基于“問題鏈”的數學探究教學的設計和思考
——以“用向量法研究三角形的性質”為例

310012 浙江省杭州學軍中學 張春杰

數學探究活動是運用數學知識解決數學問題的重要的實踐活動，是高中數學新課程的主線之一[1].“用向量法研究三角形的性質”是人教A版新教材中的一個數學探究活動.杭州市以“用向量法研究三角形的性質”為活動主題，組織了一場青年教師課堂教學評比活動，筆者全程觀摩了此活動，并進行了教學設計和思考，現對其展開論述.

一、 內容和內容解析

(一)內容：用向量法研究三角形的性質

本單元內容分為三個課時.

第1課時，回顧初中學習的三角形性質，并從幾何的角度進行研究方法的再總結.

第2課時，梳理向量法的三部曲，并以三角形的重心性質研究為例，進行傳統法和向量法的對比研究.

第3課時，用向量法研究三角形外心、重心、內心和其他幾何性質.

(二)內容解析

向量兼具幾何和代數的特征，是溝通幾何和代數的橋梁，向量單元的教學任務是理解向量語言和通過向量法解決幾何問題.三角形是幾何中最簡單、最常見的平面圖形，學生通過向量法解決三角形問題，感悟向量法的特點、便捷性和力量.

通過證明與幾何法的對比，提煉向量法研究平面幾何問題的研究架構：首先，用幾何的眼光觀察性質；其次，用向量(數)表示三角形(形)性質；第三，幾何性質的向量運算(數)；最后，通過向量運算研究三角形的性質[2].通過向量運算研究圖形性質是方法和策略的提升，開辟了一條新的運算推理之路.

向量法是直觀想象、邏輯推理和數學運算的聚焦點，蘊含豐富的數學思想.這就需要教師從整體的高度進行設計，通過巧妙的數學情境和問題引領學生進行探究，在數學探究的過程中養成獨立思考、交流合作的習慣,培養探索精神,體驗成功的樂趣.

(三)教學重點

用向量方法研究三角形性質的三部曲.

二、 目標和目標解析

(一)單元目標

1.會用幾何的眼光觀察圖形，能用向量及其運算刻畫平面幾何中元素的關系.

2.能用向量法證明三角形的有關性質,掌握用向量法研究幾何問題的基本策略.

3.通過探究三角形的“新”性質,體驗數學探究的過程和方法,體會向量法開辟了一條新的運算推理之路.

(二)目標解析

1.能用向量的運算刻畫幾何圖形中的平移、共線、垂直、相似、距離、角度等.

2.能用向量法研究三角形的有關性質，掌握用向量法研究幾何問題的三部曲.第一步,幾何問題向量化；第二步，向量的代數運算；第三步,向量表達為幾何問題.

3.掌握向量法研究三角形的方法，并繼續探究三角形的“新”性質，提升獨立進行課題研究的能力.

三、 教學問題診斷分析

(一)問題診斷

首先，學生對課題和項目研究比較陌生.《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》對于數學探究活動的描述是：圍繞某個具體的數學問題開展課題研究，并實現解決問題的過程.教材建議以課題研究的形式展開，課題研究包含四個環節：選題、開題、做題和解題.但是學生進行課題研究的經驗略有欠缺，為指導學生更好地進行課題形式的探究活動，教師應該積極參與到學生的課題研究進程中，給予適當的指導.

其次，學生認為向量法就是坐標法.向量兼具數、形于一身，對向量及其運算不能狹隘地進行理解，教學中要強化向量法是“代數運算”和“圖形運算”的結合.向量法是利用運算律，通過向量運算解決幾何問題，不能簡單理解為坐標的代數運算.這一點在教學中要重點凸顯出來.

(二)教學難點

如何合理地將三角形的幾何性質轉化為向量運算.

四、 教學支持條件分析

(一)對本單元三個課時的教學進行適當安排

對于本單元三個課時的數學探究活動，考慮到教學的時間和學生的情況，可以采取第1課時先從宏觀層面引導學生回顧、梳理初中幾何問題的研究方法和研究結論，并以研究報告的形式交流；第2課時以三角形的重心為對象展開研究，探索重心的幾何性質，并從幾何和向量兩個維度進行研究、對比；第3課時可以采用指定幾個研究課題(如將學生分為外心組、內心組和垂心組等)分別展開研究，撰寫研究報告，課堂上進行互動交流.第2課時和第3課時的間隔時間應盡可能長，以便學生有充足的時間進行研究.

(二)技術條件

教師可以對學生進行“幾何畫板”等幾何軟件使用的培訓,為新性質探究提供幫助.

五、 課時教學設計

用向量法研究三角形的性質(第2課時)

(一)課時教學內容

三角形重心性質的研究.

(二)課時教學目標

1．通過從幾何角度觀察圖形，體會幾何圖形的本質特征.

2．通過將幾何性質轉化為向量的運算，掌握向量垂直、共線等運算特征.

3．通過研究解決重心的性質問題，掌握向量法解決問題的三部曲.

(三)教學重點和難點

教學重點：向量法研究問題的三部曲.

教學難點：幾何問題如何轉為為合適的向量問題.

(四)教學過程設計

環節1創設問題情境

問題1三角形的重心是怎么定義的？

追問1物理上的重心是怎么定義的？

追問2三角形的中線一定交于一點嗎？

師生活動:在提出問題1后，學生思考，教師巡視，學生回答并總結，剖析定義.

設計意圖：引導學生回顧重心的定義，激發思維的起點.重心是經常被使用的概念，通過回顧這個概念是如何定義的，三角形的三線是否一定共點，學生回到思維的起點，為接下來的研究做好鋪墊.

環節2從幾何角度研究

問題2如何從幾何角度對三角形三條中線交于一點進行證明？

追問1一般證明三角形三線共點有什么樣的策略？

追問2你能給出證明的方法嗎？

師生活動:在第1課時已經回顧并梳理了初中研究三角形的方法，可以提前把學生分為若干組，進行相關問題的探討，這里教師引領學生再思考、再梳理、再研究，然后學生匯報證明的思路和過程.

設計意圖：在定義出現認知沖突后，很自然地需要進行分析解決.對于解決什么和如何解決，教師引領學生進行分析.這是一個學生已有的知識結構能夠解決的問題，可以放手給學生，通過小組合作、組長匯報，學生經歷發生、發展和解決的過程.通過知識的梳理、方法的整合、思想的碰撞，學生在用幾何法解決三條中線共點的過程中，對重心性質的認識進一步提升.

環節3從向量角度研究

問題3從向量的角度能進行證明嗎？

追問1用向量法證明幾何問題的步驟是什么？

追問2從向量的角度證明三線共點的策略是什么？

追問3你能給出詳細的證明嗎？

師生活動:將問題拋給學生，學生分組思考、討論和完善；教師巡視、指導，參與學生的研究過程，然后讓學生以組為單位進行匯報交流，在匯報交流完畢后，其他學生可以進行提問.

設計意圖：雖然用幾何法解決幾何問題看起來比較簡潔，但是不容易展開思考，如三角形三條中線交于一點的證明需要添加輔助線，要求有很強的邏輯思維能力.向量法開辟了一種證明幾何問題的新思路，用它解決一些幾何問題(垂直、平行等)比較方便.

環節4繼續重心性質的研究

問題4重心還有哪些性質？

追問1如何從向量的角度表達？

追問2如何用向量法進行證明？

師生活動:仍然將問題拋給學生，學生分組進行研究、討論，教師作為指導者和參與者，學生派代表分組匯報，各個小組交流匯報.

設計意圖：之前重點解決的是重心存在的問題，接下來讓學生從橫向視野進行探究.既然是中線的交點，有中點存在，可以延伸出哪些性質？培養學生感知、猜想和證明的能力.

環節5課堂小結

問題5請你帶著下面的問題對本節課進行小結.

(1)幾何法和向量法各有哪些特點？

(2)解決向量問題的步驟有哪些？

(3)用向量法解決問題的關鍵點在哪里？

師生活動:給學生時間思考、梳理和回顧，小組內部先進行交流，然后小組派代表發言，在學生發言的基礎上，教師進行點評和總結.

設計意圖：通過問題引導學生對知識、方法和思想進行結構化梳理，反思解決問題的方法和策略，體會問題本身蘊含的數學思想，不僅有助于提升學生對問題本質的認識，也有助于學生養成善于反思、勤于反思的習慣.

環節6課外課題研究

問題6請你在課后圍繞下面幾個問題從向量的角度加以研究，并撰寫小論文.

(1)三角形的外心怎么定義？有哪些性質？

(2)三角形的內心怎么定義？有哪些性質？

(3)三角形的垂心怎么定義？有哪些性質？

(4)三角形的旁心怎么定義？有哪些性質？

(5)對于三角形，你還能發現哪些性質？

設計意圖：問題是課堂教學的心臟，讓學生帶著問題走進課堂，在問題的解決中體會數學探究的策略和方法，并將課堂中掌握的解決問題方法應用于課堂外新的問題解決中.課堂教學的核心在于培養學生獨立思考和研究問題的策略，提升研究問題的能力，培養學生的數學核心素養.

六、 教學設計說明和思考

(一)數學探究活動應凸顯單元整體設計

“用向量研究三角形的性質”是數學探究課，共三個課時.需要對這三個課時進行整體的教學設計，不能將其割裂開來，要凸顯知識的一致性和思想的連貫性，通過數學知識發生、發展過程和學生思維過程兩方面的融合來構建.從知識方法的層面來說，重點強化向量法解決幾何問題；從思想層面來說，凸顯幾何問題如何轉為合適的向量問題，如何進行課題研究.數學探究活動不僅是一次課題形式的學習，更重要的是培養學生獨立研究問題的能力.

(二)單元課時設計時應凸顯問題鏈設計主線

章建躍博士指出，教學設計要以“問題鏈”的形式呈現，“問題鏈”構成課時的教學主線[3].“問題鏈”的設計要具有適切性，能對學生理解概念、形成技能和領悟思想有推動作用，要能夠激發學生探究的熱情，推動學生主動進行研究.

本課時設計從重心的定義(為何三角形三條中線交于一點)出發，讓學生的思維回到研究的起點(這樣定義重心可行嗎),自然著手解決三條中線交于一點的問題，然后拋出環環相扣的問題.你能從幾何角度進行研究嗎？有幾種方法？能用向量法證明嗎？用向量法解決的步驟是什么？有幾種方法？向量法和幾何法各有什么特點？這些問題層層深入，一步一步地激發學生的探究欲望，學生在解決問題過程中體驗探究的思路和方法，為接下來的研究搭建平臺.“三角形外心等如何定義？有哪些性質？”“請從向量法的角度研究，并撰寫小論文，后期進行交流匯報”引導學生以小組為單位進行課后研究，真正形成大課堂的理念，培養學生獨立進行研究的能力.

(三)教學設計應凸顯數學育人的價值理念

整個教學設計過程中，學生的主體地位要凸顯出來[4].考慮到教學的實際情況，教師要適當參與和設計一些問題，讓學生避免走過多的冤枉路，以便有更多精力進行小組合作，選擇研究手段和方法，體驗研究新問題的思路和方法，讓學生經歷知識發生、發展和形成的過程.重心存在問題的順利解決也提升了學生的深度學習能力，促使學生在批判中思維，在思維中成長.在完整體驗向量解決問題的一般過程后，學生再獨立地進行深層次(重心的其他性質)和更廣范圍(外心等)的研究，改變了教學過程中教師主導課堂的局面，使學生真正成為探究的主體，凸顯育人的教學理念.