淺論數(shù)學(xué)“解題模型”教學(xué)四步驟
——以“十字架”模型為例

324400 浙江省龍游縣教育局教研室 徐偉建

324402 浙江省龍游縣小南海初中 余 昊

數(shù)學(xué)“解題模型”通常是指教師在解題教學(xué)中發(fā)現(xiàn)并總結(jié)出的一些結(jié)論性認(rèn)識(shí)，它表現(xiàn)為一種能有效解決某類(lèi)題型的技巧，是課標(biāo)、教材中知識(shí)的進(jìn)一步拓展、延伸或更加直觀的表述[1].數(shù)學(xué)“解題模型”往往是學(xué)生解題時(shí)聯(lián)想的“原型”，是探究問(wèn)題的固著點(diǎn)，它能夠啟迪解題方向，幫助學(xué)生形成良好的解題直覺(jué)，并實(shí)現(xiàn)解題經(jīng)驗(yàn)和方法的有效遷移.因此，在日常教學(xué)中，以“解題模型”的運(yùn)用進(jìn)行專(zhuān)題復(fù)習(xí)教學(xué)深受教師青睞.然而，筆者發(fā)現(xiàn)，“解題模型”教學(xué)中還存在著許多不足之處.例如，有的教學(xué)“掐頭去尾”，采用“模型+練習(xí)”的方式，缺少模型提煉與深度拓展的過(guò)程，不知模型從何而來(lái)，到何處去；有的模型呈現(xiàn)割裂單一，缺少系統(tǒng)架構(gòu)；有的模型運(yùn)用機(jī)械重復(fù)，問(wèn)題設(shè)計(jì)缺少層次感；還有的教學(xué)在模型運(yùn)用之后，缺乏思想方法的提煉滲透等.種種數(shù)學(xué)“解題模型”教學(xué)的誤區(qū)，使教學(xué)陷入“應(yīng)試教育”的泥淖.

那么，如何開(kāi)展數(shù)學(xué)“解題模型”教學(xué)呢？筆者以“十字架”模型的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，探討“解題模型”教學(xué)的四個(gè)步驟.

一、 模型提煉

數(shù)學(xué)“解題模型”是抽象的，而數(shù)學(xué)抽象需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、分析、概括等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng).數(shù)學(xué)概念的抽象需要經(jīng)歷上述過(guò)程，數(shù)學(xué)“解題模型”的形成也是如此.“解題模型”的提煉過(guò)程，就是探尋模型出處，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知模型結(jié)構(gòu)的過(guò)程.

圖1

問(wèn)題1已知：如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，AE⊥BF.求證：AE=BF.

問(wèn)題1為浙教版教材八年級(jí)下冊(cè)“5.3正方形(2)”中的習(xí)題(P.127第4題).將問(wèn)題1中的線段AE，BF位置進(jìn)行適當(dāng)平移，可得到如下問(wèn)題2、問(wèn)題3.

問(wèn)題2已知：如圖2，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，AB上的點(diǎn)，AE⊥GF.求證：AE=GF.

問(wèn)題3已知：如圖3，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別是BC，CD，AB，AD上的點(diǎn)，HE⊥GF.求證：HE=GF.

圖2圖3

解析：對(duì)于問(wèn)題1，可以直接判定Rt△ABE≌Rt△BCF，證得AE=BF.對(duì)于問(wèn)題2，添加一條輔助線，構(gòu)造Rt△GMF(如圖4所示)，則Rt△ABE≌Rt△GMF,結(jié)論得證，也可以平移GF，將問(wèn)題化歸到圖1解決.對(duì)于問(wèn)題3，添加兩條輔助線，構(gòu)造Rt△HNE和Rt△GMF(如圖5所示)，則Rt△HNE≌Rt△GMF,結(jié)論得證，也可以平移GF，HE，將問(wèn)題化歸到圖1解決.

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1源自教材習(xí)題，問(wèn)題2、問(wèn)題3是問(wèn)題1的變式.以教材習(xí)題及其變式題創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，有兩方面的意義：一是讓學(xué)生體會(huì)到“解題模型”根植于教材，探尋到模型的出處；二是為學(xué)生提供足夠數(shù)量的感知材料，便于學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)并提煉出“解題模型”.

圖4圖5

完成解題后，引導(dǎo)學(xué)生思考下列問(wèn)題.

思考題1觀察圖1-圖3，除了正方形之外，它們都有一個(gè)怎樣的模型結(jié)構(gòu)？

思考題2該模型需要具備的條件是什么？結(jié)論又是什么？

思考題3證明結(jié)論的方法是什么？

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)三道思考題，重在讓學(xué)生經(jīng)歷模型的提煉過(guò)程.思考題1引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較、分析圖1-圖3的基礎(chǔ)上,形象地感知解題模型——“十字架”模型.思考題2引導(dǎo)學(xué)生尋找模型具備的條件，即兩條線段互相垂直，且垂線段的端點(diǎn)分別在正方形的兩組對(duì)邊上；結(jié)論是這兩條垂線段相等.思考題3證明結(jié)論的方法是借助正方形的邊和角構(gòu)造出全等的直角三角形，再運(yùn)用全等三角形性質(zhì)得到.通過(guò)以上問(wèn)題的探究，促進(jìn)學(xué)生加深對(duì)模型結(jié)構(gòu)的認(rèn)知，為模型的遷移運(yùn)用奠定基礎(chǔ).

典型的“解題模型”通常來(lái)源于教材，它是教材知識(shí)的拓展延伸.為此，情境問(wèn)題應(yīng)源自教材中的例題、習(xí)題，這能讓學(xué)生體會(huì)到模型存在的重要基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注教材.模型提煉還應(yīng)在預(yù)設(shè)或生成問(wèn)題的啟發(fā)引導(dǎo)下，讓學(xué)生自主探究，發(fā)現(xiàn)、提煉模型，辨析模型條件，獲得模型結(jié)論，掌握證明結(jié)論的原理或方法，這些都是模型運(yùn)用與拓展的前提.因此，“解題模型”教學(xué)不能忽視模型的提煉過(guò)程.

二、 模型演變

在“解題模型”教學(xué)中，應(yīng)該系統(tǒng)地、聯(lián)系地看待“解題模型”.在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)進(jìn)行如下思考：還有沒(méi)有其他模型可通過(guò)該模型演變得到？它們之間存在怎樣的聯(lián)系？變式模型是否也存在著廣泛的運(yùn)用？經(jīng)過(guò)深入思考，系統(tǒng)地梳理模型及其變式，讓學(xué)生從整體上架構(gòu)起模型體系.例如，通過(guò)梳理發(fā)現(xiàn)，除了運(yùn)用于正方形背景中，“十字架”模型在矩形背景中同樣有著廣泛運(yùn)用，自然就得到如下的演變模型.

圖6圖7

思考：請(qǐng)你比較矩形和正方形背景中“十字架”模型的條件、結(jié)論和證明結(jié)論的方法，它們有何區(qū)別與聯(lián)系？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}4使模型的背景由正方形變成了矩形.通過(guò)解題后的思考，學(xué)生進(jìn)一步明確在矩形背景中，該模型的條件是兩條線段互相垂直(即EF⊥GH)，且垂線段的端點(diǎn)分別在矩形的兩組對(duì)邊上；結(jié)論是這兩條垂線段與矩形的邊長(zhǎng)對(duì)應(yīng)成比例；解題的基本方法是借助矩形的邊和角構(gòu)造出相似直角三角形，再運(yùn)用相似三角形性質(zhì)解題.

三、 模型運(yùn)用

心理學(xué)研究表明，數(shù)學(xué)模型在獲得后若不能得到及時(shí)鞏固與內(nèi)化就會(huì)被遺忘，因此，運(yùn)用、鞏固模型是十分重要的環(huán)節(jié).模型的運(yùn)用應(yīng)遵循知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的邏輯鏈條，由淺入深、層層遞進(jìn)設(shè)計(jì).通過(guò)模型運(yùn)用環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生識(shí)別模型，運(yùn)用模型的基本結(jié)論和方法解決新問(wèn)題，達(dá)到學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)有效遷移的功效.

問(wèn)題5已知：如圖8，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是BC，AB上的點(diǎn)，且CF⊥DE，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥DE，使得EG=DE，聯(lián)結(jié)FG.試判斷FG與CE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖8

解析：FG∥CE，F(xiàn)G=CE.

理由：根據(jù)正方形中的“十字架”模型，可得DE=CF，因?yàn)镋G=DE，DE=CF，所以EG=CF;因?yàn)镋G⊥DE,CF⊥DE，所以EG∥CF.因此，四邊形ECFG是平行四邊形，得到FG∥CE，F(xiàn)G=CE.

圖9

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}5有一定的綜合性，學(xué)生既要識(shí)別正方形背景中的“十字架”模型，運(yùn)用其結(jié)論和方法，也要結(jié)合平行四邊形判定與性質(zhì)解決問(wèn)題.問(wèn)題6在矩形背景中增加模型個(gè)數(shù)，圖形看似復(fù)雜，但若能識(shí)別模型，并兩次運(yùn)用模型結(jié)論，再進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，問(wèn)題不難解決.問(wèn)題5、問(wèn)題6將完整的“十字架”模型置于較復(fù)雜的圖形中，增強(qiáng)學(xué)生識(shí)別、運(yùn)用模型的能力.

四、 模型拓展

數(shù)學(xué)“解題模型”的運(yùn)用不僅局限于模型的直接運(yùn)用，還需要適度拓展，通過(guò)模型拓展運(yùn)用，拓寬學(xué)生視野，發(fā)展學(xué)生思維，滲透化歸等數(shù)學(xué)思想方法.模型的拓展運(yùn)用，通常可采用“虛化”模型結(jié)構(gòu)或者“弱化”模型背景等策略，化“全模”為“半模”，引導(dǎo)學(xué)生以模型為固著點(diǎn)，展開(kāi)積極的聯(lián)想，找到解題方向，使問(wèn)題化生為熟、化難為易，從而達(dá)到從運(yùn)用模型向構(gòu)建模型的跨越.

問(wèn)題7如圖10，將邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD折疊，使得點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F在AD邊上，求折痕FG的長(zhǎng)度.

圖10圖11

圖12圖13

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)于問(wèn)題7，直接求出折痕FG的長(zhǎng)度比較繁瑣，通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，線段GF的兩個(gè)端點(diǎn)在正方形的一組對(duì)邊BC，AD上，如果另外有一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在另一組對(duì)邊上，且與GF垂直，就可以利用“十字架”模型解決問(wèn)題，這就為解題提供了聯(lián)想的方向.依據(jù)圖形折疊性質(zhì)，聯(lián)結(jié)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A，E，隱藏的“十字架”模型即浮出水面(如圖11所示)，問(wèn)題迎刃而解.問(wèn)題8雖然具有完整的“十字架”(AM⊥DN)，但垂線段AM，DN的端點(diǎn)并不滿(mǎn)足在矩形的兩組對(duì)邊上，觀察圖形特點(diǎn)，借助∠ABC=90°，通過(guò)添加輔助線構(gòu)造出矩形背景(如圖13所示)，此時(shí)，頓有一種豁然開(kāi)朗的感覺(jué).對(duì)于模型的拓展運(yùn)用不能停留在解決問(wèn)題的層面，還需要適時(shí)反思，感悟其中的數(shù)學(xué)思想方法.例如，解題后引導(dǎo)學(xué)生再思考以下問(wèn)題：你為什么會(huì)聯(lián)想到“十字架”模型？你是怎樣轉(zhuǎn)化到“十字架”模型的？在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，你運(yùn)用了什么數(shù)學(xué)思想方法？在反思感悟的過(guò)程中，學(xué)生自然能深刻感受到化歸、類(lèi)比等數(shù)學(xué)思想方法的神奇力量，也實(shí)現(xiàn)了知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的有效遷移.

“解題模型”的拓展運(yùn)用關(guān)鍵在于問(wèn)題的設(shè)計(jì)，問(wèn)題既要有層次性，避免機(jī)械重復(fù)地講解與練習(xí)，也要有適切性.問(wèn)題并非越難越好，好的拓展題應(yīng)讓學(xué)生從題意中聯(lián)想到“解題模型”，啟迪解題方向，形成解題思路，讓學(xué)生體會(huì)到“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”的成就感和愉悅感.這樣的拓展運(yùn)用既能起到固本的功效，讓學(xué)生體驗(yàn)到模型學(xué)習(xí)的意義，又能幫助學(xué)生積累聯(lián)想經(jīng)驗(yàn)，提高解題能力，發(fā)展學(xué)生思維水平.

五、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)“解題模型”的教學(xué)要讓學(xué)生經(jīng)歷“模型提煉、演變、運(yùn)用、拓展”這一完整的學(xué)習(xí)過(guò)程，在過(guò)程中讓學(xué)生探尋模型出處，認(rèn)知模型結(jié)構(gòu)，架構(gòu)模型體系，實(shí)現(xiàn)從識(shí)別模型到構(gòu)建模型的提升；“解題模型”教學(xué)既要注重模型基本結(jié)論的運(yùn)用，也要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉與滲透，這樣才能發(fā)揮“解題模型”教學(xué)的更大價(jià)值.