基于“問題鏈”的數(shù)學(xué)探究教學(xué)的設(shè)計(jì)和思考
——以“用向量法研究三角形的性質(zhì)”為例

310012 浙江省杭州學(xué)軍中學(xué) 張春杰

數(shù)學(xué)探究活動是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的重要的實(shí)踐活動，是高中數(shù)學(xué)新課程的主線之一

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“用向量法研究三角形的性質(zhì)”是人教A版新教材中的一個數(shù)學(xué)探究活動

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杭州市以“用向量法研究三角形的性質(zhì)”為活動主題，組織了一場青年教師課堂教學(xué)評比活動，筆者全程觀摩了此活動，并進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)和思考，現(xiàn)對其展開論述

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一、 內(nèi)容和內(nèi)容解析

(一)內(nèi)容：用向量法研究三角形的性質(zhì)

本單元內(nèi)容分為三個課時(shí)

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第1課時(shí)，回顧初中學(xué)習(xí)的三角形性質(zhì)，并從幾何的角度進(jìn)行研究方法的再總結(jié)

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第2課時(shí)，梳理向量法的三部曲，并以三角形的重心性質(zhì)研究為例，進(jìn)行傳統(tǒng)法和向量法的對比研究

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第3課時(shí)，用向量法研究三角形外心、重心、內(nèi)心和其他幾何性質(zhì)

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(二)內(nèi)容解析

向量兼具幾何和代數(shù)的特征，是溝通幾何和代數(shù)的橋梁，向量單元的教學(xué)任務(wù)是理解向量語言和通過向量法解決幾何問題

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三角形是幾何中最簡單、最常見的平面圖形，學(xué)生通過向量法解決三角形問題，感悟向量法的特點(diǎn)、便捷性和力量

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通過證明與幾何法的對比，提煉向量法研究平面幾何問題的研究架構(gòu)：首先，用幾何的眼光觀察性質(zhì)；其次，用向量(數(shù))表示三角形(形)性質(zhì)；第三，幾何性質(zhì)的向量運(yùn)算(數(shù))；最后，通過向量運(yùn)算研究三角形的性質(zhì)

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通過向量運(yùn)算研究圖形性質(zhì)是方法和策略的提升，開辟了一條新的運(yùn)算推理之路

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向量法是直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的聚焦點(diǎn)，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)思想

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這就需要教師從整體的高度進(jìn)行設(shè)計(jì)，通過巧妙的數(shù)學(xué)情境和問題引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究，在數(shù)學(xué)探究的過程中養(yǎng)成獨(dú)立思考、交流合作的習(xí)慣,培養(yǎng)探索精神,體驗(yàn)成功的樂趣

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(三)教學(xué)重點(diǎn)

用向量方法研究三角形性質(zhì)的三部曲

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二、 目標(biāo)和目標(biāo)解析

(一)單元目標(biāo)

1

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會用幾何的眼光觀察圖形，能用向量及其運(yùn)算刻畫平面幾何中元素的關(guān)系

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2

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能用向量法證明三角形的有關(guān)性質(zhì),掌握用向量法研究幾何問題的基本策略

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3

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通過探究三角形的“新”性質(zhì),體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的過程和方法,體會向量法開辟了一條新的運(yùn)算推理之路

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(二)目標(biāo)解析

1

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能用向量的運(yùn)算刻畫幾何圖形中的平移、共線、垂直、相似、距離、角度等

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2

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能用向量法研究三角形的有關(guān)性質(zhì)，掌握用向量法研究幾何問題的三部曲

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第一步,幾何問題向量化；第二步，向量的代數(shù)運(yùn)算；第三步,向量表達(dá)為幾何問題

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3

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掌握向量法研究三角形的方法，并繼續(xù)探究三角形的“新”性質(zhì)，提升獨(dú)立進(jìn)行課題研究的能力

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三、 教學(xué)問題診斷分析

(一)問題診斷

首先，學(xué)生對課題和項(xiàng)目研究比較陌生

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《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》對于數(shù)學(xué)探究活動的描述是：圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題開展課題研究，并實(shí)現(xiàn)解決問題的過程

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教材建議以課題研究的形式展開，課題研究包含四個環(huán)節(jié)：選題、開題、做題和解題

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但是學(xué)生進(jìn)行課題研究的經(jīng)驗(yàn)略有欠缺，為指導(dǎo)學(xué)生更好地進(jìn)行課題形式的探究活動，教師應(yīng)該積極參與到學(xué)生的課題研究進(jìn)程中，給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)

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其次，學(xué)生認(rèn)為向量法就是坐標(biāo)法

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向量兼具數(shù)、形于一身，對向量及其運(yùn)算不能狹隘地進(jìn)行理解，教學(xué)中要強(qiáng)化向量法是“代數(shù)運(yùn)算”和“圖形運(yùn)算”的結(jié)合

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向量法是利用運(yùn)算律，通過向量運(yùn)算解決幾何問題，不能簡單理解為坐標(biāo)的代數(shù)運(yùn)算

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這一點(diǎn)在教學(xué)中要重點(diǎn)凸顯出來

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(二)教學(xué)難點(diǎn)

如何合理地將三角形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算

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四、 教學(xué)支持條件分析

(一)對本單元三個課時(shí)的教學(xué)進(jìn)行適當(dāng)安排

對于本單元三個課時(shí)的數(shù)學(xué)探究活動，考慮到教學(xué)的時(shí)間和學(xué)生的情況，可以采取第1課時(shí)先從宏觀層面引導(dǎo)學(xué)生回顧、梳理初中幾何問題的研究方法和研究結(jié)論，并以研究報(bào)告的形式交流；第2課時(shí)以三角形的重心為對象展開研究，探索重心的幾何性質(zhì)，并從幾何和向量兩個維度進(jìn)行研究、對比；第3課時(shí)可以采用指定幾個研究課題(如將學(xué)生分為外心組、內(nèi)心組和垂心組等)分別展開研究，撰寫研究報(bào)告，課堂上進(jìn)行互動交流

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第2課時(shí)和第3課時(shí)的間隔時(shí)間應(yīng)盡可能長，以便學(xué)生有充足的時(shí)間進(jìn)行研究

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(二)技術(shù)條件

教師可以對學(xué)生進(jìn)行“幾何畫板”等幾何軟件使用的培訓(xùn),為新性質(zhì)探究提供幫助

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五、 課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

用向量法研究三角形的性質(zhì)(第2課時(shí))

(一)課時(shí)教學(xué)內(nèi)容

三角形重心性質(zhì)的研究

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(二)課時(shí)教學(xué)目標(biāo)

1．通過從幾何角度觀察圖形，體會幾何圖形的本質(zhì)特征

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2．通過將幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，掌握向量垂直、共線等運(yùn)算特征

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3．通過研究解決重心的性質(zhì)問題，掌握向量法解決問題的三部曲

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(三)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：

向量法研究問題的三部曲

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教學(xué)難點(diǎn)：

幾何問題如何轉(zhuǎn)為為合適的向量問題

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(四)教學(xué)過程設(shè)計(jì)

環(huán)節(jié)1

創(chuàng)設(shè)問題情境

問題1

三角形的重心是怎么定義的？

追問1

物理上的重心是怎么定義的？

追問2

三角形的中線一定交于一點(diǎn)嗎？

師生活動:

在提出問題1后，學(xué)生思考，教師巡視，學(xué)生回答并總結(jié)，剖析定義

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設(shè)計(jì)意圖：

引導(dǎo)學(xué)生回顧重心的定義，激發(fā)思維的起點(diǎn)

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重心是經(jīng)常被使用的概念，通過回顧這個概念是如何定義的，三角形的三線是否一定共點(diǎn)，學(xué)生回到思維的起點(diǎn)，為接下來的研究做好鋪墊

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環(huán)節(jié)2

從幾何角度研究

問題2

如何從幾何角度對三角形三條中線交于一點(diǎn)進(jìn)行證明？

追問1

一般證明三角形三線共點(diǎn)有什么樣的策略？

追問2

你能給出證明的方法嗎？

師生活動:

在第1課時(shí)已經(jīng)回顧并梳理了初中研究三角形的方法，可以提前把學(xué)生分為若干組，進(jìn)行相關(guān)問題的探討，這里教師引領(lǐng)學(xué)生再思考、再梳理、再研究，然后學(xué)生匯報(bào)證明的思路和過程

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設(shè)計(jì)意圖：

在定義出現(xiàn)認(rèn)知沖突后，很自然地需要進(jìn)行分析解決

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對于解決什么和如何解決，教師引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行分析

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這是一個學(xué)生已有的知識結(jié)構(gòu)能夠解決的問題，可以放手給學(xué)生，通過小組合作、組長匯報(bào)，學(xué)生經(jīng)歷發(fā)生、發(fā)展和解決的過程

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通過知識的梳理、方法的整合、思想的碰撞，學(xué)生在用幾何法解決三條中線共點(diǎn)的過程中，對重心性質(zhì)的認(rèn)識進(jìn)一步提升

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環(huán)節(jié)3

從向量角度研究

問題3

從向量的角度能進(jìn)行證明嗎？

追問1

用向量法證明幾何問題的步驟是什么？

追問2

從向量的角度證明三線共點(diǎn)的策略是什么？

追問3

你能給出詳細(xì)的證明嗎？

師生活動:

將問題拋給學(xué)生，學(xué)生分組思考、討論和完善；教師巡視、指導(dǎo)，參與學(xué)生的研究過程，然后讓學(xué)生以組為單位進(jìn)行匯報(bào)交流，在匯報(bào)交流完畢后，其他學(xué)生可以進(jìn)行提問

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設(shè)計(jì)意圖：

雖然用幾何法解決幾何問題看起來比較簡潔，但是不容易展開思考，如三角形三條中線交于一點(diǎn)的證明需要添加輔助線，要求有很強(qiáng)的邏輯思維能力

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向量法開辟了一種證明幾何問題的新思路，用它解決一些幾何問題(垂直、平行等)比較方便

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環(huán)節(jié)4

繼續(xù)重心性質(zhì)的研究

問題4

重心還有哪些性質(zhì)？

追問1

如何從向量的角度表達(dá)？

追問2

如何用向量法進(jìn)行證明？

師生活動:

仍然將問題拋給學(xué)生，學(xué)生分組進(jìn)行研究、討論，教師作為指導(dǎo)者和參與者，學(xué)生派代表分組匯報(bào)，各個小組交流匯報(bào)

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設(shè)計(jì)意圖：

之前重點(diǎn)解決的是重心存在的問題，接下來讓學(xué)生從橫向視野進(jìn)行探究

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既然是中線的交點(diǎn)，有中點(diǎn)存在，可以延伸出哪些性質(zhì)？培養(yǎng)學(xué)生感知、猜想和證明的能力

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環(huán)節(jié)5

課堂小結(jié)

問題5

請你帶著下面的問題對本節(jié)課進(jìn)行小結(jié)

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(1)幾何法和向量法各有哪些特點(diǎn)？

(2)解決向量問題的步驟有哪些？

(3)用向量法解決問題的關(guān)鍵點(diǎn)在哪里？

師生活動:

給學(xué)生時(shí)間思考、梳理和回顧，小組內(nèi)部先進(jìn)行交流，然后小組派代表發(fā)言，在學(xué)生發(fā)言的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行點(diǎn)評和總結(jié)

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設(shè)計(jì)意圖：

通過問題引導(dǎo)學(xué)生對知識、方法和思想進(jìn)行結(jié)構(gòu)化梳理，反思解決問題的方法和策略，體會問題本身蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，不僅有助于提升學(xué)生對問題本質(zhì)的認(rèn)識，也有助于學(xué)生養(yǎng)成善于反思、勤于反思的習(xí)慣

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環(huán)節(jié)6

課外課題研究

問題6

請你在課后圍繞下面幾個問題從向量的角度加以研究，并撰寫小論文

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(1)三角形的外心怎么定義？有哪些性質(zhì)？

(2)三角形的內(nèi)心怎么定義？有哪些性質(zhì)？

(3)三角形的垂心怎么定義？有哪些性質(zhì)？

(4)三角形的旁心怎么定義？有哪些性質(zhì)？

(5)對于三角形，你還能發(fā)現(xiàn)哪些性質(zhì)？

設(shè)計(jì)意圖：

問題是課堂教學(xué)的心臟，讓學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂，在問題的解決中體會數(shù)學(xué)探究的策略和方法，并將課堂中掌握的解決問題方法應(yīng)用于課堂外新的問題解決中

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課堂教學(xué)的核心在于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和研究問題的策略，提升研究問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

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六、 教學(xué)設(shè)計(jì)說明和思考

(一)數(shù)學(xué)探究活動應(yīng)凸顯單元整體設(shè)計(jì)

“用向量研究三角形的性質(zhì)”是數(shù)學(xué)探究課，共三個課時(shí)

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需要對這三個課時(shí)進(jìn)行整體的教學(xué)設(shè)計(jì)，不能將其割裂開來，要凸顯知識的一致性和思想的連貫性，通過數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展過程和學(xué)生思維過程兩方面的融合來構(gòu)建

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從知識方法的層面來說，重點(diǎn)強(qiáng)化向量法解決幾何問題；從思想層面來說，凸顯幾何問題如何轉(zhuǎn)為合適的向量問題，如何進(jìn)行課題研究

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數(shù)學(xué)探究活動不僅是一次課題形式的學(xué)習(xí)，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究問題的能力

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(二)單元課時(shí)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)凸顯問題鏈設(shè)計(jì)主線

章建躍博士指出，教學(xué)設(shè)計(jì)要以“問題鏈”的形式呈現(xiàn)，“問題鏈”構(gòu)成課時(shí)的教學(xué)主線

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“問題鏈”的設(shè)計(jì)要具有適切性，能對學(xué)生理解概念、形成技能和領(lǐng)悟思想有推動作用，要能夠激發(fā)學(xué)生探究的熱情，推動學(xué)生主動進(jìn)行研究

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本課時(shí)設(shè)計(jì)從重心的定義(為何三角形三條中線交于一點(diǎn))出發(fā)，讓學(xué)生的思維回到研究的起點(diǎn)(這樣定義重心可行嗎),自然著手解決三條中線交于一點(diǎn)的問題，然后拋出環(huán)環(huán)相扣的問題

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你能從幾何角度進(jìn)行研究嗎？有幾種方法？能用向量法證明嗎？用向量法解決的步驟是什么？有幾種方法？向量法和幾何法各有什么特點(diǎn)？這些問題層層深入，一步一步地激發(fā)學(xué)生的探究欲望，學(xué)生在解決問題過程中體驗(yàn)探究的思路和方法，為接下來的研究搭建平臺

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“三角形外心等如何定義？有哪些性質(zhì)？”“請從向量法的角度研究，并撰寫小論文，后期進(jìn)行交流匯報(bào)”引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位進(jìn)行課后研究，真正形成大課堂的理念，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立進(jìn)行研究的能力

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(三)教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)凸顯數(shù)學(xué)育人的價(jià)值理念

整個教學(xué)設(shè)計(jì)過程中，學(xué)生的主體地位要凸顯出來

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考慮到教學(xué)的實(shí)際情況，教師要適當(dāng)參與和設(shè)計(jì)一些問題，讓學(xué)生避免走過多的冤枉路，以便有更多精力進(jìn)行小組合作，選擇研究手段和方法，體驗(yàn)研究新問題的思路和方法，讓學(xué)生經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展和形成的過程

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重心存在問題的順利解決也提升了學(xué)生的深度學(xué)習(xí)能力，促使學(xué)生在批判中思維，在思維中成長

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在完整體驗(yàn)向量解決問題的一般過程后，學(xué)生再獨(dú)立地進(jìn)行深層次(重心的其他性質(zhì))和更廣范圍(外心等)的研究，改變了教學(xué)過程中教師主導(dǎo)課堂的局面，使學(xué)生真正成為探究的主體，凸顯育人的教學(xué)理念

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