高中數學多項選擇題命制研究及啟示
——以2020～2022年新高考Ⅱ卷試題為例

◎海南省農墾中學 劉國海 郭嬋娟

2018年1月頒布的2017版《普通高中數學課程標準》具有基礎性、選擇性、發展性，明確了數學學習的“四基”與“四能”，提煉了發展能力內涵的六大“核心素養”。在2017版《普通高中數學課程標準》的指導下，新高考Ⅱ卷試題繼承了傳統高考的命題風格，同時穩中有變。內容上除了注重邏輯思維能力、空間想象能力和運算求解能力考查外，逐漸加大了對數學建模能力、創新能力和動手實踐能力的考查，展現了數學的應用價值。題型上凸顯2017版《普通高中數學課程標準》對考試評價的引領作用，較傳統高考進行改革創新，增加了多選題。本文通過對2020～2022年新高考數學Ⅱ卷多選題命制的研究，談幾點解題建議及教學啟示。

一、應用背景

縱觀2020～2022年新高考數學Ⅱ卷，較傳統高考試題增設了4道多選題：每道試題所給的4個選項中，有二至三項符合題意，完全選對得5分，選對部分得2分，錯選不得分。多選題的“橫空出世”，實際上是在不分文理科的新形勢下，在考試形式與內容持續改革的同時進行題型創新以致于適應教育時代性的一項舉措。另外，多選題也更能突出數學核心概念，重視“雙基”的有效落實，利用跨學科和多維度知識顯現學科和能力融合的效果，從多個角度對學生的綜合能力進行考查，提升考試的信度與效度，體現對學科素養和創新精神的需求。

二、命制分析

從立意上，多選題集中展示數學六大核心素養，可直接考查學生“雙基”的掌握情況，也可以考查基本思想和活動經驗。從命制上，多選題設有恰當的情境，而不是簡單地把單選題改成多選題，更不是直接否定原有的單選題，將其拼湊成多選題。筆者認真研究了2020～2022年新高考數學Ⅱ卷的多選題，認為多選題命制的形式有以下幾種類型：

1.“一干多支”型。

例1：我國新冠肺炎疫情進入常態化，各地有序推進復工復產，圖1是某地連續11天復工復產指數折線圖，下列說法正確的是（）。

圖1

A.這11天復工指數和復產指數均逐日增加

B.這11天期間，復產指數增量大于復工指數的增量

C.第3天至第11天復工復產指數均超過80%

D.第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量

本題引自2020年新高考數學Ⅱ卷第9題，試題以折線圖為情境，考查對折線圖表示的函數的認知與理解。這類多選題屬于“一干多支”型：在同一情境下，需要對4個選項呈現的不同結論做出判斷；或者是給定一個數學對象，設置不同性質以判斷其真假。這種類型的多選題并不是簡單地聚集一些知識點，也不是單純地把幾個根本沒有任何關聯的命題拼湊在一起，類似于大雜燴。再如2022年新高考數學Ⅱ卷的第9題：

例2：函數f(x) = sin ( 2x+φ) (0 ＜φ＜π)的圖像以中心對稱，則（）。

本題考查函數(f)x=Asin(xω+φ)圖像與性質。根據題干所給條件，可以求得函數解析式題目設置的4個選項均是在此基礎上，對該函數的單調性、極值點、對稱軸、切線等不同結論做出判斷，同樣屬于多選題中的“一干多支”型試題。

2.“盤根錯節”型。

例3：已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則（）。

本題引自2020年新高考數學Ⅱ卷第12題，主要考查不等式的性質，綜合了均值不等式、指對數函數的單調性。A、B選項用已知關系消元，C、D選項考查均值不等式，所有選項又同時用到了函數的單調性，側重考查數學運算的核心素養。這類多選題屬于“盤根錯節”型：每一個選項都經過精心設計，相互之間又具有知識的內在聯系或者方法的相通性。再如2022年新高考數學Ⅱ卷的第10題：

例4：已知O是坐標原點，過拋物線C:y2=2 2px(p＞0)焦點F的直線與C交于A，B兩點，其中A在第一象限，M(p，0)，若AF=AM,則（）。

本題考查拋物線C:y2= 2px(p＞0)的圖像與性質。4個選項涉及焦點弦的斜率、弦長、焦半徑、直線夾角等問題，選項相關知識點錯綜復雜，“你”中有“我”，“我”中有“你”，相互之間聯系密切，同樣屬于多選題中的“盤根錯節”型試題。

3.“如出一轍”型。

例5：如圖2，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M、N為正方體的頂點，則滿足MN⊥OP的是（）。

圖2

本題引自2021年新高考數學Ⅱ卷第10題，以正方體為載體，考查異面直線垂直關系的判定。這類問題屬于“如出一轍”型：題目考查內容、條件或選項指向同一知識模塊，甚至是某一具體的知識點，只需通過精準定位即可完成題目解答，解題難度相對較低，試題區分度相對較小。再如2022年新高考數學Ⅱ卷的第12題：

例6：對實數x、y，滿足x2+y2-xy=1，則（）。

4.“殊途同歸”型。

例7：下列統計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是（）。

A.樣本x1，x2，…，xn的 標準差

B.樣本x1，x2，…，xn的 中位數

C.樣本x1，x2，…xn的 極差

D.樣本x1，x2，…xn的平均數

本題引自2021年新高考數學Ⅱ卷第9題，考查標準差、極差等兩個不同的指標均可以衡量樣本數據的離散程度。這類試題屬于“殊途同歸”型：題目是針對某一數學對象的一個屬性，設置不同角度的問題達到深度研究該數學對象的作用。再如2022年新高考數學Ⅱ卷的第11題：

例8：如圖3，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD,FB‖ED，AB=ED= 2FB， 記三棱錐E-ACD、F-ABC、F-ACE的體積分別為V1、V2、V3，則（）。

圖3

本題是通過分別求三棱錐E-ACD、F-ABC、F-ACE的體積，進而判斷1V、2V、3V的關系。其中三棱錐E-ACD、F-ABC的體積均可采用常規體積公式求解，而三棱錐F-ACE的體積則需要采用割補法求解。由此可見，該題目主要是通過幾個不同類型的幾何體，研究體積的不同求法，達到深度研究該知識點的目的，屬于多選題中的“殊途同歸”型試題。

5.“同源異流”型。

例9：已知直線l:ax+by-r2=0與圓C:x2+y2=r2，點A(a，b)，則下列說法正確的是（）。

A.若點A在圓C上，則直線l:與圓C相切

B.若點A在圓C內，則直線l:與圓C相離

C.若點A在圓C外，則直線l:與圓C相離

D.若點A在直線l:上，則直線l:與圓C相切

本題引自2021年新高考Ⅱ卷第11題，考查直線與圓的位置關系。這類問題屬于“同源異流”型：試題題設條件不確定，各選項分別展示不同條件下產生的相異結論。再如2020年新高考Ⅱ卷的第10題：

例10：已知曲線C:mx2+ny2=1，則（）。

A.若m＞n＞0，則C是橢圓，其焦點在y軸上

B.若m=n＞0，則C是圓，其半徑為

C.若mn＜0，則C是雙曲線，其漸近線方程為

D.若m=0，n＞0，則C是兩條直線

試題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區別是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養。屬于不同條件下產生不同的結論，是多選題中的“同源異流”型試題。

由此可見，多選題與單選題在命制上有頗多相通之處，也有較大的差異性。多選題的命制，無論是從試題立意、背景材料的選擇、情境任務的設置，還是選項的擬定，都是以落實高考評價體系、強化素養為指導，既考慮其功能性、基礎性、可行性，又關注試題的嚴謹性與科學性，充分發揮多選題區分度好的功能。

三、答題建議

多選題的設計一般突出一個主題，設置多個正確選項供考生選擇，具有知識容量大，涉及面廣，思路方法多，蘊含的數學思想比較豐富的特點，其解答方法上與解單選題有相通之處，也有區別。

1.延用單選解法尋突破。解答多選題既要用到常規題的解題方法，也要看到多選題的特殊性。跟單選題一樣，基本策略同樣是認真審題、深入細致分析、嚴密推演、謹防疏漏，做到“快狠準”。當然，解答單選題常用的直接法、排除法、特例法、逆推法、構造法、極限法、數形結合法等技巧同樣適用于多選題的解答。

例11：設正整數n=a0·20+a1·21+…+ak-1·2 2k-1+ak·2k，其 中ai∈ { 0，1}，記ω(n) =a0+a1+…+ak，則（）。

這是2021年新高考Ⅱ卷第12題，選取特殊值法：令n=1，則

顯然，ACD選項正確。利用特殊值法同樣可以實現化繁為簡，達到事半功倍的效果。

2.分析題設條件抓本質。解答多選題同樣需要認真分析題干提供的已知條件，尤其是找出隱含信息，抓住問題的本質，力爭“一招制敵”。不能僅僅看到表層信息就直接解答，更要避免小題大做，應根據題意選擇巧妙方法隨機應變地處理，多些角度去思考、探索，達到盡量少算，能不算就不算的高效目標。

例12：圖4是函數y= sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin (ωx+φ)=（）。

圖4

這是2020年新高考Ⅱ卷第11題：主要是考查函數y=Asin (ωx+φ)的圖像。通過所給圖像，易得最小正周期T=π，于是ω= 2，排除A選項，代入特殊點的坐標可知B選項正確。根據正、余弦曲線的關系，y=Acos(ωx+φ0)的圖像是由y=Asin (ωx+φ)的圖像通過平移得到，ωx+φ0與ωx+φ應是相差的奇數倍關系，故排除D選項，即C選項正確。顯然，充分理解正、余弦曲線的關系及解析式特點，抓住問題的本質，可以精準切入，提高解題效率。

3.依據個人能力定策略。從概率的角度來看，多選題得5分的概率較單選題有所降低，得2分的概率明顯加大。解題時考生可根據個人實際情況，準確定位得分目標。若部分選項無法確定正確與否,那就當作單選題來做，選擇一個自己拿得準的選項，不冒險搏5分，同時避免得0分的風險。而對于有一定把握的問題，可以采取“搏一搏”的積極策略，選擇多個選項爭取拿到5分。

四、教學啟示

1.整合新教材提高閱讀能力。新高考數學Ⅱ卷閱讀量較傳統高考試卷明顯增加，學生在文字、信息較多的多選題閱讀上存在障礙，提取信息能力不強，導致解題時間不足、效率不高。新形勢下，教師要利用新教材的特點，以教材中閱讀與思考、建模與探究活動等材料為載體，整合知識性、方法性、趣味性的閱讀材料，創設閱讀環境，加大對學生閱讀能力的培養。

2.重視傳統文化教育的價值。新高考數學Ⅱ卷試題更加密切地聯系現實社會，重視文化與數學相融、生活與數學相通，更加強調學生學以致用。數學教學要從聯系數學與生活上升到關注數學與社會、經濟、文化的關系，讓學生善用數學的眼光看世界。同時將數學文化引入課堂，以數學思想為脈絡，浸潤學生的數學欣賞能力，指向立德樹人的育人目標，提升理性思維與認知能力。

3.開展經典例題的課堂教學。開展多選題解題方法教學，引導學生站在命題老師的角度思考每一個問題，拓寬學生思考問題的視野，把思維引向更深處。比如如何命題？會選擇什么載體作為題設？選項如何設置？要考查什么能力和核心素養？同時多鼓勵學生揭示命題視角，進而嘗試命制多選題，提升解題的深刻性，讓解題做到有的放矢。

4.提升夯實“雙基”的解題效能。從多選題對知識方法的考查方面來看，多選題仍重視主干知識考查，體現基礎性、應用性，強化從學科整體高度考慮問題，因此做好多選題仍需夯實雙基。有效落實雙基的訓練，不是簡單地重復和記憶，而是要抓住本質認識知識體系，把模塊、主題、章節里的典型問題進行分類、歸納、綜合，收集豐富的課堂解題教學素材，提高訓練的針對性，提升多選題的解題教學效能。

5.建立體系實現關鍵能力提升。加強基礎知識和基本技能的訓練，不是簡單地重復訓練，而是深化認識，從本質上發現知識之間的關系和聯系，從而加以分析、整理、綜合，形成一個知識結構系統，使數學知識排列有序，相互關系清晰分明。因此在教學中，要加強圍繞教學內容，通過思維導圖、網絡圖、表格等工具，引領學生構建基礎知識框架，將基礎知識網絡化，關注學生語言表達準確化、分析問題程序化等方面的培養。

6.發展創新應用的數學能力。近三年的新高考Ⅱ卷試題更加強調能力立意，尤其是對多選題的設置提出了從問題切入，整體把握數學知識體系結構，用統一的數學思想組織材料的新要求。這就需要中學數學教師在課堂教學和解題訓練中重視培養、發展學生的數學能力，提高學生的創新意識和應用意識，在數學學習的過程中潛意識地培養學生的數學素養。