深度探究 提升實(shí)效
——以“用向量法研究三角形的性質(zhì)”為例

徐彩鳳

福建省廈門市同安實(shí)驗(yàn)中學(xué) 361100

2019年6月，《國(guó)務(wù)院辦公廳關(guān)于新時(shí)代推進(jìn)普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》中指出：深化課堂教學(xué)改革，要注重加強(qiáng)課題研究、項(xiàng)目設(shè)計(jì)、研究性學(xué)習(xí)等跨學(xué)科綜合性教學(xué)，認(rèn)真開展驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)和探究性實(shí)驗(yàn)教學(xué).數(shù)學(xué)探究是深化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要抓手之一，在發(fā)展學(xué)生認(rèn)知能力、思維發(fā)展和創(chuàng)新意識(shí)上起著重要作用.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》也指出：數(shù)學(xué)探究所涉及的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展具有連續(xù)性和階段性.教師應(yīng)整體設(shè)計(jì)探究活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從模仿到自主，從局部到整體，經(jīng)歷“選題、開題、做題、結(jié)題”的活動(dòng)過程，積累發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的經(jīng)驗(yàn)，積累獨(dú)立思考和合作交流的經(jīng)驗(yàn).然而在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)實(shí)踐中，不少教師對(duì)待探究活動(dòng)只是走過場(chǎng)，“淺層探究”的課堂現(xiàn)象層出不窮.因此如何開展數(shù)學(xué)深度探究活動(dòng)是廣大一線教師必須面對(duì)的問題.數(shù)學(xué)深度探究是一種讀懂學(xué)生、立足教法、根植教材的活動(dòng)，關(guān)注學(xué)生的深層動(dòng)機(jī)、切身體驗(yàn)、深度理解、高階思維、遷移應(yīng)用［1］.本文結(jié)合《人教A版普通高中教科書·數(shù)學(xué)（必修第二冊(cè)）》中的數(shù)學(xué)探究“用向量法研究三角形的性質(zhì)”（第二課時(shí)），對(duì)數(shù)學(xué)深度探究活動(dòng)的模式、策略進(jìn)行初步探討.

緊扣教學(xué)本質(zhì)，確定素養(yǎng)導(dǎo)向?qū)W習(xí)目標(biāo)

向量是溝通幾何和代數(shù)的橋梁，通過向量運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)和證明圖形性質(zhì)是打破傳統(tǒng)綜合法證明幾何問題的有力抓手，提供了幾何運(yùn)算推理的新途徑，體現(xiàn)了向量法的程序性和普適性.平面向量是體現(xiàn)“數(shù)”與“形”融合的重要載體，用向量法研究三角形的性質(zhì)蘊(yùn)含著典型的數(shù)形結(jié)合思想方法：由形到數(shù)（向量表示）→數(shù)的運(yùn)算（向量運(yùn)算）→由數(shù)到形（向量到形）［2］.

在平面幾何中，學(xué)生已研究過三角形，知道了三角形的一些基本性質(zhì)，但他們所掌握的三角形知識(shí)有限，對(duì)三角形的認(rèn)識(shí)還不夠深入，例如他們對(duì)三角形的外心、中線、重心、角平分線、內(nèi)心、高、垂心等只有初步認(rèn)識(shí).在第一課時(shí)中，采用“三步曲”，通過向量運(yùn)算、邏輯推理，重新證明了已學(xué)的三角形性質(zhì)（中位線定理、直角三角形的中線等于斜邊的一半等）.在采用向量法證明三角形的三條中線交于一點(diǎn)的過程中，得到了初中數(shù)學(xué)教科書中沒有涉及的一個(gè)重要性質(zhì)——三角形的重心是中線的三等分點(diǎn)，從而體驗(yàn)了向量法在解決幾何問題中的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)簡(jiǎn)單經(jīng)歷了課題探究活動(dòng)的四個(gè)環(huán)節(jié)——選題、開題、做題與結(jié)題.因此，以三角形為研究對(duì)象，用向量法對(duì)它的性質(zhì)進(jìn)行再研究，可以使學(xué)生在已有認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，更系統(tǒng)地掌握三角形的性質(zhì)，積累“研究—個(gè)幾何對(duì)象”的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步了解研究一個(gè)幾何圖形的內(nèi)容、路徑、方法等，加深理解向量法在研究幾何問題中的作用.

基于以上分析，確定素養(yǎng)導(dǎo)向下的學(xué)習(xí)目標(biāo)：

（1）通過向量法深入研究三角形的性質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的過程和方法，在得到一些三角形性質(zhì)并撰寫和交流研究報(bào)告的活動(dòng)中，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等思維方式發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題的能力.

（2）通過合作交流發(fā)現(xiàn)和提出問題，探索和表述論證過程，培養(yǎng)有邏輯地表達(dá)和交流的能力.

（3）積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等素養(yǎng).

策略解讀：教師設(shè)計(jì)深度探究活動(dòng)時(shí)，要對(duì)教材及數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行整體性、系統(tǒng)性的研讀，深度挖掘探究?jī)?nèi)容.分析學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)后，再對(duì)探究?jī)?nèi)容進(jìn)行選擇，確定適合學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)，確保學(xué)生能夠產(chǎn)生深層動(dòng)機(jī)，主動(dòng)去挑戰(zhàn)困難、克服困難.

整體設(shè)計(jì)活動(dòng)，聚焦引領(lǐng)性學(xué)習(xí)主題

全班分為四個(gè)小組，第一小組：三角形邊角要素（角與角、邊與邊、邊與角）之間關(guān)系的探究；第二小組：三角形高線性質(zhì)的進(jìn)一步探究；第三小組：三角形中線性質(zhì)的進(jìn)一步探究；第四小組：三角形角平分線性質(zhì)的進(jìn)一步探究.由于這是第一次放手讓學(xué)生自主探究，有別于課堂上對(duì)某個(gè)具體問題的探究活動(dòng)，這是一個(gè)全新的挑戰(zhàn)，時(shí)間長(zhǎng)達(dá)一周.學(xué)生在發(fā)現(xiàn)和提出問題、如何進(jìn)行研究等方面面臨困惑，教師需要實(shí)時(shí)跟蹤并進(jìn)行必要的指導(dǎo).學(xué)生通過自我研討、小組討論、教師指導(dǎo)獲得了相應(yīng)的效果，在此選取第二、第三、第四小組在課堂上的表現(xiàn)展示如下：

1.探究問題1：三角形高線性質(zhì)的進(jìn)一步探究（由第二小組完成）

圖1

圖2

結(jié)論1：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD.此結(jié)論稱作直角三角形射影定理，又稱為歐幾里得定理.

2.探究問題2：三角形中線性質(zhì)的進(jìn)一步探究（由第三小組完成）

如圖3所示，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是BC，AC，AB的中點(diǎn)，O是△ABC的重心，用向量法可以得到以下結(jié)論：

圖3

對(duì)比結(jié)論4和結(jié)論5，發(fā)現(xiàn)結(jié)論4是結(jié)論5當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合的特殊情形，即實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般的轉(zhuǎn)變.另外，結(jié)合結(jié)論1和結(jié)論4可得以下結(jié)論：

3.探究問題3：三角形角平分線性質(zhì)的進(jìn)一步探究（由第四小組完成）

如圖4所示，在△ABC中，角A的平分線AD交BC于點(diǎn)D，則可得以下結(jié)論：

圖4

如圖5所示，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.AD，BE，CF分別是角A，B，C的平分線，AD，BE，CF相交于一點(diǎn)O，則稱O是△ABC的內(nèi)心.

圖5

策略解讀：在長(zhǎng)達(dá)一周的小組合作交流中，學(xué)生的探究熱情達(dá)到了空前高峰.在此過程中，學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，在組間不斷進(jìn)行嘗試，在思維碰撞中親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)知識(shí)的過程，切身體驗(yàn)后再進(jìn)行思考和總結(jié)，實(shí)現(xiàn)了深度探究.

突出問題導(dǎo)向，做好難點(diǎn)突破

數(shù)學(xué)探究是以一類問題為載體、以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng).設(shè)計(jì)好的問題有利于激發(fā)學(xué)生的參與度，能循序漸進(jìn)地將新知識(shí)建構(gòu)到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，做好難點(diǎn)突破，達(dá)到深度理解.例如角平分線組（第四小組）在開始探究時(shí)遇到了不少困難，于是教師設(shè)計(jì)了以下三個(gè)問題啟發(fā)學(xué)生思考：

問題1：類比中線的向量形式，角平分線是否也可以用向量形式表示呢？

問題2：三角形的角平分線平分頂角，那么它的邊之間有什么數(shù)量關(guān)系呢？

問題3：三角形的角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心，內(nèi)心與三個(gè)頂點(diǎn)有什么關(guān)系？你能類比垂心和重心寫出內(nèi)心關(guān)于向量的表達(dá)式嗎？

延伸和拓展，發(fā)散學(xué)生的思維

如圖6所示，在△ABC中，A′，B′，C′分別是邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，故將△A′B′C′稱為△ABC的“中位三角形”.已知G，H分別是△ABC的重心和垂心，O是△ABC的外心，也是△A′B′C′的垂心.圖中蘊(yùn)含著非常豐富的三角形性質(zhì)，從線共點(diǎn)、點(diǎn)共線、邊的關(guān)系、角的關(guān)系、長(zhǎng)度、面積等不同角度入手，發(fā)現(xiàn)和證明這些性質(zhì).

圖6

策略解讀：引入著名的“歐拉定理”，即三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線（稱為歐拉線），且學(xué)生先直觀感知“三心”之間的關(guān)系，大膽猜想結(jié)論，再借助幾何畫板初步驗(yàn)證，最后進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)證明.這樣處理是為了發(fā)展學(xué)生的高階思維能力，提升其直觀想象能力和邏輯推理能力，進(jìn)一步感受向量法解決平面幾何問題的本質(zhì)，形成“直觀感知—操作確認(rèn)—思辨論證”的數(shù)學(xué)探究思想.

多元探究評(píng)價(jià)，鞏固探究成果

當(dāng)學(xué)生完成探究后，由教師評(píng)價(jià)并組織學(xué)生自評(píng)、互評(píng).數(shù)學(xué)探究活動(dòng)強(qiáng)調(diào)多元評(píng)價(jià)，通過多元評(píng)價(jià)，可以使學(xué)生積累探究活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)會(huì)如何提出觀點(diǎn)，如何發(fā)表意見，如何開展團(tuán)隊(duì)合作，從而培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，并激勵(lì)學(xué)生以更加飽滿的熱情投入新的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)提升探究效果，鞏固探究成果.

為了使本次的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)更具延伸性，教師設(shè)計(jì)了以下課后探究思考題：

（1）請(qǐng)查找平面向量“奔馳定理”相關(guān)資料，深入探究三角形“四心”的向量表達(dá)式；

（2）你還有更多的發(fā)現(xiàn)嗎？你能用向量法研究多邊形的性質(zhì)嗎？

綜合上述深度探究實(shí)踐活動(dòng)，構(gòu)建了數(shù)學(xué)深度探究模式圖（如圖7所示）.

圖7 數(shù)學(xué)深度探究模式圖

總之，數(shù)學(xué)探究活動(dòng)是綜合性的實(shí)踐活動(dòng)，是綜合提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體.每一個(gè)參加數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的學(xué)生都應(yīng)該自己主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，這正是時(shí)代需要的問題意識(shí)、創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力［3］.教學(xué)中要認(rèn)真落實(shí)修訂版課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)學(xué)探究的要求，設(shè)計(jì)素養(yǎng)導(dǎo)向下的學(xué)習(xí)目標(biāo)，確定學(xué)生自覺發(fā)展的最近發(fā)展區(qū)，提供恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)材料，幫助學(xué)生“親身”經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)過程［4］，從而發(fā)展學(xué)生的無限創(chuàng)造力.