淺論函數奇偶性的判斷方法

335500 江西省萬年縣萬年中學 徐 廣

335500 江西省萬年縣萬年一中 李 敏

函數的奇偶性是函數的重要性質，也是高考的重點與熱點，更是廣大高中生的易錯點．學好函數的奇偶性一直是廣大高中生的訴求，要掌握好函數奇偶性的判斷方法，可以從以下三個方面入手．

一、 關于函數奇偶性的定義

北師大版高中數學教材中關于函數奇偶性的定義簡述如下

.

設函數

y

=

f

(

x

)，

x

∈

I

，且對任意

x

∈

I

，恒有-

x

∈

I

(即定義域要關于原點對稱)，(1)若

f

(-

x

)=-

f

(

x

)，則稱

y

=

f

(

x

)為奇函數；(2)若

f

(-

x

)=

f

(

x

)，則稱

y

=

f

(

x

)為偶函數．

上述定義從理論上說明，定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個前提．相當一部分學生常常忽視所給函數的定義域，直接用函數奇偶性的判別式確定其奇偶性，很容易得出錯誤的結論．

例1

判斷函數的奇偶性．

錯解：

由題意可得

F

(

x

)=

x

，從而有

F

(-

x

)=

F

(

x

)，所以

y

=

F

(

x

)為偶函數．

評析：

上述解答沒有求出函數的定義域，忽視了判斷函數的定義域是否關于原點對稱．

正解：

因為

y

=

F

(

x

)的定義域為(-∞,1)∪(1,+∞)，不關于原點對稱，所以

y

=

F

(

x

) 不具有奇偶性．

因此，教師在講授新課時，一定要強調定義域關于原點對稱的重要性與先決性．

類似的，函數不具有奇偶性．

例2

若函數在定義域上為奇函數，求實數

k

的值．

錯解：

因為

f

(

x

)是奇函數，所以

f

(0)=0，即從而有

k

=1．

評析：

上述解法沒有考慮0是否屬于

f

(

x

)的定義域，而是默認

f

(

x

)在

x

=0處有定義．

正解：

由

f

(-

x

)=-

f

(

x

)，得整理可得

k

(2+2-)=2+2-，從而有

k

=1或

k

=-1．經驗證，均合題意．

例3

設函數為奇函數，求實數

a

的值．

解析：

注意到函數的定義域要關于原點對稱，已知

x

≠-2且

x

≠

a

，所以要保證定義域對稱，則

a

=2，這是

f

(

x

)為奇函數的必要條件，經驗證，符合題意．

二、 函數奇偶性的四則運算合成

在默認的最大定義域內，為互質的奇數(

p

，

q

為互質的奇數)，

y

=sin

x

，

y

=tan

x

，

y

=cot

x

為奇函數；為互質的正整數，

p

為偶數(

p

，

q

為互質的正整數，

p

為偶數)，

y

=cos

x

為偶函數；

y

=0既是奇函數又是偶函數．

在掌握了初等函數的奇偶性后，對于給定的復雜函數的奇偶性，往往不需要直接用定義方法來證明或判斷，而是用合成方法處理．

設在公共定義域內，函數

f

(

x

)和

f

(

x

)為奇函數，而

g

(

x

)與

g

(

x

)為偶函數，

k

，

c

為常數，則有如下結論

.

(1)當

k

≠0時，

y

=

kf

(

x

)為奇函數，

y

=

kg

(

x

)為偶函數．特別地，當

k

=0時，

y

=

kf

(

x

)和

y

=

kg

(

x

)既是奇函數也是偶函數．(2)當

c

≠0時，

y

=

f

(

x

)+

c

不是奇函數,

y

=

g

(

x

)+

c

為偶函數．(3)

y

=

f

(

x

)±

f

(

x

)為奇函數，

y

=

g

(

x

)±

g

(

x

)為偶函數．

為奇函數，為偶函數．定義域可能會有所變化，例如和

(5)

y

=

f

(

x

)

f

(

x

)為偶函數，

y

=

g

(

x

)

g

(

x

)為偶函數．(6)

y

=

f

(

x

)

g

(

x

)為奇函數．(7)設

h

(

x

)=

kf

(

x

)+

cg

(

x

)(其中

f

(

x

)不為偶函數，

g

(

x

)不為奇函數),若

h

(

x

)為奇函數，則

c

=0；若

h

(

x

)為偶函數，則

k

=0

.

例4

判斷下列函數的奇偶性．

解：

(1)

f

(

x

)在(-∞,0)∪(0,+∞)上為奇函數；(2)

g

(

x

)在

R

上的為奇函數；(3)

h

(

x

) 在上為偶函數．

例5

設

F

(

x

)=

x

+(

t

-1)

x

為

R

上的奇函數，求實數

t

的值．

解：

由題意可得

t

-1=0，即

t

=1．這里可以直接省去用

F

(-1)=-

F

(1)計算得出結果，或者由計算稍微復雜的

F

(-

x

)+

F

(

x

)=0推導得到結果．

例6

若函數在(-2,2)上為奇函數，求實數

a

與

b

的值．

分析：

因為

f

(

x

)在

x

=0處有定義，所以

f

(0)=0，可得

a

=1，所以分子為

x

，是奇函數，而

f

(

x

)為奇函數，所以分母

x

+

bx

+1必須為偶函數，即有

b

=0．

解：

因為

f

(

x

)的定義域為(-2,2)，所以有

f

(0)=0，即

a

=1，從而可得為偶函數，進而有

b

=0．這里主要應用了函數

y

=0既是奇函數也是偶函數的性質，在判斷加減復合的過程中，將“雜項”變換為常數0，消除它的影響．

三、 復合函數的奇偶性

對于復合函數的奇偶性，也可以用復合法則進行判斷．

設函數

y

=

f

(

t

)與

t

=

g

(

x

)分別為復合函數

y

=

f

[

g

(

x

)]的外層函數(簡稱外函數)和內層函數(簡稱內函數)，則

y

=

f

[

g

(

x

)]的奇偶性如表1所示

.

表1

y=ft t=gx y=fgx 奇函數奇函數奇函數奇函數偶函數偶函數偶函數奇函數偶函數偶函數偶函數偶函數

由奇函數和偶函數的性質，可知奇函數中自變量帶有負號可以向外提出，而偶函數自變量中的負號不能向外提出，即可內消．

因此，可以歸納出判斷復合函數奇偶性的方法

.

首先，判斷定義域是否關于原點對稱；其次，不論是幾層復合函數，一旦有一層為偶函數，則復合函數為偶函數，否則為奇函數．

例7

判斷下列函數的奇偶性．(1)

f

(

x

)=sin(

x

-

x

)；(2)

g

(

x

)=cos(

x

+

x

)；(3)

h

(

x

)=|tan

x

|．

解：

(1)

f

(

x

)為

R

上的奇函數；(2)

g

(

x

)為

R

上的偶函數；(3)

h

(

x

)為上的偶函數．

這種方法方便學生在審題時確定函數的奇偶性，但在處理具體問題時，一定要確認其定義域關于原點的對稱性．

四、 函數的局部奇偶性

對于奇(偶)函數平移后得到的新函數，在此將其稱為具有局部奇偶性函數，常用分離方法處理這類問題．

例8

設函數

f

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

+1，且

f

(3)=5，求

f

(-3)的值．

分析：

對于函數

f

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

+1，其中

a

sin

x

-

bx

為奇函數，

y

=

f

(

x

)的圖像可由

g

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

的圖像向上平移1個單位得到．要求

f

(-3)，關鍵要求出

g

(-3)的值，而

g

(-3)=-

g

(3)．顯然，

g

(3)=

f

(3)-1．

解：

設

g

(

x

)=

a

sin

x

-

bx

，則

f

(

x

)=

g

(

x

)+1，所以

f

(3)=

g

(3)+1=5．從而，

g

(3)=4，

g

(-3)=-

g

(3)=-4，則

f

(-3)=

g

(-3)+1=-3．

綜上可知，要熟練掌握函數的奇偶性，不但要深刻理解奇偶性的定義，而且要能領會奇偶函數的本質特征．