超空泡魚雷命中概率解析方法

謝超,周景軍,萬亞民,宋書龍,王夢豪

(中國船舶集團有限公司 第705 研究所,陜西 西安,710077)

0 引言

超空泡魚雷利用水下空泡減阻技術,采用火箭發動機作為主要動力,具備極高的航速和強大的破壞力,是一種新型超高速水下武器。蘇聯研制的“暴風雪”魚雷是世界上第1 條成型的超空泡魚雷,其直徑534.4 mm,長度8.2 m,質量2.7 t,航速200 kn,可裝載核彈頭[1]。

超空泡魚雷具有特殊的結構布局,其頭部錐段部分裝配有空化器以輔助空泡形成,極大提高了頭部集成聲吶基陣的設計難度;同時其航行過程中巨大的自噪聲將會降低信噪比,所以目前超空泡魚雷主要采用直航攻擊方式。

潛射直航魚雷一般采用“提前角”的方式進行攻擊,即魚雷發射航向提前于當前目標方位的某一角度[2-3]。在直航魚雷的攻擊過程中,由于缺少自導系統的修正,所以其命中條件較為苛刻,需要在射擊前準確獲得目標方位信息、目標航速航向信息等戰場態勢,在射擊時保證足夠發射精度,航行過程中還需穩定控制航速、航向,所以直航魚雷受多種誤差因素影響[4]。因此,超空泡魚雷高航速的特點要想在實戰中獲得極大的發揮,就需明確各項誤差對超空泡魚雷命中效果的影響。

命中概率是評估命中效果的關鍵指標,武器的命中概率是指在特定態勢下,武器命中目標的可能性,是確定作戰方案的重要參考[5]。影響命中概率的因素主要有目標性質、機動能力、對抗方式、武器類型及武器攻擊方式等,但從根本上講,命中概率與誤差息息相關。造成武器命中目標不確定性的誤差大致可分為兩類,一是目標誤差,包括目標運動的不確定度以及探測設備對目標的類型、幾何尺寸、機動能力等性質的探測誤差,這關系到武器系統能否準確得到理論命中點;二是武器的射擊誤差,由于武器本身的設計、裝配誤差以及環境中不可預測的誤差,導致武器在發射后無法沿預定軌跡到達理論命中點。實際上,還應包括如火控系統解算目標運動要素時的計算誤差,以及射擊方式缺陷產生的誤差等,這些誤差均可歸到上述兩類中。

目前計算魚雷的命中概率大多以統計法[6-10]為主,即在同一態勢條件下仿真上萬次,統計命中次數的占比,作為當前態勢的命中概率。該方法計算過程簡單,但計算量大,同時無法揭示各誤差項的靈敏度。利用解析方法來計算命中概率的相關研究很多[3,6,11-16],基本計算思路是先確定魚雷命中目標的判斷指標,再將誤差源的方差轉換為該指標的方差,由于各誤差均服從均值為零的正態分布,所以將指標的概率密度函數在某區間內積分即可。

目前解析方法仍存在一些問題。首先是魚雷命中目標的判斷指標,出于工程實踐角度的考慮,該指標多為魚雷落點在目標航向方向上的投影散布,即只考慮了目標長度,而忽略了寬度,如文獻[15]所述方法。盡管這一做法對射擊精度要求更為嚴格,但與實際命中概率具有一定差異,尤其體現在目標小舷角和大舷角處,這容易造成攻擊平臺的誤判,錯過最佳射擊態勢,對于瞬息萬變的戰場環境來說,這種方法顯然不可取。其次是對魚雷理論瞄點和實際落點存在誤解[3],如在計算直航魚雷的提前角或自導魚雷的一次轉角時,攻擊平臺應以魚雷標稱速度作為參數進行求解,即提前角誤差只與探測值有關,而與魚雷實際航速誤差無關。在發射魚雷時,再考慮魚雷本身誤差對實際射擊角度的影響。最后是多數研究沒有考慮目標的運動誤差[12]。

針對以上問題,文中首先從理論上分析了計算命中概率的一般過程,提出了目標運動要素條件探測誤差,將目標散布與攻擊方的探測誤差相結合,有效地避免了目標二維散布帶來的計算困難問題;其次建立了魚雷脫靶量模型,明確了魚雷距離目標最近時呈一維散布規律;然后利用協方差轉換方法,將各誤差源方差轉換為魚雷脫靶量方差。同時針對目標艦艇實際水線面形狀,建立了目標命中范圍模型,針對不同目標型號,只需輸入相應的水線半寬值即可。最后進行統計方法和解析方法的對比試驗,證明了解析算法的準確性,并分析了各個誤差源的靈敏度受初始雷目距離、初始目標舷角和雷目速度比影響的變化規律,提出短距離、小舷角態勢可適當降低魚雷脫靶量散布誤差,對提高命中概率具有一定參考。

1 命中概率分析

水面目標以一定的方向、速度航行時,受誤差影響,航速航向偏離理論值。在某一時刻,目標依概率分布在某個區域內。攻擊方在發射魚雷前對目標進行探測,由于探測設備的誤差,使得獲得目標當前時刻的速度、航向不準確。攻擊方在探測值的基礎上,計算魚雷的發射航向。由于設計和裝配精度等問題,魚雷的實際發射航向偏離理論航向,導致魚雷的落點依概率分布在某區域內。最終當魚雷和目標的位置關系滿足某命中要求時,說明魚雷命中目標。

在上述過程中,提取出影響魚雷命中概率的關鍵變量:目標散布、魚雷射擊方式、魚雷散布和命中條件,故命中概率可表示為

如果命中條件采用區域命中法,即若魚雷與目標的最終落點在某限定區域內,則認為命中,如果在區域外,則沒有命中。那么,命中概率為

式中:r為魚雷與目標的最終落點距離;R為命中區域;XM為目標落點;XT為魚雷落點;P{X}表示落點在X的概率。

通過前文對整個攻擊過程的敘述,可以知道魚雷散布受2 個因素影響,一是火控計算機計算魚雷理論瞄點的準確度,二是魚雷射擊時產生的誤差。根據卷積公式,有

將式(3)代入到式(2)中,有

若定義魚雷條件落點X條件=XM-X瞄,則有

將式(5)代入到式(4)中,則命中概率為

式(6)表明,若將目標艦艇航行誤差疊加到攻擊平臺對目標運動要素的探測誤差上,構成目標運動要素條件探測誤差,進而形成魚雷條件落點,則命中概率與目標散布無關。

目標艦艇的航行誤差與攻擊平臺的探測誤差相互獨立,所以目標運動要素條件探測誤差為

2 攻擊過程數學模型

2.1 魚雷“提前角”攻擊模型

魚雷和目標艦艇初始態勢如圖1 所示。圖中,XOY為大地坐標系,X指向正北且為參考方向,Y指向正東,角度以順時針方向為正;TM為視線,指當前時刻魚雷到目標的方向;q為視線角;r為雷目距離;η為目標舷角,該角度以目標艦艇為參考,描述來襲魚雷的初始方位;CT為魚雷航向;VT為魚雷速度;CM為目標航向;VM為目標速度。

圖1 魚雷攻擊目標艦艇示意圖Fig.1 Diagram of torpedo attacking target vessel

目標舷角可由初始視線角和目標速度確定,規定魚雷在目標左側為負、右側為正,則有

式中,arg(·)為 復數在 [-π,π)上的幅角主值。攻擊平臺根據初始態勢,以提前初始視線角某一確定角度 φ發射魚雷。由雷目初始位置和理論命中點構成的相遇三角形中,應用正弦定理可得

2.2 魚雷脫靶量

根據圖1 建立相對運動方程組

由上式可得

實際攻擊過程中,存在誤差影響,令式(11)上式為0,可求得相對距離最小值,即脫靶量為

規定魚雷在目標左舷時脫靶量為負,右舷為正。

3 命中概率模型

3.1 協方差轉換法

假設隨機向量X=(x1,x2,···,xn)T、Y=(y1,y2,···,yn)T存在如下函數關系

其中G(·)=(g1(·),g2(·),···,gn(·))T。假設X0為真值,X為存在誤差的實際值,即X=X0+ΔX,則Y的誤差為 ΔY=G(X)-G(X0),將其在真值X0處展開并忽略高階誤差,則有

根據中心極限定理,隨機誤差服從0 均值的正態分布,由式(16)可知,ΔY與ΔX呈近似線性關系,所以由誤差ΔX引起的ΔY近似服從0 均值的n維正態分布,若令,其協方差矩陣為

式(18)表明,只要明確函數關系,即可將誤差源的誤差轉換為所需變量的誤差。

3.2 魚雷速度航向協方差

結合式(8)～(10)可知,魚雷航向是初始視線角、目標航速、航向探測值的函數,假設這些變量相互獨立,則定義其協方差矩陣為

特別注意的是,根據式(9)可知,魚雷航向與其航速有關,但攻擊平臺在計算魚雷發射方向時,通常代入標稱航速,所以不考慮其誤差對魚雷航向的影響。

根據式(16)可計算出魚雷理論航向方差為

所以魚雷航速航向協方差矩陣為

3.3 魚雷脫靶量協方差

雷目相對速度方向

則由魚雷航速航向誤差到雷目相對速度方向誤差的系數矩陣為

根據式(14)魚雷脫靶量方差與相對速度方差關系為

最終可得魚雷脫靶量方差

3.4 目標命中范圍

若采用區域命中法,則認為當魚雷落點與目標落點在某區域內,魚雷命中目標,該區域一般為目標艦艇水線面。

在實際射擊中,魚雷相對目標的無數個可能的直線軌跡中,只有與目標水線面相切或相割的軌跡才是命中軌跡,其中相切軌跡是所有命中軌跡的邊界。

由前文分析可知,魚雷脫靶量是瞄準中心到魚雷相對目標軌跡線的有向距離,那么相切軌跡對應的脫靶量即為可命中脫靶量范圍的邊界。如圖2 所示,ll為目標左舷側相切軌跡;lr為目標右舷側相切軌跡;rl為目標左舷側可命中脫靶量邊界;rr為目標右舷側可命中脫靶量邊界。

圖2 目標命中區域示意圖Fig.2 Diagram of target hitting area

以目標艦艇水線面中心為原點,船長方向為Xs軸,船右舷為Ys軸建立目標坐標系。令魚雷射擊瞄準點為(xaim,yaim),目標艦艇水線面半寬曲線為f,船艏坐標為H(xH,±f(xH)),船艉坐標為S(xS,±f(xS)),魚雷初始位置T點坐標為(xT,yT)=(r0cosη,r0sinη),則相切軌跡方程為

所以可命中的脫靶量范圍為

3.5 命中概率計算

由于魚雷脫靶量服從均值為零的正態分布,且方差與積分區間已由前文給出,所以命中概率為

下文將針對這一公式的精確性進行仿真試驗研究。

4 統計驗證模型

統計模型的計算流程如下。

1) 確定輸入變量有:初始視線角q0;初始雷目距離r0;目標艦艇速度VM;目標艦艇航向CM;目標艦艇水線半寬值f;魚雷速度VT;統計次數N=10000。

2) 探測變量為

3) 對式(8)～(10)中初始視線角、目標航速和目標航向代入探測值,魚雷航速代入標稱值,可計算出魚雷理論發射航向CT。

4) 考慮射擊諸元誤差,計算魚雷實際發射航向

5) 計算魚雷和目標艦艇得實際航速、航向

6) 求某時刻地面坐標系下雷目相對位置

7) 求某時刻目標坐標系下雷目相對位置

8) 令時間t=0:0.01:查找是否有如下位置關系的時刻

若存在,則表示本次攻擊命中目標,令n=n+1。

9) 返回步驟2),直到試驗次數達到N,則當前態勢命中概率為

5 仿真試驗

魚雷和目標的基本仿真參數設置見表1。目標選用某型散貨船,其水線半寬值見表2,水線面如圖3 所示。

圖3 目標船水線面示意圖Fig.3 Plot of water plane of target vessel

表1 魚雷及目標仿真參數列表Table 1 List of simulation parameters of the torpedo and the target

表2 目標船水線半寬值Table 2 Halfbreadth waterline of target vessel

5.1 命中概率

解析法與統計法命中概率曲線如圖4 所示。解析模型和統計模型均顯示,命中概率隨初始雷目距離增大而減少,3 km 以內命中概率基本在70%以上,是較為理想的射擊距離。在相同初始距離處,小舷角和大舷角對應更低的命中概率,這是由于這些態勢對應的目標命中范圍較小。在20°～160°的舷角范圍內,命中概率基本呈減小趨勢,20°對應同一初始雷目距離下最大的命中概率。

5.2 解析法與統計法偏差范圍

對圖4 結果中解析概率Pa和統計概率Ps進行如下運算,以獲得2 種方法的相對偏差

圖4 命中概率隨初始距離和目標舷角變化曲線Fig.4 Curves of hitting probability changing with initial distance and target board angle

偏差范圍及占比見表3。

表3 解析法與統計法偏差范圍比較Table 3 Contrast of deviation range between analytical method and statistical method

由上表可知,解析法與統計法的最大偏差不超過3.76%,且有96.41%態勢的偏差集中在2%以內,驗證了解析方法的正確性。

6 誤差靈敏度分析

魚雷命中概率受魚雷脫靶量散布誤差和目標命中范圍共同影響,而脫靶量散布誤差由脫靶量方差決定。根據式(27)可求得脫靶量方差對射擊過程中各種誤差變化的敏感程度,令

由式(9)和式(40)可知,各誤差靈敏度受初始距離、初始目標舷角以及雷目速度影響。初始距離是共同影響因素,初始距離越大,各誤差項的靈敏度越大,導致脫靶量的誤差增大,從而降低命中概率。

若令目標航速30 kn,計算不同雷目速度比和初始目標舷角對應的來探究二者對靈敏度的影響,結果如圖5 所示。

圖5 不同速度比下靈敏度隨舷角變化圖Fig.5 Curves of sensitivity changing with board angle at different velocity ratios

總體來看,在相同誤差源大小的情況下,高速魚雷造成的魚雷脫靶量誤差更小,只有魚雷航向誤差在小于 90°舷角攻擊時,低航速卻對應更低的靈敏度。

魚雷脫靶量誤差的主要影響因素為魚雷航向誤差和初始視線角探測誤差。根據式(40),魚雷航向誤差的系數為,由圖5可知在0°～90°小于1,而在 90°～180°大于1;初始視線角的系數始終為,所以小于 90°舷角時,初始視線角誤差影響更大;大于 90°舷角時,魚雷航向誤差影響更大,其次影響程度依次為目標航向條件探測誤差、目標航速條件探測誤差以及魚雷航速誤差。

魚雷航向誤差和目標航向條件探測誤差在小于 90°舷角時,靈敏度變化范圍較小;而在大舷角范圍內,隨著舷角增大,靈敏度增長更快,相應的脫靶量誤差也會更大。魚雷航速誤差和目標航速條件探測誤差的靈敏度峰值在 [100°,110°]舷角范圍內,在大小舷角處靈敏度趨于0,并且根據式(38),二者靈敏度受絕對速度大小影響,所以對魚雷脫靶量誤差的貢獻度相對較小。

綜合以上分析,魚雷應在短距離、小舷角范圍內攻擊目標,以減小魚雷脫靶量散布誤差。同時還應綜合考慮目標命中范圍,最終提高命中概率。

7 結束語

文中主要建立了超空泡魚雷命中概率解析模型,該模型用一元積分描述,其中考慮了目標散布誤差、攻擊平臺探測誤差、魚雷航行誤差以及目標水線面區域。解析模型有效降低了計算量,為后續魚雷控制參數實時優化提供參考。通過與統計模型的對比仿真試驗,驗證了解析模型的準確性。文中還進行了誤差靈敏度分析,明確了影響魚雷脫靶量散布的主要原因,對提高命中概率所需的相關指標精度要求給予一定參考。

由命中概率結果可知,相較于常規聲自導魚雷,超空泡魚雷單雷打擊的戰術優勢并不明顯,所以未來將進一步評估在多雷齊射的戰術方案下超空泡魚雷各態勢的命中概率。