仿射變換視角下橢圓的極點極線

王昌林 邵星峰

橢圓是高中數(shù)學教學中一個十分重要的知識點，與橢圓的極點極線有關(guān)的性質(zhì)與推論在已有的文獻中的證明方式都顯得較為繁瑣，文1介紹了極點極線的概念與部分性質(zhì)，但證明不詳細；文2-3給出了新的推論并給出了詳細的證明，但過程較為繁瑣且不易理解．運用仿射變換將橢圓變換成圓，在圓中來研究與橢圓有關(guān)的性質(zhì)，可以較好的解決證明過程繁瑣且不易理解的問題．

1極點極線的定義

1.1幾何定義

如圖1，點P為不在橢圓上的點，過點P引兩條割線依次交橢圓于E，F(xiàn)，H，G，連接EH，F(xiàn)G交于Ⅳ，連接GE，HF交于點M，則直線MN為點P對應(yīng)的極線，若點P為橢圓上的點，則過點P的切線為極線[l]．

同理可知：PM為點Ⅳ所對應(yīng)的極線；PN為點M所對應(yīng)的極線，其中MNP為自極三點形，得到，仿射變換有：（1）仿射變換把直線變成直線；（2）仿射變換把平行直線變成平行直線；（3）仿射變換保持共線三點的簡單比值不變；（4）仿射變換把共線的三點變成共線的三點，把不共線的三點變成不共線的三點；（5）仿射變換把線段變成線段，并保持線段的分比不變；（6）仿射變換按同一比值改變平面上所有（有面積的）圖形的面積等性質(zhì)[4]．根據(jù)仿射變換的原理，以下的性質(zhì)與證明皆是將橢圓的極點與極線都看作是圓的極點與極線．

3 性質(zhì)與證明

性質(zhì)1 （1）當點JP在橢圓上時，其極線，是橢圓在點P處的切線．

（2）當點P在橢圓外時，其極線，是點P向橢圓所引兩條切線的切點所確定的直線（即切點弦所在直線）．

（3）當點P在橢圓內(nèi)時，其極線，是橢圓過點P的割線兩端點出的切線交點的軌跡．

縱觀近20年的高考題，從2001年的全國卷理科19題開始就有了以極點與極線為背景的高考試題，其中2010年江蘇卷理科18題與2020全國I卷理20題最為類似，是名副其實的姊妹題，例1和例2是與極點和極線有關(guān)的定點類問題，例3是與極點和極線有關(guān)的定值類問題，根據(jù)極點和極線的定義與性質(zhì)，解答過程十分簡潔，雖然極點與極線在高考解答過程中不能直接使用，但其確是一個快速判斷正確答案的好辦法，有助于學生在解答時明確答題方向，優(yōu)化解答和運算過程，值得關(guān)注，

參考文獻

[1]王文彬．極點、極線與圓錐曲線試題的命制[J]．數(shù)學通訊：教師閱讀，2015 （4）：62-64

[2]韓毅，蔣曉東，橢圓的極點極線性質(zhì)及推論[J]．中學數(shù)學研究（華南師范大學）（上半月），2019 （5）：2-6

[3]劉娟娟，羅文軍．從一道高考題談圓錐曲線極點和極線又一等差性質(zhì)[J].理科考試研究，2019 （1）：6-7

[4]吳佐慧，林軍，劉合國．仿射變換在高中數(shù)學中的應(yīng)用[J]．數(shù)學通訊，2015 （9）：28-30

[5]王昌林，紀定春．對2020年全國理科I卷第20題的背景分析與解法探究[J]．數(shù)理化學習（高中版），2021 （02）：7-10．15