多值沖突表的復合沖突程度分析

王藝超，王 振，魏 玲,3，任睿思

(1.西北大學 數學學院，陜西 西安 710127；2.西北大學 概念、認知與智能研究中心，陜西 西安 710127；3.閩南師范大學 數學與統計學院，福建 漳州 363000)

沖突普遍存在于人類的社會生活中,而沖突分析則是利用已有沖突信息,建立相應模型,進而對沖突過程進行分析,使決策者能夠充分了解沖突并做出決策。由于沖突本身豐富的語義，學者們常常將沖突分析與其他理論相結合來展開研究,主要涉及粗糙集[1-8]、三支決策[7-21]、模糊集[18-22]、形式概念分析[23-25]等。其中,結合粗糙集理論,Pawlak[2]首次給出了沖突分析的具體模型,該模型用-1、0、+1分別表示代理人關于議題所持的3種態度:反對、中立、贊同,并利用輔助函數表示代理人之間的關系,從而研究如何制定合理的策略以達到平衡狀態。Lang等[8]則是在概率粗糙集的基礎上定義了概率沖突集、概率中立集和概率聯盟集,并給出了沖突分析中閾值的確定方法。

為解決Pawlak沖突分析模型存在的問題及進一步給出沖突的語義解釋,Yao[12]結合三支決策,提出了三支沖突分析模型。該模型采用距離函數衡量代理人之間沖突的大小,并將Pawlak沖突分析模型中反對、中立、贊同的賦值域{-1,0,+1}推廣到區間[-1,+1],進而定義了多值沖突表。此后,三支沖突分析的研究得到了進一步發展[13-21]。比如:Lang[14]指出不同的序對關于沖突和聯盟所產生的作用是不同的,并基于一對改進的聯盟度量和沖突度量提出了三支沖突分析的一般模型。然而,考慮到信息的不確定性和復雜性,許多專家學者開始關注基于模糊信息系統的三支沖突分析[18-21]。此外,Zhi等[23-24]將沖突分析與形式概念分析相結合,研究了基于近似三支概念格的沖突分析,并探討了沖突分析中的最大聯盟集和最小沖突集。

在沖突分析模型中,如何衡量代理人之間沖突的大小是至關重要的。Yao[12]在多值沖突表中聚焦于兩個代理人關于議題態度的差別,利用距離函數衡量沖突大小,但未考慮代理人各自關于議題態度的程度,且在研究多議題下代理人之間的沖突時,認為每個議題都具有相同的重要性。而Lang[14]指出在實際應用中不同議題的重要性存在差異,并采用主觀方式直接賦予不同議題不同的重要性。但是，目前現有的關于沖突分析的研究,仍未考慮代理人各自關于議題態度的程度,也并未給出關于議題重要性的較為客觀的刻畫方法。

綜合考慮上述問題,本文針對多值沖突表,同時關注兩個代理人態度的差別與代理人各自關于議題態度的程度,給出兩個代理人關于單議題的復合沖突程度的定義,并利用已有沖突信息給出議題重要性相對客觀的表達方式,進而研究兩個代理人關于多議題的復合沖突程度。

1 預備知識

本節回顧有關沖突分析的基本概念。

定義1[12]稱三元組S=(A,I,r)為多值沖突表,其中A={x1,x2,…,xn}為代理人的集合,A中的每個元素xj(1≤j≤n)為一個代理人;I={i1,i2,…,im}為議題的集合,I中的每個元素ik(1≤k≤m)為一個議題;r:A×I→[-1,+1]為映射,r(xj,ik)表示代理人xj對于議題ik的態度的取值。

一般地,在定義1中,r(xj,ik)=-1表示代理人xj完全反對議題ik,r(xj,ik)=0表示代理人xj對于議題ik持完全中立的態度,r(xj,ik)=+1表示代理人xj完全贊同議題ik,其他的取值則代表代理人對于議題反對或者支持的程度。

特別地,當映射r:A×I→{-1,0,+1}時,稱三元組S=(A,I,r)為三值沖突表。

例1給出文獻[14]提到的中東沖突分析問題的多值沖突表。

例1[14]表1給出了關于中東沖突的多值沖突表。A={x1,x2,x3,x4,x5,x6}為代理人的集合,x1表示以色列,x2表示埃及,x3表示巴勒斯坦,x4表示約旦,x5表示敘利亞,x6表示沙特阿拉伯;I={i1,i2,i3,i4,i5}為議題的集合,i1表示“在西岸和加沙設立自治巴勒斯坦州”,i2表示“以色列沿約旦河設立軍事前哨”,i3表示“以色列保留東耶路撒冷”,i4表示“以色列在戈蘭高地設立軍事前哨”,i5表示“阿拉伯國家給予留在其境內的巴勒斯坦人公民身份”。

表1 關于中東沖突的多值沖突表

在定義1的基礎上,文獻[12]進一步給出衡量兩個代理人關于同一個議題沖突大小的方式。

定義2[12]設S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,定義距離函數Ci:A×A→[0,1]如下。對于任意(x,y)∈A×A,

(1)

稱Ci(x,y)為代理人x與y關于議題i的沖突程度。若Ci(x,y)=1,則代理人x與y關于議題i是完全沖突的;若Ci(x,y)=0,則代理人x與y關于議題i沒有沖突。

2 關于單議題的復合沖突程度

在例1中存在這樣的一種情況,代理人x2與x3關于議題i1態度的取值均為+0.95,代理人x4與x6關于議題i1態度的取值均為0,通過定義2可得,這兩對代理人關于議題i1的沖突程度相同且均為0。但是,由于+0.95更接近于+1,則第1對代理人關于議題i1的贊同程度明顯高于第2對代理人,因此人們通常會認為第1對代理人之間的沖突應小于第2對代理人。由此可知,當兩對代理人關于某一議題的沖突程度相同且為0時,利用定義2對此類情況無法進行區分。

另外,還存在一種情況,假設兩個代理人關于某個議題態度的取值分別為+0.6、+0.9,另外兩個代理人關于該議題態度的取值分別為+0.1、-0.2,同樣利用定義2計算可知,這兩對代理人關于該議題的沖突程度相同且均為0.15。但是,由于第1對代理人關于該議題都持贊同態度,而第2對代理人則呈現對立的態度,一個贊同一個反對,因此,在這種情況下人們通常也會認為第1對代理人之間的沖突應小于第2對代理人。亦即,此種情況下定義2也無法對其進行區分。

為解決上述問題,本節在單議題的背景下,提出兩個代理人關于議題平均確定度的定義,并基于此給出兩個代理人關于單議題的復合沖突程度的定義。下面先給出兩個代理人關于同一個議題的平均確定度的定義。

定義3設S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,定義映射di:A×A→[0,1]如下。對于任意(x,y)∈A×A,

(2)

稱di(x,y)為代理人x與y關于議題i的平均確定度。

在此處,|r(x,i)|表示代理人x關于議題i的態度的確定程度。當r(x,i)=0時,代理人x關于議題i的態度的確定程度為0;當r(x,i)>0時,|r(x,i)|越大,代理人x贊同議題i的程度越大;當r(x,i)<0時,|r(x,i)|越大,代理人x反對議題i的程度越大。

為作區分,本文根據語義將定義2中代理人x與y關于議題i的沖突程度稱為差別度,并用ci(x,y)表示,即

(3)

差別度和平均確定度的相關性質如下。

性質1設S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,x,y,z∈A,有

1) min{|r(x,i)|,|r(y,i)|}≤di(x,y)≤ max{|r(x,i)|,|r(y,i)|};

2)di(x,y)=di(y,x);

3)di(x,y)≤di(x,z)+di(z,y),且di(x,y)=di(x,z)+di(z,y)當且僅當r(z,i)=0。

性質2設S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,x,y∈A,ci(x,y)=di(x,y)當且僅當r(x,i)·r(y,i)≤0。

基于差別度和平均確定度,我們以二元對的形式給出兩個代理人關于單議題的復合沖突程度的定義。

(4)

下面根據字典序[26]定義任意兩個代理人關于單議題的復合沖突程度之間的序關系。

根據定義4以及定義5可得到關于單議題的復合沖突程度的相關性質如下。

性質3設S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,x,y,z∈A,有

3) 根據對稱性可以直接證明。

表2 關于議題i1的復合沖突程度

定理1設S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,(x,y),(x′,y′)∈A×A,若滿足Ci(x,y)=Ci(x′,y′),則

證明由Ci(x,y)=Ci(x′,y′)可得ci(x,y)=ci(x′,y′)。

2) 證明過程與1)類似。

4) 由性質2可直接證明。

當兩對代理人關于議題的沖突程度相同時,換言之,在兩對代理人關于議題的差別度相同的情況下,定理1的1)與2)表明關于該議題都持贊同/反對態度的兩個代理人之間的復合沖突程度小于分別持贊同、反對態度的兩個代理人;3)表明當兩對代理人關于議題分別都持贊同/反對態度時,平均確定度大的兩個代理人對應的復合沖突程度小。

需要注意的是,若不關注給出態度的代理人,而是強調態度的取值時,可以利用態度的取值作為參數來表示沖突程度與復合沖突程度,即對于任意議題i∈I,任意代理人序對(x,y)∈A×A,

Ci(x,y)=Ci(r(x,i),r(y,i)),

3 關于多議題的復合沖突程度

本節在多議題的背景下,通過聚合單議題上的復合沖突程度來研究關于多議題的復合沖突程度。由于不同議題的重要性有差異,下面首先給出議題重要性的刻畫方式。

定義6設S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意i∈I,定義議題i的重要性為

(5)

此處的Di借鑒了方差的語義,反映了所有代理人關于議題i態度的波動程度。波動越大,表示這些代理人對于議題i態度的差異性越大,進而表明對于研究代理人之間沖突的大小這一問題而言,議題i更重要。

例3(續例2) 由定義6可知,

類似地,可以得到議題集I中任意議題的重要性,如表3所示。

表3 中東沖突中議題i的重要性

基于議題的重要性給出單議題在議題子集中權重的定義。

定義7設S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意J?I,i∈J,定義議題i在議題子集J中的權重為

(6)

下面利用權重研究代理人關于多議題的復合沖突程度。

(7)

注1由于多值沖突表中數據的任意性,可能會出現不同議題的重要性相同的情況,進而導致不同議題在議題子集中的權重相同。然而,當某兩個議題在議題子集中的權重相同時,在單議題下復合沖突程度的基礎上,計算得到的關于多議題的復合沖突程度也具有一定的研究意義,它仍然同時關注了兩個代理人態度的差別與代理人各自關于議題態度的程度。

根據性質3易得關于多議題的復合沖突程度的相關性質如下。

性質4設S=(A,I,r)是多值沖突表,對于任意J?I,x,y,z∈A,有

表4 關于議題i5的復合沖突程度

表5 關于議題子集J的復合沖突程度

由表5可知,關于議題子集J={i1,i5},代理人x1與x2之間的復合沖突程度是最大的,為(0.925,0.075),反映了代理人x1與x2的差別度為0.925,平均確定度為0.925,進一步表明代理人x1與x2最能代表對立的雙方。故在討論議題i1,i5時,需要格外關注代理人x1與x2的想法,進而分析造成沖突的原因。

4 結語

本文針對多值沖突表,以二元對的形式給出兩個代理人關于單議題的復合沖突程度的定義,既反映了兩個代理人關于議題態度的差別,也反映了代理人關于議題態度的確定程度,進而結合議題的權重,研究兩個代理人關于多議題的復合沖突程度。可以看到,本文在衡量兩個代理人之間沖突的大小時,將定義2中的沖突度量進行了改進,針對兩對代理人關于議題差別度相同的情況做了深入的探討;并且考慮到實際應用中不同議題的重要性有差異,本文借鑒方差的語義研究議題的重要性,進而給出了單議題在議題子集中權重的刻畫方式。

考慮到本文定義的復合沖突程度的兩個分量都是以絕對值的形式給出的,未能使所有不同的態度取值構成的序對對應著不同的值,后期將探討如何進一步區分。另外,鑒于本文提出的復合沖突程度的合理性,未來我們會考慮與三支決策相結合,將代理人序對的集合進行三分,從而研究基于多值沖突表的三支沖突分析。