對稱型多相電機斷相容錯運行下的電流諧波分析與補償

孫嘉偉 鄭澤東 李 馳 王 奎 李永東

對稱型多相電機斷相容錯運行下的電流諧波分析與補償

孫嘉偉 鄭澤東 李 馳 王 奎 李永東

（電力系統及發電設備控制和仿真國家重點實驗室（清華大學）北京 100084）

多相電機驅動系統可靠性高、容錯能力強、控制靈活。該文對斷相容錯運行下，多相電機中低頻奇數次電流諧波的特性和補償方法進行了研究。利用廣義Clarke變換，可將電機定子電流變換到各個子空間當中。研究發現，斷相容錯時，各次諧波電流以正負序分量同時存在的形式分布在所有子空間當中。傳統諧波補償方法只在特定子空間下進行補償，在斷相容錯工況下性能有較大惡化。該文提出一種改進電流諧波補償方法，利用廣義對稱分量變換和正負序PI控制器實現各子空間內正負序諧波電流補償，保證了斷相容錯時良好的補償效果。在九相感應電機平臺上對提出方法進行驗證，實現了斷相容錯時對選定電流諧波的完全補償，并降低了諧波帶來的額外損耗和轉矩脈動。

多相電機 斷相故障 容錯控制 電流控制 諧波補償

0 引言

多相電機調速系統有可靠性高、功率容量大、轉矩脈動低、器件容量要求低和控制靈活等優點，還可利用額外自由度實現容錯控制和諧波電流控制[1-2]，已成為研究和產業應用的焦點，在艦船電力推進、多電飛機以及電動汽車等都有一定的應用[1-3]。

容錯控制是當前研究熱點。大多數電機故障可通過一定方式等效為斷相故障[2]，故大多數容錯控制方法針對的是斷相故障[4-6]。各種容錯控制方法中，常要求諧波電流有特定的形式，若定子繞組中存在額外諧波電流，會產生額外銅耗和轉矩脈動，使控制性能惡化[7-8]。因此，諧波電流控制對容錯控制性能有重要影響。

電壓源型逆變器（Voltage Source Inverter, VSI）供電的多相調速系統中，定子電流諧波最主要成分為逆變器和電機非線性（死區、磁飽和等）造成的低頻奇數次分量[9]，它們對控制性能有較大影響。正常工況下低頻奇數次諧波電流控制方面的研究已成熟[9-11]。但斷相時諧波電流特性與控制方面的研究尚不完善[7-8,12-15]。文獻[7]中針對對稱六相永磁同步電機的3次諧波電流補償方法進行了研究，但僅適用于單相斷相情況，難以拓展到其他斷相工況。文獻[8]中提出了基于模型預測控制的五相永磁同步電機3次諧波電流補償方法，但補償效果一般，在控制頻率為10kHz時僅能將3次諧波電流占基波電流的比例減小到2.87%。文獻[12-14]在諧波平面采用PR或同步PI控制器對諧波電流進行補償或者注入，但并未考慮存在于基波平面的諧波電流，而基波平面的諧波電流會引起較大轉矩脈動，對容錯控制性能有較大影響。文獻[15]中向五相永磁同步電機中注入特定諧波電流來抑制故障后轉矩脈動，但由于電流控制器構建在自然坐標系中，基波、諧波電流控制存在穩態誤差。可見，現有故障容錯下諧波電流控制方法存在對參數、工況依賴較大，諧波控制效果較差，未考慮基波平面諧波電流等問題。

為解決現有方法中存在的問題，本文對對稱型多相電機斷相故障下電流諧波的特性和補償方法進行了研究。在斷相容錯情況下，建立了分析電流諧波的等效模型，結果表明：故障時，在所有子空間中，各次諧波電流正負序分量同時存在。正常工況，某次諧波電流只以特定序分量的形式存在于某特定子空間中，傳統補償方法只考慮此分量，無法對容錯運行時的額外分量進行抑制，補償效果惡化程度較高。根據斷相時諧波電流特性，本文提出一種改進諧波電流補償方法。利用廣義對稱分量變換，將各次諧波電流變換為互相獨立的對稱分量，采用正負序PI控制器進行補償。在九相異步電機上對所提方法進行實驗驗證，結果表明，所提方法可在多種故障工況下實現更好的容錯控制性能和諧波補償效果。與傳統方法相比，所提方法可將選定諧波有效值占基波有效值的比例從15.72%降低至0.6%，在故障工況下可保證優異的補償性能。

需要注意的是，本文為了使理論推導更加簡潔，將研究對象限定為具有一個中性點的對稱型多相電機，但本文的理論推導思路、結論以及控制方法具有通用性，不僅適用于非對稱型多相電機，也能適應具有不同中性點數量和相數的情況。只要選擇了適當的廣義對稱分量變換矩陣，就可以很容易地將所提方法移植到有不同相數和定子繞組配置的多相電機系統中。

1 正常工況下的諧波特性與補償方法

1.1 正常工況下的諧波表達式

一個VSI供電的相對稱型多相電機，若逆變器和電機完全對稱，電機定子各電量瞬時值表達式為[9]

1.2 正常工況下諧波在子空間中的映射關系

對稱型多相電機可通過變換到多個子空間中進行建模，其中自由度為2的子空間個數為s=floor((-np)/2)，np為電機中性點個數，-np為偶數時，自由度為2的子空間下的模型可完全決定電機運行特性。當-np為奇數時，需再定義一個單自由度子空間才能完全決定電機運行特性[9]。子空間的選擇并不是唯一的，一種常用方式為選擇奇數次子空間αβ，其中≠(/np)，為任意正整數[16]。對應αβ的變換矩陣為，用乘以相矢量，可得到映射至αβ子空間下的復矢量αβ(s)，即[6]

將式（1）代入式（2），可得

式中，mod(,)為整數、相除后的余數。由式（3），只有或-為的整數倍時，次諧波才能映射到αβ中[6]。

1.3 正常工況下的電流諧波補償

圖1 正常工況下兩種常用的諧波補償方法

2 斷相情況下的諧波特性

2.1 斷相情況下的諧波反電勢

斷相情況下的相電流不再是式（1）的形式，斷相相電流為零。基波相電流由使用的優化策略決定[2]，有式（4）的形式。

式中，x和y為第相中的余弦和正弦分量的幅值。斷相相的和均為0。為保證αβ1中的基波電流矢量軌跡為圓形，相電流須滿足約束

同時，和須滿足定子繞組聯結方式施加的約束[6]。在定子中僅存在基波電流時，可以得到由基波電流產生的磁動勢為

式中，為定子磁動勢；為定子次空間磁動勢；為次空間諧波的每相等效串聯匝數；為定子空間位置電角度。將式（5）代入式（6），可得

由于磁飽和等非線性特性，由1產生的空間磁通密度1中包含空間諧波，但1在空間中旋轉的速度與1一致，因此1的表達式為

對于式（6）中≠1的部分，正常工況下，當1±不為的整數倍時，=0。但在斷相容錯時，≠0。將式（4）代入式（6），表達式為

與從式（7）～式（9）的推導類似，可得到感應的相反電動勢為

式中，第二個求和符號內(-1)的系數不再是1，與式（1）不同。這說明式（3）中的正常工況下反電動勢諧波映射情況在斷相故障情況下不再適用。

2.2 斷相情況下的端電壓諧波

VSI供電時，端電壓諧波主要由開關器件死區造成[18]。雖有研究者提出了很多死區補償方法，但其性能受電流極性判斷影響較大，且在電流諧波存在情況下性能會惡化[19-20]。因此，多相電機系統中，準確死區補償的實現較困難。即使可準確地補償死區，由于反電動勢諧波的存在，定子中仍會有諧波電流。與追求高精度死區補償方案相比，諧波電流補償算法更易實現且性能更好，故本文不對死區補償進行討論。

正常工況時，相電流對稱，死區造成的電壓畸變也是對稱的，定子端電壓有式（1）的形式，其在子空間中的映射規律符合式（3）[21]。但是，斷相容錯時，定子電流不對稱，死區電壓畸變需進一步研究。

盡管死區效應與電流大小、器件開關速度等因素相關，大多文獻中將死區電壓畸變建模成由電流極性決定的方波[21]，即

2.3 斷相容錯情況下的諧波電流

考慮多種可能出現的開路故障，由兩電平VSI供電的多相電機系統拓撲示意圖如圖2所示。圖中也展示了開關管開路故障，這種故障在容錯控制時，一般會將故障所在橋臂整個封鎖，將故障轉換為斷相故障進行容錯控制，因此在容錯控制方面與斷相故障并無區別。

圖2 兩電平VSI供電的多相電機系統拓撲及其常見開路故障

為研究斷相容錯時的電流諧波，可以從圖2所示拓撲中對斷相電機進行抽象，建立斷相情況下電機定子等效模型。斷相故障下相電機定子可用圖3a表示。圖3a中各電壓參考點為直流母線中點，0是電機中性點相對于直流母線中點的電壓；圖3b中“×”代表斷相故障位置，雖然只畫出一個“×”，但以下分析適用于多相斷相情況。

考慮次諧波，根據疊加定理，分離出只含次諧波的等效電路，如圖3b所示。可求出每相漏阻抗上的諧波壓降為

由零序電流約束可得

式中，為發生斷相故障相編號組成的集合；為發生斷相故障相的數量。用式（2）將式（17）變換到αβ中，得到漏阻抗次諧波壓降映射到αβ中的電壓矢量為

將式（17）代入式（18）得到

式（19）中第一式等號右側由兩項構成，第一項與端電壓諧波有關，第二項則與相反電動勢諧波有關。將式（15）代入第一項當中并化簡可得

可見，式（20）時含有正序、負序分量，二者幅值、相位與所用電流優化方法和斷相故障位置有關。

式（12）所示相電動勢形式較復雜，難以直接代入式（19）的第二項進行計算。由于式（12）等號右側是由對應于不同空間諧波次數和不同時間諧波次數的電動勢項疊加而成，因此只需研究當和固定時的映射情況即可。將式（19）等號右側第二項當中的e(k)用代替并整理得到式（21），其中包含正序分量p1和p2，以及負序分量n1和n2。這四個分量相互間緊密耦合，同時出現。除非各相鄰正常相間空間角度差相同（正常相在空間上呈對稱分布），為(為整數)，同時滿足式（22），式（21）才為零，否則不為零。

式中，1和2是任意整數。

端電壓諧波主要與所用的電流優化方法和斷相位置相關，而反電動勢諧波與電機的電磁設計和負載大小等因素相關，影響二者的因素不同，一般情況下這兩種諧波無法相互抵消。因此映射到任一子空間的漏阻抗壓降中都同時存在正、負序奇數次諧波分量，如不能對其進行補償，就會產生正序、負序諧波電流。因此，次諧波電流將會以正、負序分量同時存在的形式出現在每一個子空間中，不再遵循式（3）。正常情況下和斷相故障下諧波電流子空間映射特性上的區別可以總結見表1。

表1 正常情況與斷相情況下諧波電流子空間映射特性

Tab.1 Characteristics of harmonics mapping in the healthy condition and open-phase conditions

3 斷相容錯情況下的電流諧波補償方法

3.1 基于廣義對稱分量法的電流諧波分解

文獻[22]為分析非對稱多相電氣網絡的穩態特性提出了對稱分量法。這種方法在處理三相電網當中的不平衡方面得到了廣泛應用[23]。文獻[16]提出了廣義對稱分量法并將其用于對稱多相系統的電流均衡控制。文獻[5]中，該方法被用來進行斷相故障后基波電流的容錯控制。本文中，此方法被擴展用于諧波電流控制。

根據文獻[16]，次諧波分量的廣義對稱分量矩陣為

利用式（23）所示矩陣對定子某次諧波電流進行變換，可將其分解成各子空間中相互獨立的對稱分量，各對稱分量可在相應子空間中采用單獨的電流控制器控制，從而在斷相時實現對于諧波電流的補償。

根據式（2），、+m和-s對應相同的子空間，可通過將式（23）中的替換成mod(,)或-mod(,)來對式（23）進行化簡，化簡后的變換矩陣與基波分量的廣義對稱分量變換矩陣相同，如式（24）所示。

3.2 斷相故障下改進的諧波電流補償方法

圖4 適用于斷相工況的改進k次諧波補償方法

含基波電流容錯控制和諧波電流補償的電流控制器整體框圖如圖5所示。控制框圖中，首先用式（24）將定子電流變換到各子空間，計算實際定子電流和參考值間的誤差。有多個不同次數的電流諧波要補償時，需要將多個圖4所示結構并聯。將定子電流誤差傳遞到并聯的控制器中，計算相應的控制電壓。在并聯的控制器的輸出端，將各子空間中各次諧波電流的控制電壓疊加起來，得到各子空間中最終參考電壓，通過反變換轉換為定子相電壓參考值，利用PWM技術驅動逆變器在電機端口輸出這些電壓。

圖5 同時考慮容錯控制與諧波補償時的整體電流控制框圖

4 實驗結果

4.1 實驗平臺介紹

實驗中使用的是一臺對稱型九相單中性點異步電機，其參數見表2。一臺磁粉制動器與電機同軸相連作為負載。用一臺九相VSI為電機供電。整個實驗平臺的照片如圖6所示[24]。直流母線電壓為400V，死區時間為5ms，控制器采用TITMS320F28335，控制頻率為4kHz。開路故障通過斷開逆變器與電機間斷路器模擬。定子電流用一臺錄波儀進行測量。

圖6 實驗平臺的照片[24]

表2 九相異步電機參數

Tab.2 The parameters of the nine-phase machine

斷相容錯運行時，定子電流參考值由最大轉矩優化策略確定，因此容錯運行時各正常相基波電流幅值基本相等[2]。計算定子電流參考值所需參數由離線優化獲得并存儲于控制器中。因控制器計算資源有限，實驗中選擇3、5、7次諧波電流進行補償。這三種諧波幅值較大，對它們進行補償可在計算資源有限的條件下獲得較好的補償效果。

4.2 斷相故障下諧波特性的驗證

首先對斷相后諧波電流特性進行驗證，在僅進行容錯控制而不加入諧波補償算法時，各次諧波電流在各子空間內分布情況如圖7所示。用OPF(1,2,×××,n)表示當第1,2,×××,n相斷相時的故障。圖7的兩種工況分別為正常工況和OPF(1)工況。圖中給出了各子空間下各次電流諧波正負序分量的幅值。如圖7a，正常工況下，3次諧波電流幾乎完全為αβ3中的正序分量，幅值為2.40A。其他3次諧波分量幅值均小于0.105A，可忽略。5、7次諧波電流也有類似分布特性。

圖7 無諧波補償時兩種不同工況下諧波電流映射情況

然而，在圖7b中的OPF(1)工況下，各次電流諧波不再集中于單一子空間內，而是分散在所有子空間中。以3次諧波為例，盡管αβ3中正序分量有最大的幅值（1.68A），但其他各分量也有較大幅值，如αβ5中負序分量幅值高達1.11A，除αβ3中正序分量以外的其他分量是不可忽略的。在OPF(1)工況下，5、7次諧波也有著類似的分布特性。

圖7所示實驗結果與理論推導中所得出的結論（見表1）一致，即正常運行時某次諧波電流只會以特定序分量的形式被映射到某一特定子空間當中，但斷相故障下各次諧波電流將會同時被映射到所有子空間中，且各子空間中會同時出現各次諧波電流的正負序分量。

4.3 傳統諧波補償算法與改進補償算法比較

在正常工況、OPF(1)、OPF(1,3)、OPF(1,2,3)和OPF(1,2,3,5)共五種工況下比較了改進諧波補償算法與圖1a所示傳統方法的性能。實驗中，除諧波補償算法外，其他實驗條件不變。

OPF(1,2,3)工況下，兩種諧波補償算法定子電流波形比較如圖8所示。整體電流波形如圖8a所示，控制模式首先由無諧波補償切換到傳統諧波補償方法，最后切換到改進諧波補償方法。如圖8b，不進行諧波補償時，相電流有很大峰值和嚴重畸變。采用傳統補償方法時，如圖8c，相電流峰值有所下降，諧波畸變改善，但仍含有較多3、5、7次諧波。采用改進諧波電流補償方法時，相電流峰值進一步下降，諧波畸變得到明顯抑制，3、5、7次諧波電流幾乎被完全補償，此時電流波形的畸變由更高次諧波造成。

圖8 實驗中OPF(1,2,3)工況下定子電流波形

為闡明斷相容錯時兩種方法性能產生較大差異的原因，圖9展示了OPF(1,2,3)工況下兩種方法下電流諧波映射結果。圖9a展示了傳統方法下電流諧波在子空間中的映射情況。除傳統方法加以補償的分量（αβ3中的正序3次諧波，αβ5中的正序5次諧波，αβ7中的正序7次諧波），還有大量其他正、負序諧波分量分布于各子空間中。采用改進方法的結果如圖9b所示，各子空間中3次、5次和7次諧波電流都幾乎被完全補償，證明了改進方法在斷相容錯時下優異的性能。

圖9 OPF(1,2,3)工況，兩種不同諧波補償方法下諧波電流子空間映射情況

在圖9a中，αβ1中有較大諧波分量。由于αβ1中勵磁電感較大，其中的電流諧波會造成較大轉矩脈動。采用改進算法時，αβ1中3、5、7次諧波電流得到補償，電流諧波造成的轉矩脈動會被大幅抑制。這一結果可更直觀地從圖10中的αβ1定子電流矢量軌跡得到。OPF(1,2,3)工況，兩種不同諧波補償方法下αβ1中定子電流空間矢量軌跡越接近圓形，定子基波磁動勢越穩定，輸出轉矩越平穩。軌跡若偏離圓形，說明定子基波磁動勢存在波動，輸出轉矩中存在脈動。如圖10a，采用傳統方法時，因低次電流諧波的存在，定子電流矢量軌跡明顯偏離圓形參考值，會產生較大轉矩脈動。采用改進方法時，如圖10b，定子電流矢量軌跡幾乎與參考圓重合，轉矩脈動得到最大程度的抑制，系統容錯控制性能得到了提升。

圖10 OPF(1,2,3)工況，兩種不同諧波補償方法下αβ1中定子電流空間矢量軌跡

為對諧波補償效果進行總體評估，定義了次電流諧波的含量H。

式中，In(k)RMS為第n相中k次諧波電流有效值；In(1)RMS為第n相中基波電流有效值。五種工況下，各次電流諧波Hk值結果如圖11所示。

正常工況下，傳統方法有較好性能。3、5、7次諧波電流含量分別為1.70%、1.13%和0.30%。采用改進方法后，正常工況3、5、7次諧波電流含量進一步下降為0.365%，0.382%和0.494%。正常工況下兩種方法性能的差異主要是由相參數不一致等因素帶來的細微不對稱性造成的。與斷相故障類似，不對稱性會使諧波分布與式（3）相比產生細微偏離，生成無法由傳統方法補償的分量。而改進方法可補償這些額外分量，在正常工況也有更好的性能。

故障工況下，傳統方法效果嚴重惡化。單相斷相時，各次諧波電流含量上升至6.55%、4.66%和1.86%。OPF(1,2,3,5)工況下，諧波電流含量進一步上升至15.72%、4.34%和0.98%。而改進方法在各容錯工況下都有良好補償效果，諧波電流含量在0.6%以下。

定子繞組損耗無法直接測量，在式（26）中定義了定子相電流總諧波畸變率（Total Harmonic Distortion, THD），以此作為定子繞組諧波損耗的量化指標。

式中，IRMS為第相電流有效值。計算中僅考慮定子繞組銅損耗，且認為定子繞組電阻不隨電流頻率變化。實驗中THD和根據THD計算的定子繞組諧波損耗見表3。表3中諧波損耗是用定子基波電流繞組損耗進行歸一化后的結果。

表3 THD值和計算得到的定子繞組諧波損耗

Tab.3 THD values and calculated harmonic winding losses

由表3可知，正常工況下，與傳統方法相比，改進方法諧波電流補償性能的提升可忽略。而在斷相容錯時，改進方法可顯著降低電流THD和諧波損耗。OPF(1)工況下，改進方法可將THD從12.0%降到9.26%，定子繞組諧波損耗降低40.69%，定子繞組總損耗下降0.58%。隨著斷相數量增加，改進方法的優勢進一步擴大。OPF(1,2,3,5)工況下，THD從17.6%下降到6.90%，定子繞組諧波損耗下降84.5%，定子繞組總損耗下降2.54%。表3結果中假設各次諧波電流下定子繞組有相同的電阻，但實際上，受趨膚效應等影響，電流頻率上升時，等效電阻會增大[25]。此外，電流諧波也會在轉子中產生額外銅耗，在定轉子鐵心中產生額外鐵耗[26]。表3中統計的諧波損耗未包含趨膚效應等帶來的額外定子銅耗、諧波電流帶來的額外轉子銅耗和定轉子鐵耗，因此，改進方法的降損效果會比表3中結果更加顯著。

5 結論

理論研究發現，斷相容錯時，各次諧波電流正負序分量將存在于所有子空間當中，這與正常情況下諧波電流子空間分布有很大差別，針對正常工況設計的傳統諧波電流補償算法在斷相容錯時性能會有較大惡化。為改善斷相容錯時諧波補償性能，基于廣義對稱分量法，本文提出了一種改進諧波電流補償算法。該算法可對各子空間內正、負序諧波電流分量進行補償，在斷相容錯時也有良好的補償性能。在一臺九相異步電機上的實驗表明，斷相時，傳統方法中某次諧波電流有效值可達到基波電流有效值的15%，而改進方法下這一數值下降至不到0.6%，證明了改進算法良好的性能。改進算法可在容錯工況下降低電機損耗和轉矩脈動，提升容錯控制性能。

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Analysis and Compensation of Current Harmonics in Symmetrical Multiphase Machines in Fault-Tolerant Operation against Open-Phase Faults

Sun Jiawei Zheng Zedong Li Chi Wang Kui Li Yongdong

（State Key Lab of Control and Simulation of Power System and Generation Equipment Tsinghua University Beijing 100084 China）

Multiphase machines have the advantages of high reliability, high fault-tolerant ability and high control flexibility. This paper studies the characteristics and compensation of low order current harmonics in multiphase machines during open-phase fault-tolerant operation. For a specific order current harmonic, positive and negative sequence components exist at the same time in all the subspaces in open-phase fault-tolerant operation. Traditional current harmonic compensation methods only compensate the selected order current harmonic in a specific subspace, therefore have seriously degraded performance in fault-tolerant operation. This paper proposes an improved current harmonic compensation method. With the Generalized Symmetrical Components Transformation and double PI controllers, positive and negative sequence current harmonics can be compensated in all the subspaces, which guarantees the good compensation performance in fault-tolerant operation. Finally, experiments were done on a nine-phase induction machine to verify the effectiveness of the proposed method and experimental results show the selected current harmonics can be completely compensated. Additional losses and torque ripple caused by current harmonics are reduced.

Multiphase machines, open-phase faults, fault-tolerant control, current control, harmonic compensation

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.211256

TM301.2

國家自然科學基金山東聯合基金資助（項目名稱：大容量高性能多相永磁直驅電力推進系統關鍵科學問題研究項目編號：U2016217）。

2021-08-11

2021-09-20

孫嘉偉 男，1994年生，博士研究生，研究方向為多相感應電機高性能控制。E-mail：thu_sjw@126.com

鄭澤東男，1980年生，副教授，博士生導師，研究方向為電力電子與電氣傳動。E-mail：zzd@mail.tsinghua.edu.cn（通信作者）

（編輯 郭麗軍）