角是ωt，因此以Ox為起始邊，OP為終邊的角θ=ωt，所以

設計意圖：此問意在引導學生感知角速度ω的應用，并學會使用含t的三角函數來表達點P的坐標.

問題4：如圖2所示，在平面直角坐標系xOy中，點P是以點O為圓心，A為半徑的圓上的一點，將P0作為起始點，逆時針進行勻速圓周運動，已知角速度是ω（單位：rad/s）（單位時間內轉過的角），該怎樣確定時間t（單位：s）后點P的位置？

圖2

學生思考后提出：以Ox為起始邊，OP為終邊的角θ=ωt+φ，故

設計意圖：此問意在讓學生通過思考與探究發現，如果點P的起始點不在x軸上，就需要利用到初始角φ.初始角φ是以Ox為起始邊，OP0為終邊的任意角.通過探究，學生對應用三角函數刻畫做勻速圓周運動的點的位置有了初步理解，為接下來使用三角函數模型解決一些實際問題奠定了基礎.

3.模型探究，加強應用

課堂探究活動的開展，具有一定的開放性、自主性與實踐性等特征.探究問題的提出，能有效驅動學生的好奇心，讓學生積極主動地參與到問題的研究中來，增強學生獨立思考與分析問題的能力，促進學生形成科學的探究意識與積極的學習態度.

探究問題的設計，應從學生原有的認知經驗與興趣出發，盡可能為學生提供充足的空間與時間，讓學生在自主探索、合作交流中對所學知識產生更加深刻的認識與理解.同時，課堂探究活動的開展，還能有效促進學生的團隊合作意識、溝通能力與核心素養的提升.本節課中，教師可以水輪為背景，提出探究問題供學生思考.

探究1：如圖3所示，這是一個半徑為3米的水輪，圓心O與水面的距離是2米，該水輪每分鐘沿著逆時針方向勻速旋轉4周，若水輪上的點P從浮出水面時（點P0）開始計時.

圖3

問題：（1）如何將點P與水面的距離z（單位：米）表示成時間t（單位：秒）的函數？

（2）求點P第一次達到最高點所需要的時長.

本題教學，可從以下幾步實施：

第一步，要求學生讀題、審題，解說題意，并思考解決第（1）問需要應用學過的哪些知識（在獨立思考的基礎上進行合作交流）.

結論：想要確定點P的具體位置，需要找出點P的縱坐標.

第二步，設計“問題串”，讓學生的思維呈階梯形遞進：①想要確定點P的縱坐標，首先要做什么？（建立平面直角坐標系）②如何建立平面直角坐標系？最優標準是什么？（以點O為原點，水平方向為x軸，盡可能讓圖形對稱、計算簡單）③建系后可以找到點P的縱坐標嗎？（不能，因為點P的起始點不在x軸上，涉及初始角φ的引入）④哪個角為φ？（設∠P0Ox為φ）⑤是否能這樣表示任意角？（不能，應設Ox為起始邊，OP0為終邊的角為φ）⑥角φ的取值范圍有限制嗎？（從題意出發，角φ的終邊位于第四象限，因此φ∈

設計意圖：典型問題的提出，讓學生的思維隨著“問題串”的引導經歷建模、解決問題的過程，深切體會三角函數模型在描述與刻畫周期性變化問題中具備的作用，從真正意義上掌握用三角函數模型解決實際問題的具體方法.

變式拓展：如圖4所示，在探究勻速圓周運動的點P運動規律的基礎上，換一個角度進行觀察，若有一束平行光將點P投影至y軸上，點P′為投影點，求點P′的運動規律.

圖4

教師用幾何畫板演示此過程，學生通過肉眼觀察點P′的運動規律，從中發現一定的特征，通過單位圓與三角函數線生成正弦曲線的理論，成功引出P′的往復運動，即簡諧運動.

設計意圖：探究1是與簡諧運動相關的實際問題，學生對此不太了解，教師從學生的角度出發，通過觀察角度的改變，并借助學生感興趣的多媒體，將簡諧運動的特點淋漓盡致地展現在學生眼前.從某種意義上來說，降低了學生認知的起點，為學生自主解決問題鋪設了臺階.

探究2：如圖5所示，已知點O為簡諧運動物體的平衡點，向右作為物體位移的正方向，若振幅為3 cm，周期為3 s，且向右運動到與平衡位置最遠的地方開始計時.

圖5

問題：（1）寫出該物體于平衡位置的位移x與時間t的函數關系；

（2）求此物體于t=53 s時的準確位置.

先要求學生讀題、審題，解說題意；然后從題意出發，點O向右位移作為正方向，向左位移則為負方向，當t=0時，x=3.

在學生自主完成解題后，選擇幾個具有典型代表意義的解題方法投影到電子白板上，與學生共同探討.

設計意圖：這是一道可以直接引用簡諧運動模型的例題，意在引導學生學會將生活實際問題轉化成具有“數學味”的符號語言，訓練學生應用待定系數法來確定模型的能力，為解決更多的實際問題奠定基礎.

4.方法體驗，促進理解

如圖6所示，這是一個半徑為40 m的摩天輪，其圓心O與地面的距離為50 m，如果摩天輪一直在做勻速轉動，且每3分鐘就逆時針旋轉一周，設點P為摩天輪的最低起點.

圖6

問題：（1）寫出在t分鐘時，點P與地面的距離h；

（2）摩天輪每轉動一周，存在多長時間點P與地面的距離大于70 m？

學生通過合作探究完成以上問題的解決，教師加強巡視，必要時針對個別學生進行適當指導，將學生的典型解法投影到電子白板上，與大家一起點評.

解題過程中，學生呈現出了兩種典型方法：①仿照探究1，建立數學模型解題；②仿照探究2，直接應用模型h=Asin（ωx+φ）+b解題.教師講評時提出：本題為典型的勻速圓周運動，建議學生仿照探究1建模解題.

設計意圖：摩天輪與水輪有著異曲同工之妙，這是學生感興趣的生活背景，有助于激發學生的探究熱情，幫助學生從數學的角度抽象生活素材，強化學生的應用意識.

5.總結提煉，完善認知

師生共同回顧本節課的教學內容，對涉及的學習方法和知識進行歸納總結，具體有：①總結用三角函數模型解決生活實際問題的方法；②提煉本節課應用到的數學思想，包含數學建模思想、函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想等.

設計意圖：借助于總結環節，對課堂教學內容進行整理與概括，促進學生掌握用三角函數模型解決實際問題的能力，完善學生的認知結構.

教學思考

1.情境是開展教學活動的基礎

情境是人類認知的起點，也是開展教學活動的基礎.本節課中，教師利用水車、水輪、摩天輪等生活情境作為課堂教學的背景，是基于學生認知創設的情境，不僅能引發學生情感上的共鳴，還能讓學生在豐富的情境中體驗到數學文化的博大精深，對三角函數的形成與發展形成了一定的認識.豐富的情境，讓學生體悟到數學知識的廣泛性與實用性，還能突出課堂教學的人文氣息，體現出數學學科獨有的魅力.

2.教學方法是實施教學的關鍵

良好的教學方法是滲透數學思想的技術手段，教師通過問題驅動與探究活動的拓展，為學生數學思維的發展搭建了平臺.隨著一個個問題的突破，學生認知經歷了由淺入深的發展過程，深化了學生對知識的理解程度，讓學生從多維度感知建構函數模型的方法.在問題的引導下，學生不僅積極主動地參與了每一個活動，還有效促進了思維的發展，完善了認知［4］.

3.數學思想是數學教學的精髓

三角函數模型的建構與應用過程中，蘊含著豐富的數學思想，如用擬合法從實際問題中抽象函數模型，彰顯了數學模型思想；三角函數本身就存在著典型的數形結合思想，其應用還涉及化歸與轉化思想、函數與方程思想等.

總之，一堂課教學的成敗重在理念，巧在設計，成在實踐，勝在數學思想的應用.若想最大化地發揮數學課堂的教學與育人功能，教師必須深入了解學情，只有基于學生認知展開的教學活動，才具有可行性、實效性，課堂也因知識本質的流露與思維的不斷提升而充滿活力.