問題導之，思想滲之，明暗織之

郭海萍 林新建

杜賓斯基認為：任何一個數學教育中的理論或模型都應該致力于對“學生是如何學習數學的”以及“什么樣的教學計劃可以幫助這種學習的理解”，

本文試圖以《普通高中教科書·數學選擇性必修第二冊》（人教A版）第五章《一元函數的導數及其應用》中“函數的單調性”的教學為例，來呈現知識之間的縱向聯系，置知識于系統之中，體會數學內容的整體關聯性，促進學生理解數學知識，感悟數學思想，進而把握數學本質，發展核心素養．

1 課堂教學過程及說明

1.1數學情境，引發認知沖突

問題1研究函數f（x）=x-lnx一1的單調性，你能用已學過的方法判斷嗎？

追問過去我們是怎樣討論函數在其定義域內的單調性？判斷函數單調性的常用方法有哪些？

問題2函數的單調性能夠刻畫函數的變化趨勢，函數的瞬時變化率即導數也可以刻畫函數的變化趨勢，那么函數的單調性與導數之間有何關系呢？能用導數研究函數的單調性嗎？

師生活動設計教師提出問題1，并通過追問，引發學生思考，發現用所學的方法從“形”和“數”兩個角度均難以判斷此函數的單調性，認識到定義法和圖象法的局限性，引發認知沖突，產生探究新方法的求知欲，此時教師順勢引出問題2，并揭示課題，自然而然，

設計意圖創設合適問題情境，引導學生嘗試運用所學方法解決非基本初等函數的單調性，引發認知沖突，產生疑惑，激發學生主動學習新知識的熱情，啟動思維，讓學生認識到引入導數法研究函數單調性的必要性．

1.2數學探究，感知對應關系

設計意圖為了驗證函數的單調性與其導數正負之間的關系，引導學生從熟悉的基本初等函數入手，讓學生動手操作，從“形”的角度直觀感知導數與函數單調性的關系，學生經歷觀察、猜想、歸納的過程，有益于發展學生的直觀想象素養， 問題5請完成下列表格，你能從中概括出導數的正負與函數的單調性之間的關系嗎？

設計意圖由特殊到一般，由具體到抽象，引領學生進一步概括導數的正負與函數單調性的關系，學生在觀察、猜想、歸納、提煉中體驗知識的發現、發生過程，并嘗試將已有的圖形語言，用文字語言和符號語言精準地表達出來，發展數學抽象和數學建模的核心素養．

1.4數學內化，理解本質關系

問題6聯系函數單調性的定義，并思考在某個區間上單調的函數y=f（x）其平均變化率的幾何意義與f（x）的正負關系，你能解釋為什么可以由函數在某區間上的導數的正負來判斷函數在該區間上的增減性？

師生活動設計教師引導學生從函數單調性定義與導數定義找到函數單調性與導數的本質關系，根據學生回答的情況，教師給予適當啟發和拓展．

再通過追問，由逼近思想，研究切線的斜率與函數的單調性的關系．在區間D內，割線的斜率可以反映曲線的平均變化趨勢，當其中一點無限逼近另一點時，割線就成了該點處的切線，切線的斜率（導數的幾何意義）反映的是曲線的瞬時變化趨勢，若函數y=f（x）在區間D的圖象上任意一點處切線的斜率為正（f（x）>0），則在區間D的圖象上任意兩點割線斜率為正，從圖象變化趨勢上看函數在該區間內呈上升趨勢，即函數y=f（x）在區間D上單調遞增．

最后，從“數”的角度，回到導數定義，揭示

導數正是函數平均變化率的極限，所以我們從對應的數學定義中找到了導數的正負與函數單調性的本質關系，

設計意圖遵循最近發展區原理，激發學生思維，他們既學會從“形”直觀觀察得到結論，又能從“數”的角度，抓住導數和函數單調性的定義之間的聯系來提煉結論，呈現了知識之間的縱向聯系，讓學生體會到函數單調性定義、割線的斜率、導數三者的密切相關，認識到用導數法研究函數單調性具有一般性，從數學角度發現結論、論證結論，在此過程中滲透“猜想 歸納論證”的思想方法，讓學生體驗到研究數學問題時，既要有直觀感受，也要重視推理證明，從中培養學生嚴謹的思維習慣，提升其邏輯推理素養．

師生活動設計教師提出例1，學生思考回答，先根據導數的符號確定原函數的單調性，從而畫出原函數的大致圖象，此例具有一定開放性，學生得出的函數圖象不唯一，只要抓住了問題的本質即可，同時教師將問題進行適當變式，由已知原函數圖象去確定對應導函數的大致圖象，加深對導數正負與原函數增減性之間的關系的理解，

設計意圖對原函數圖象與導數圖象進行對照探討，經歷由“數”到“形”、由“形”到“數”的過程，意圖是讓學生深入理解導數與函數單調性之間的關系，感悟數形結合、化歸與轉化思想，從而發展學生直觀想象、邏輯推理的核心素養，

例2判斷下列函數的單調性并求其單調區間，

師生活動設計教師提出例2，引導學生思考解決問題的幾種方法，比較方法的優缺點，對于較復雜函數（如由多個基本初等函數經四則運算后得的新函數），用導數法來研究其單調性．教師示范第（2）題解題過程，幫助學生掌握用導數法研究函數單調性的規范步驟．解題后，要求學生根據函數單調性作出其大致圖象，建立“數”到“形”的聯系，教師再用畫圖軟件畫出函數圖象，與所求結果進行對照，強調導數法在研究函數單調性的一般性，

設計意圖通過新舊方法的對照，加深了對新知的理解，開拓了學生的思維，在研究函數單調性后，要求學生根據函數單調性作出其大致圖象，使學生經歷由“數”到“形”的思維過程，再次感悟導數法研究函數單調性的一般性、有效性和優越性，同時，強調運算要準確，步驟要規范有條理，從中發展學生數學運算和邏輯推理的核心素養．

2幾點思考

（1）問題導之，發展能力．教師精心創設問題，通過問題引領，激活學生思維，使得在知識產生的必要性中體悟知識的內涵，在自主探究活動中體驗數學發現的過程，在最近發展區中積累活動經驗并獲得新知，從中學會發現問題，并提出問題，學會分析問題，并解決問題．

（2）思想滲之，培育素養．本節除了關注教學的邏輯性，教師還關注知識的思想性，諸多環節滲透著特殊到一般、數形結合、化歸與轉化的數學思想，教師遵循知識的發生發展規律及學生的認知自然規律，引導學生思考、體驗、內化、理解，使學生真正理解知識，領悟思想，進而提升學生的數學核心素養．

（3）明暗織之，把握本質．本節從引入導數法研究函數單調性的必要性，到導數法研究函數單調性的一般性，再到導數法處理函數單調性問題的優越性，層層遞進，揭示導數、直線斜率和函數單調性的本質關系，以此構建了知識的明線．同時，還有特殊到一般、數形結合、化歸與轉化的數學思想這一“知識暗線”貫穿著數學知識發生發展的全過程．在提出問題，探究問題，解決問題，應用體悟的“活動明線”中，學生經歷著從認知沖突到激發思維，從動手操作到歸納概括，從直觀感知到代數闡述，從淺層認知到深入理解的思維“活動暗線”，明暗交織，使學生逐步掌握數學研究的一般方法，把握數學本質，

參考文獻

[1中華人民共和國教育部．普通高中數學課程標準（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018

[2]林新建．我的教學主張：自然數學[M]．廈門：廈門大學出版社，2020（本文系福建省教育科學“十三五”規劃2020年度課題“基于深度學習的高中數學函數主題單元教學實踐研究”（FJJKXB20-724）的階段性成果）