立足“三會”，學會從數學的角度觀察與思考問題

鄢學杰

貴州省貴陽市觀山湖區第一高級中學 550081

新課標背景下的高中數學教學，在“以生為本”的基礎上，倡導“立德樹人”教育教學理念，以期培養學生的“三會”能力.史寧中教授在新課標的基礎上進一步說明了“三會”，即用數學眼光觀察世界的本質就是數學抽象，數學思維實則為邏輯推理過程，而數學語言的本質就是我們所熟悉的數學模型［1］.想要培養學生的“三會”能力，實則培養學生的數學抽象、數學推理與數學建模能力.

用數學眼光觀察世界

什么是數學眼光？數學眼光是指人類從客觀的事物或現象中捕捉到數學特征或觀點的一種能力.想要發展這種能力，離不開對現實事物的觀察、分析、比較、猜想與驗證等過程，這就需要帶領學生從客觀事物或現象的本質出發，讓學生基于數學的角度提出問題，并將這些問題數量化后用數學語言加以描述.因此，這是一個數學抽象與數學創造的過程，體現了學生的創造意識.

如超市中大部分大瓶牛奶的包裝盒都是長方形，而大部分飲料的包裝盒卻是圓柱形，這是為什么呢？

超市是學生熟悉的場所，學生對于牛奶與飲料都非常熟悉，卻鮮有學生思考過這個問題.若將這個問題引入到課堂中，不僅體現了生活與數學的聯系，還為學生提供了數學抽象的機會，讓學生學會用數學眼光觀察身邊的事物.

就以上這個問題，學生經過合作交流，普遍認為存在以下幾種可能：①人們習慣直接喝飲料，圓柱形包裝手感更舒適一些，同時圓柱形容器也容易制造，符合優化原則；②大部分人習慣將牛奶倒出來喝，長方形的包裝便于傾倒，同時從超市物品排列的角度來看，長方形擺放在一起能節約貨架空間.

從以上角度分析這個生活問題，成功激發學生探索欲的同時，也鼓勵學生對生活常見的現象進行合理抽象和推導，用數學思想方法提升了認知技能.因此，這種教學方式的應用，不僅讓學生切身感知到數學源于生活的真諦，還有效啟發了學生用數學眼光觀察世界的思維.

核心素養的培養離不開實踐操作、觀察與思考，這不僅是培養學生形成理性思維與批判能力的主要方式，還是促使學生形成用數學眼光觀察世界的重要手段.學生親歷動手操作，常常能有效激活自身原有的認知經驗，通過知識的正遷移解決問題.

例1操作要求：如圖1所示，準備圓形紙張，并于紙張上非圓心的位置任取一點F，折疊這張紙片，使得圓周過點F，而后展開紙片得到折痕l（可在紙上畫出）.重復這種折疊方法，可得大量折痕，觀察折痕所圍成的輪廓（見圖2），要求學生感知最終得到了什么曲線.

圖1

圖2

學生實際操作過程：

（1）取出圓形紙張，設圓心為A，r為半徑，取圓內非圓心的點B；

（2）折疊圓形紙張，讓折疊后的圓弧過點B，重復此折疊步驟，獲得大量折痕（畫出）；

（3）觀察折痕所圍成的曲線，借助幾何畫板操作，視覺效果更好.

通過以上實踐操作，學生經過合作交流，獲得以下猜想：①折痕圍成一個分別以點A，B為焦點，r為長軸長的橢圓；②所得橢圓的焦點（一個）關于橢圓任意切線的對稱點構成圓，橢圓的另一個焦點為此圓的圓心，橢圓的長軸長為該圓的半徑.

以上均為猜想，想要驗證猜想是否合理，必須經過嚴謹的證明.因此，學生經過討論，提出了以下證明過程：

如圖3所示，第一步，證明橢圓上的任意一點都在某條折痕上.

圖3

假設點H是橢圓上的任意一點，將AH連接且延長后與圓相交于點D，再連接BD.設FG為線段BD的垂直平分線，那么FG就是一條折痕.根據點H位于橢圓上的條件，可知HB+HA=r，同時HD+HA=AD=r，那么HB=HD，由此可確定點H位于線段BD的垂直平分線上，也就是點H位于折痕FG上.

第二步，證明任意一條折痕均與橢圓為相切的關系，實則證明FG和橢圓相切于點H.

若點J是FG上非點H的任意一點，因為JB+JA=JD+JA＞DA=r，也就是點J位于橢圓外部，因此FG和橢圓的交點只有H，也可理解為FG和橢圓相切于點H.

值得注意的是：如果點B與點A為重合的關系，那么所有折痕圍成的曲線輪廓則是一個圓.

學生自主操作、觀察、分析與探索的過程，實則為學生用數學眼光分析世界的過程.中學數學教學中，引導學生用數學眼光觀察世界，一般都建立在學生學情與教學內容的特點上，通過教師創設合適的問題情境，引導學生根據情境深入探索，讓學生逐漸形成用數學眼光觀察世界的能力與科學嚴謹的探索習慣，為形成高質量的數學思維奠定基礎.

用數學思維分析世界

數學是思維的體操，數學思維不僅貫穿數學學習的整個生涯，還對學生的終身發展具有深遠的影響.想要學好數學，就要學會用數學觀點去分析與思考生活中的現實問題，通過操作、觀察、比較、抽象、猜想與概括等手段，并應用各種推理方法準確地闡述自己對客觀現象的觀點與看法，辨明其中的數學關系，從而更加準確地認識客觀世界.

波利亞認為：生活是數學思維的起點，缺乏生活實際的思維是空洞且無依靠的，如果切斷生活與數學的聯系，那么數學思維則無處發展［2］.生活實際能讓學生直觀形象地感知數學知識的抽象與推理，而抽象與推理又是數學思維的發展基礎.因此，教師應結合學生的認知經驗，從生活實際出發，創設一些豐富的教學情境，讓學生的思維從感性認識提升到理性理解.

例2如圖4所示，某海灣的半島上有一個停機坪，若跑道AB的長度是4.5千米，海岸線l（將海岸線視為直線）與跑道AB所在的直線形成60°的夾角，已知點B為跑道AB與海岸線距離最近的點，點B與海岸線的距離BC的長度為4千米，且點D是海灣一側海岸線CT上的一點.假設CD=x千米，點D對跑道AB的視角是θ.

圖4

問題：（1）將tanθ表示為x的函數；

（2）若θ取最大值，則點D的位置是什么？

分析：（1）觀察圖4，可知θ=∠ADC－∠BDC，為求tanθ的值，可從tan∠ADC與tan∠BDC進行分析.顯然，tan∠BDC=，接下來就是求tan∠ADC的值.作AE⊥CD，E為垂足，不難發現，隨著x的取值變化，點E的位置會發生變化，點E的位置既可能位于線段CD上，也可能位于線段CD外（見圖5），且∠ADC存在銳角或鈍角兩種情況.因此，此處需要進行分類討論.

圖5

作AF⊥CB與CB的延長線相交于點F，根據題意，可得AF=，此為分類討論的分界點.通過先分后合，可得tanθ=（x＞0）.

（2）求最大值的問題，可從以下兩種方法出發：第一種，因為分子為一次式，分母為二次式，因此可將分子中的“x+4”視為一個整體，將分子、分母同時除以“x+4”，而后通過基本不等式求解；第二種，通過導數法獲得最大值.最終不難獲得：位于海灣一側的海岸線CT上與點C距離6千米的點D處，該跑道的視角最大.

對于學生而言，本題的教育價值遠遠高于獲得本題的結論，更重要的是學生的思維完整地經歷了從生活實際抽象到數學問題并順利解決問題的過程.這種思維經驗無法通過教師的說教而獲得，必須通過學生的親身體驗與積累而來，學生的思考能力也隨著思維的發展而發展，直至形成用數學思維思考世界的能力.

學生掌握用數學思維思考世界的能力，從本質上來說，就是能夠精確地計算，定量地分析現實世界，并通過符號化或幾何直觀等具體抽象問題的共同特征，探索推導出解決一般問題的途徑.學生一旦掌握了這種能力，則能在數據搜集、整理與分析中綜合判斷生活問題，為更好地推動社會發展奠定基礎.

當然，實際教學中，教師對“數學思維”的理解更應深刻、全面、合理一些.古往今來，任何數學知識的形成與發展都不是孤立的，各種知識的形成都經歷了漫長的過程.在此過程中，有很多知識的發展是相輔相成、互相關聯的.正是這種互相關聯的存在，才讓數學學科成為一門系統性的學科，呈現在我們面前的是一種結構化的形式.

鑒于此，教師引導學生用數學思維思考世界時，應對知識進行縱橫雙向聯系與對比，引導學生從宏觀的角度發現知識的結構性與系統性，從而建構完整、條理清晰的認知結構.簡而言之，就是能高屋建瓴地認識數學這門學科，能站到一定的高度去學習數學，以凸顯每個知識的重要價值.

用數學語言表達世界

數學語言包括文字語言、圖形語言與符號語言三大類，不論哪一類數學語言都具有簡潔性、嚴謹性、抽象性、通用性等特征.數學語言作為數學思維的載體，是用來進行數學交流的主要工具.教學中，教師可引導學生用數學語言交流自己的想法，鼓勵學生通過敘述法表達數學思維過程，并用合適的語言表達對問題的看法、疑惑或解決方法等.這不僅是鍛煉學生數學語言表征能力的過程，也是促進師生、生生之間進行交流學習，獲得體驗與感悟的過程.

新課標明確提出，操作實踐、自主探究、合作交流為數學學習的基本形式.若要實現有效交流，需建立在對數學語言深刻理解與靈活應用上.

例3已知三個平面為兩兩相交的關系，據此可得三條線，求證：三條線相交于一點或互相平行.

分析：此為一道典型的文字語言命題，如何實現“文字語言—圖形語言—符號語言”的轉化呢？

三個平面兩兩相交，可轉化成“α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c”；待求結論可轉化為“求證：a，b，c相交于一點P或a∥b∥c”.

究竟該從什么角度進行證明呢？

如圖6所示，因為α∩β=a，β∩γ=b，所以直線a，b?平面β，則a∩b=P或a∥b.

圖6

如果a∩b=P，那么P∈a，α∩β=a，所以P∈α.同理，因為P∈γ，所以P∈γ∩α=c，也就是a，b，c相交于點P.

如果a∥b，b?γ，a?γ，可得a∥γ.又a?β，γ∩α=c，所以a∥c.由此可確定a∥b∥c.

證明該命題，學生將文字語言成功地轉化為圖形語言與符號語言，反映了學生良好的表達能力與邏輯思維能力.解題中，遇到用數學語言表達的問題，一方面能讓學生擁有更多交流的機會，讓學生的邏輯思維變得更加清晰，語言表達得更加準確，這對發展學生的理解能力具有直接影響；另一方面，可培養學生的符號意識，當學生再遇到生活實際問題時，能自然而然地引進數學符號理解與表達問題，形成用符號程序解決問題的能力.

用數學語言表達世界的能力，體現在從直觀形象向抽象概括的發展過程上，以及自然語言過渡到數學語言的過程，是靜態描述轉向動態描述的必經之路.經過長期訓練，學生能從多維度發展數學表達能力，提高交流效率，為更好地解決問題奠定基礎.

蘇霍姆林斯基認為：每個人的內心深處都期望自己是一個發現者、研究者、探索者［3］.用數學眼光觀察世界，并用數學思維思考世界，從本質上來說就是用數學語言完整地表達事物所處的狀態、形態、關系與過程，通過合理地判斷、運算與推導等獲得結論，也就是將數學作為一種“工具”來研究生活現實問題的體現.