分數階中立型隨機時滯微分方程解的存在唯一性

李佳敏，丁小麗，王苗苗

(西安工程大學 理學院 陜西 西安 710048)

0 引 言

分數階微積分理論在生物學，力學，電路等領域有廣泛的應用[1-3]，有關分數階微分方程的研究引起了人們高度重視。由于現實中的一些模型用確定性的分數階微分方程，或者用整數階隨機微分方程很難模擬，所以有必要將二者整合起來，進一步深入研究分數階隨機微分方程，使之應用于更為廣泛的領域。關于分數階隨機微分方程解的首要問題是研究其存在的唯一性，然后嘗試能否求得該解并探索其相關性質。黃鶴皋討論了分數階隨機微分方程解的存在唯一性[4]；MOUALKIA等討論一類分數階變階隨機微分方程解的存在唯一性，用Picard迭代法證明解的存在性，并提出了唯一性的充分條件[5]。

中立型隨機微分時滯方程是依賴于過去值和現在值的隨機方程，但又涉及到帶有時滯的導數以及函數本身。證明這類方程解的存在性和唯一性主要是通過Banach不動點定理和Picard迭代法等2種不同的方法進行的。BENCHOHRA等利用Banach不動點定理研究了分數階泛函微分方程和中立型泛函微分方程無窮時滯解的存在性[6]; 程燁等運用Schauder不動點定理和Banach不動點定理證明了一類分數階中立型泛函微分方程初值問題解的存在唯一性[7];在相同思路下，LU等得到了一個保證平凡解均方漸近穩定的充分條件[8]；AGARWAL等討論了一類具有有界時滯的分數階中立型泛函微分方程的初值問題[9]。Picard迭代法也是一種很重要的近似計算方法。張遠程等用經典的Picard迭代法研究了中立型隨機泛函微分方程解的存在唯一性，其實質就是將微分方程轉化成與之等價的同解積分方程，然后證明該方程解的存在唯一性[10]; 在此基礎上，ZHOU等討論了一類具有無窮時滯的分數階中立型泛函微分方程的初值問題，得到了解的存在唯一性的判據[11]。這些研究為分數階中立型隨機時滯微分方程解的證明提供了理論支持。

分數階中立型泛函微分方程是一類特殊的分數階微分方程[12]。張志信等用分步法研究了分數階中立型泛函微分方程初值問題解的存在唯一性[13]。DING等通過引入與Mittag-Leffler函數相關的積分算子，給出了一種證明分數階隨機微分方程解存在唯一性的新方法。算子和積分不等式為微分方程解的存在性、唯一性、穩定性等性質的研究提供了有效途徑[14-16]。不過，分數階中立型隨機時滯微分方程解的存在唯一性的證明還有待完善。本文將分步法以及Picard迭代法引入分數階中立型隨機時滯微分方程，并利用算子以及中立項的性質解決解的存在唯一性問題。

1 預 備

定義1[17]設0<α≤1,t∈Ω,函數f(t)∈L1(Ω;Rn)的α階Riemann-Liouville型分數階積分定義為

其中Γ(·)是Gamma函數。

性質1[18](It積分的等距性) 設G∈L2(Ω;Rn)，則G在Ω上關于m維標準Brown運動{B(t,ω):t≥0}的It積分為

其中E為期望。

引理2[19-20]設0<α<1,a(t)是在時間區間Ω上的局部可積的非負函數,b(t)、g(t)是在Ω上的非負非減且有界的連續函數，如果v(t)非負，在Ω上局部可積, 且滿足

則

推論1[19]假設滿足引理2中的條件,且a(t)在Ω上非減,則

式中:Eα為Mittag-Leffler函數,

定義3[18]為了證明方程(1)解的存在性，定義2個算子J1、J2分別為

式中：0<α≤1；φ(t)∈C(Ω;Rn)。

引理3[18]設0<α≤1,φ(t)∈C(Ω;Rn),則

(J1J2φ)(t)=(J2J1φ)(t)

引理4[18]設0<α≤1,φ(t)∈C(Ω;Rn),i=1,2,3，…,有下列關系成立:

2 解的存在唯一性

考慮如下形式的分數階中立型隨機時滯微分方程:

(1)

式中：τ>0為給定的時滯量；f,σ∈C(Rn×Rn×[0,T]；Rn)；g∈C(Rn×Rn×[0,T];Rn×m)是Borel可測函數D∈(Rn;Rn)為中立項；

B(t)=(B1(t),(B2(t),…,Bm(t))T

是在完備概率空間{Ω,F,P}上的m維布朗運動;ζ∈C([-τ,0];Rn)，且E|ζ(θ)|2<∞;x、ζ分別為n維向量x、ζ的集合表示。

2.1 2個基本假設

為了證明解的存在唯一性，需要以下假設：

假設1假設M∈(0,1)，?φ,φ∈C([-τ,T];Rn)及m，n∈R,有

|D(φ)-D(φ)|≤M‖φ-φ‖

1) Lipschitz條件

2) 線性增長條件

|f(x,y,t)|2≤K(1+|x|2+|y|2)

|g(x,y,t)|2≤K(1+|x|2+|y|2)

|σ(x,y,t)|2≤K(1+|x|2+|y|2)

2.2 存在唯一性證明

首先在區間[0,τ]上討論五步法，證明解的存在唯一性。當t∈[0,τ]時，

第1步: 方程(1)可變形為

第2步: 對于k=0,1,2,…,構造Picard迭代序列{xk+1(t)}:

xk+1(t)=ζ(0)+D(xk(t-τ))-D(x(-τ))+

利用數學歸納法證明xk+1(·)∈M2([-τ，T];Rn)。當k=0時，顯然可以得到x1(t)=ζ(0)-D(x(-τ))∈M2([-τ,T];Rn)。不妨設xk(t)∈M2([-τ,T];Rn)，將驗證xk+1(t)∈M2([-τ,T];Rn)。

E|xk+1(t)|2≤6E|ζ(0)|2+

6E|D(xk(t-τ))-D(x(-τ))|2+

|σ(xk(s),xk(s-τ),s)|2ds≤

6E|ζ(0)|2+6M2E|xk(t-τ)-x(-τ)|2+

E|xk(s-τ)|2)ds≤

6E|ζ(0)|2+12M2E|xk(t-τ)|2+

12M2E|x(-τ)|2+

E|xk(s-τ)|2]ds+

E|xk(s-τ)|2]ds

由于ζ(0)∈M2([-τ,T]；Rn),xk(t)∈M2([-τ,T];Rn)，因此xk+1(t)∈M2([-τ,T]；Rn),即xk(t)∈M2([-τ,T];Rn)。

第3步: 證明序列{xk(t)}在區間[0,T]上一致收斂。

令ek+1(t)=E|xk+1(t)-xk(t)|2,則

根據算子J1、J2的定義，

由文獻[14]中的性質2.2可以得到，J1、J2對φ(t)∈C(Ω;Rn)是非遞減的。對k進行數學歸納可知

由引理3知J1、J2可交換,由文獻[14]中的性質2.1知J1、J2是定義在C(Ω;Rn)上的緊算子,且σ*(J1)=σ*(J2)={0},其中σ*(·)表示算子的譜,因此{xk(t)}是Cauchy序列,即Picard迭代序列{xk(t)}在區間[0,T]上均方一致收斂。

第4步:證明序列{xk(t)}的極限是方程(1)的解。

x(t)=ζ(0)+D(x(t-τ))-D(x(-τ))+

第5步: 證明方程(1)具有唯一解。

利用(a+b+c)2≤3|a|2+3|b|2+3|c|2,其中a,b,c∈R以及H?lder不等式、It積分的等距性、Lipschitz條件和假設1，得

I1+I2

其中：

由引理2得

當t∈[τ,2τ]時,前4步方法與上述相同。

第5步: 證明方程(1)具有唯一解。

利用(a+b+c)2≤3(a2+b2+c2)、H?lder不等式、It積分的等距性、Lipschitz條件和假設1，得

其中：

|σ(x(s),x(s-τ),s)-

由引理2得，

當t∈[τ,2τ]時,方程(1)的解存在且唯一。

以此類推,當t∈[(n-1)τ,nτ]時,方程(1)解存在且唯一。故t∈[0,T]時，方程(1)的解存在且唯一。證畢。

注記1在分數階隨機時滯微分方程的基礎上，增加中立項以及有關中立項的假設，即推廣了文獻[18]的結論。

3 結 語

研究了分數階中立型隨機時滯微分方程解的存在唯一性問題。利用分步法思想，在各個區間逐一進行討論，且結合Picard迭代法以及積分算子理論，增添算子,證明分數階中立型隨機時滯微分方程解的存在性和唯一性。使得分數階中立型隨機時滯微分方程解的存在唯一性的證明更加簡潔,同時也為后續研究波形松弛方法求解分數階中立型隨機時滯微分方程打下基礎。