多維探究解三角問題的求解思路

劉銀

解三角形問題是高考中的基本題型之一，這幾年的全國卷往往以一道選擇題（或填空題）和一道解答題的形式出現，占有比較重要的地位，

解三角形問題往往與平面幾何、三角函數、平面向量、基本不等式等相關知識交匯，突出對轉換與化歸思想、數形幾何思想、數學建模思想及其應用能力的考查，

解三角形問題的求解關鍵在于認真審題、合理轉化、選擇合適的方法、優化計算．

對于只涉及一個三角形的問題，合理利用正余弦定理可解決大多數此類問題．如果問題中涉及多個三角形，如何分析題設條件，尋找各個三角形的內在關系，合理利用所學知識刻畫點線位置關系成為解題關鍵，本文擬例說筆者的認識與思考．

1試題呈現

（廣東省佛山市2021屆高三上學期教學質量檢測卷．18）如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，

點評找到a，β的兩個關系即可求出兩個角．關鍵在于用平面幾何知識找到這兩個角的正切有比例關系．此法簡單，計算量低，但幾何關系不好找，學生不易察覺．

點評問題條件可歸結到△ABC，△BDC這兩個三角形中，這兩個三角形都只有一邊一角兩個已知條件，利用BC這條公共邊以及正弦定理可以得到角a的一個方程，思路清晰，但大部分學生難以想到，計算量也偏大，此法對于學生尋找變量關系以及鍛煉數學思維有比較好的價值，

解法3把題目條件集中到△ABC中，利用余弦定理可以得到邊角關系．

點評用斜率來表示點坐標，AC⊥BD這個條件轉化為直線BD和直線AC的斜率乘積為一1．與解法4一樣，此法簡潔明了，題目條件轉化自然，計算量和思考量偏低，學生容易理解，只是引入的變量不同，學生更習慣解法4的變量引入，

點評 這個方法與上面的方法異曲同工，解法4引入高作為變量表示點坐標，解法5用直線斜率表示點坐標，解法6用角來表示點坐標，這都是坐標法中常用的變量．再利用斜率與傾斜角的關系得到需要的方程進行求解，計算量偏低，是不錯的解法，

點評 用向量可以刻畫把題目條件中的定比分點和垂直關系．這里還用到了向量處理平面幾何問題中的“基底法”．取一組基底CB， CD，把CE， BD用這組基底表示就可以實現問題的解答，思路清晰，但學生不容易想到；計算量不大，對學生思維鍛煉價值較大．

3 感悟反思

解四邊形的問題，本質上還是解三角形的問題．如何把四邊形分割成可以利用的三角形是我們首先要解決的問題，在解法1，2，3中，分割的三角形是需要的三角形，然后需要尋找它們之間的關系，用正弦定理，余弦定理，兩角和的正切公式等解三角形，在解法4，5，6中，用坐標來刻畫點線的位置關系，分別引入了高、斜率和角作為變量來表示點的坐標，充分展示了坐標法在這類問題中的應用，解法思路簡潔，計算量低，體現了用解析法解決平面幾何的優點，解法7利用向量，可以方便的表示直線上的定比分點和兩條直線的垂直關系，向量是平面幾何問題中的解題利器，最新修訂的《普通高中數學課程標準》對平面向量與解三角形提出的要求是：會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題及其其他實際問題；能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實際問題，以上的這些方法都是學生需要掌握的知識和方法．

數學教學中，我們要啟發學生尋求一題多解，培養創新意識，充分挖掘題目條件，把題目條件轉化成我們熟悉的數學語句，靈活運用所學的數學知識，不斷突破思維定勢的束縛，在探索比較中尋找解題的最優方法，在高三復習的過程中，不能只注重題海戰術，更要引導學生在弄清概念、公式、定理的本質的同時，感悟知識的內在聯系，深入拓展，尋求通性通法，教師可以通過這樣的例題的講解，從整理上把握教學內容，加強學法指導，從而提高學生的數學核心素養水平，

參考文獻

[l]李英．一道解三角形題的解法探究和思考[J]中學數學月刊，2020（10）：57-58