主體間性理論下的教學與思考*
——以蘇科版“一次函數的圖像(1)”為例

215600 江蘇省張家港市實驗學校(籌建) 張 林

主體間性又稱交互主體性、共主體性等，是現代西方哲學的一個核心概念.主體間性教育理論認為教師和學生都是教學活動的主體，教學資源是教學活動的客體，倡導教師、學生、教學資源等教育主客體之間的互動交往行為，構建“主體中介客體主體”的教學關系[1].教育部最新修訂的《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱“新課標”)指出：“有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體， 教師是學習的組織者、引導者與合作者.”[2]由此可以發現，主體間性教育理論思想和新課標具有一致性.教師不僅要明確教學內容，更要懂得如何組織、引導學生學習，教學不再是單向的“我教你學”活動，而是在師生相互理解、雙向互動、主動對話、平等和諧的交往中，共同對中介客體進行研究和學習的合作活動.筆者以在蘇州市名師共同體活動中開設的蘇科版教材數學八年級上冊“一次函數的圖像(1)”的公開課教學為例，闡述主體間性理論下的教學實踐與思考.

1 教學分析

1.1 問題梳理

在平時的教學觀察和文獻研讀中，筆者發現“一次函數的圖像(1)”教學中存在以下問題.一是教學功利化，忽視教學過程，缺乏平等互動，將基本技能的掌握作為重要的教學目標，急于求成，探究活動流于形式，往往只關注學生是否掌握畫一次函數圖像的方法.二是生長性不足，知識的生成、生長不夠自然，例如未明確為什么要畫圖像，為什么要列表，點從何來，為什么要連線，如何連線，直線還是曲線，如何說明一次函數的圖像是一條直線等問題.三是關聯性不足，教學的起點把握不準，即知識的本源定位不精準，割裂了前后知識間的延續性和關聯性，使教學引入環節顯得突兀[3].

1.2 學材研讀

新課標中對一次函數圖像的教學要求是：“能畫一次函數的圖像，根據圖像和表達式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k<0時，圖像的變化情況”[2].“6.3 一次函數的圖像(1)”主要設置了以下教學內容.一是現實情境，呈現熏香燃燒的圖片、待填寫的表格、平面直角坐標系，提出五點是否共線的問題；二是知識生成，明確列表、描點、連線三個畫圖像的一般步驟，初步感受一次函數y=2x+1的圖像畫法及特征；三是畫法遷移，用上面的方法畫出一次函數y=-x+2的圖像，確定一次函數的圖像是一條直線；四是畫法優化，將一般畫法優化為“兩點法”，用“兩點法”畫一次函數y=-3x+3的圖像；五是練習鞏固，畫出一次函數的圖像并判斷點是否在函數圖像上[4]，初步體悟兩直線的位置和數量關系.從課程目標看，本節課的教學核心是能畫出一次函數的圖像，教材提供的情境包括現實情境和數學情境，教師應基于學生的認知基礎，合理做出取舍或整合，以發揮學材的教學功能.

1.3 認知基礎

在本課學習前，學生已經學習了平面直角坐標系(知道在平面直角坐標系中用有序實數對描述點的位置及其變化趨勢)、函數、函數的圖像、一次函數等知識，初步了解函數的三種表達形式，了解函數圖像的現實意義，為本節課一次函數的圖像學習奠定基礎.學生存在的認知障礙主要是對函數關系式與函數圖像之間的關系認識尚淺，尚未有過畫函數圖像的經歷，正確畫出函數圖像存在一定的困難.

1.4 教學目標

經歷一次函數圖像的生成過程，掌握畫一次函數圖像的一般步驟并能畫出圖像；理解一次函數的圖像是一條直線；會選取兩個適當的點畫出一次函數的圖像.

2 教學設計

2.1 先行組織

問題1填空：

(1)一次函數的表達式為________，正比例函數的表達式為________；(2)在平面直角坐標系中，以函數的________的值為橫坐標、對應的________為縱坐標的________所組成的圖形叫做這個函數的________.

教學說明：心理學家奧蘇貝爾指出，“影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么，我們應當根據學生已有的知識經驗去進行教學”.“函數的圖像”概念是本節課教學的出發點和生長點，是學生認知經驗的核心內容.學生只有理解了函數圖像的概念，才能理解一次函數圖像的來龍去脈，也就說清楚了一次函數圖像從何而來的問題.

2.2 概念引思

問題2(1)根據函數的圖像定義，你知道如何畫函數的圖像嗎？(2)關于一次函數的圖像，請你試著提出一些待研究的問題.

教學說明：基于“函數的圖像”的概念理解，引發學生學前先思，在搞清楚函數圖像的基礎上，獲得一定的認知經驗，為一次函數圖像的學習做好鋪墊.小問(2)設計開放性問題，驅動學生思考并提出一些有意義的問題，如“一次函數的圖像是什么？怎樣畫一次函數的圖像？為什么學習一次函數的圖像？”等，讓學生帶著這些疑問開啟新課的學習，既激發學生的求知欲，又培養學生的問題意識.

2.3 建立模型

問題3點燃一支香(如圖1所示)，觀察它的長度隨時間的變化情況.

(1)圖片給出了幾個燃燒時間？分別是多少？填入表1.

表1

(2)這支香沒點燃前有多長？點燃5分鐘后是多少？10分鐘呢？填入表1.

(3)從表格中你能發現香的燃燒有什么規律嗎？

(4)設香的長度為y(cm)，燃燒時間x(min)，你能寫出y與x之間的函數表達式嗎？這是什么函數？

(5)依次聯結圖1中香的頂端，你有什么發現？

教學說明：通過情境創設和問題探索，幫助學生深入理解圖片隱含的豐富內容.將同一支香同時顯示在不同位置，表示隨著時間的增加香的長度在縮短，通過依次聯結圖片中香的頂端，直觀感受一次函數的圖像是一條直線.讓學生寫出y與x的函數表達式，從而獲得一次函數模型，為學生用平面直角坐標系將實際問題數學化、在數學內部進行模型探究做好鋪墊.

2.4 模型探究

問題4你能用平面直角坐標系(如圖2所示)將圖1所揭示的信息及你的發現告訴大家嗎？

(1)怎樣建立平面直角坐標系？

(2)你準備描出哪些點？

(3)觀察這些點的位置，你有什么發現？

(4)你能再自行描出一個符合題意的點嗎？這個點的坐標怎么求？

(5)觀察這個點的位置，你又有什么發現？

(6)如果再繼續描出符合題意的點，猜想會是什么情況.

(7)猜想一次函數圖像的形狀是怎樣的.

教學說明：通過建立平面直角坐標系將實際問題數學化，將一次函數表達式進行“圖形化”表達，引導學生經歷“描點→連線→觀察→歸納→猜想”的過程.學生第一次的觀察和發現是基于小問(2)描出的五個點，而第二次的觀察和發現是基于小問(4)自行描出的一個點，并通過小問(6)的追問，為學生猜想一次函數的圖像是一條直線增加了認知的可信度，減少了內心的疑惑.

2.5 畫法遷移

例1按下列步驟，在平面直角坐標系中畫一次函數y=2x+1的圖像.

(1)列表:恰當地選取自變量x的幾個值，計算函數y對應的值.(如表2所示)

表2

(2)描點:以表中各對x，y的值為點的坐標，在平面直角坐標系中描出相應的點.

(3)連線:順次聯結描出的各點，得到該函數的圖像.

教學說明：(1)列表前，再次回顧函數圖像的定義，讓學生明確要畫一次函數的圖像，必須先描點，而要描點，又必須先確定點的坐標.點的坐標如何確定？以自變量x的值為橫坐標、相應的函數值y為縱坐標來確定.(2)列表時，引導學生明確如何列表，自變量x的值如何選取才恰當，函數y的值如何確定.(3)描點時，引導學生明確如何建立平面直角坐標系，描的是哪幾個點.(4)連線時，提問“為什么要連線？怎樣連線？”引導學生明確列表時只恰當地選取了自變量x的五個值，從而只描出了其中的五個點，事實上該函數的自變量x可以取任何實數，從而滿足該函數的點有無數個，根據線是由點形成的，連線其實就是補描出無數個滿足該函數的點.

2.6 實踐體悟

練習2點(-2，1)，(0.5，3)，(4，0)在上面所畫的圖像上嗎？為什么？

教學說明：(1)通過練習1，學生進一步掌握畫一次函數圖像的基本步驟和方法，并再次感知一次函數的圖像是一條直線.實際上，這個事實已經被人們所證實.由此得到①一次函數y=kx+b(k，b為常數，k≠0)的圖像是一條直線；②一次函數y=kx+b(k，b為常數，k≠0)的圖像也稱為直線y=kx+b(k，b為常數，k≠0).(2)通過練習2，學生掌握兩種判斷方法，即①從表達式(數)上判斷，②從圖像(形)上判斷；并從中得到函數的表達式(數)與圖像(形)之間的關系，一是滿足函數表達式的每一對x，y的值所確定的點都在圖像上，二是圖像上每一點的橫坐標x、縱坐標y都滿足函數表達式.

2.7 畫法優化

問題5既然一次函數的圖像是一條直線，那么有沒有簡單的畫法？能否用更少的點來畫呢？

追問1那么選取哪兩個點呢？

追問2如何求直線與坐標軸的兩個交點坐標？

追問3選直線與坐標軸的兩個交點一定是最恰當的嗎？

例2在平面直角坐標系中畫一次函數y=-3x+3的圖像.

練習3在平面直角坐標系中畫一次函數y=16-0.8x和y=2x的圖像.

教學說明：通過問題5引導學生理解“兩點法”的數學原理.通過追問1，學生觀察之前畫的兩個一次函數圖像，充分討論與交流，明確通常選取“直線與坐標軸的兩個交點”更加方便、準確，效果更好.通過追問3引導學生思考如何確定“恰當的兩點”.通過例2和練習3，學生掌握“兩點法”的畫圖方法.

2.8 回歸現實

練習4前面已求得香的長度y(cm)與燃燒時間x(min)之間的函數表達式為y=16-0.8x(0≤x≤20)，請畫出其圖像，并觀察其特征，用數學語言描述.

教學說明：使學生感受一次函數是刻畫現實世界的有效模型，一次函數的圖像是對函數變化規律的直觀表達，自變量和因變量的取值受實際問題的限制，圖像是直線的一部分(線段).

2.9 總結感悟

問題6本節課研究了哪些問題？需要注意哪些問題？還有哪些需要進一步研究的問題？

教學說明：以“問題”作為課堂梳理總結的載體，引導學生再學習、再探究、再思悟，培養學生發現和提出問題、分析和解決問題的能力，給學生一個充分展示自我的平臺，學生的認識會有質的飛躍.

3 教學思考

3.1 創設引起學生好奇的現實情境，激發學生的學習動機

主體間性理論認為，教師和學生作為獨特的精神整體在相互作用中形成主體性關系即主體間性，師生誰也不是客體，教師和學生始終是主體，誰也不能控制誰或者強行把意志、意見加于另一方.這就需要教師能靈活利用教材(客體)，把教材的內容轉化到現實情境和日常生活中，從而更好地抽象出數學問題，吸引學生的注意力，激發學生的求知欲，提升學生的生活經驗，讓學生看到數學的內在本質和自身魅力.新課標也指出：“數學教學要強化情境設計與問題提出，發揮情境設計對學生主動參與教學活動的促進作用，使學生在活動中逐步發展核心素養.”[2]例如，本課例以現實生活中點燃一支香為情境，觀察香的長度隨時間變化的方式，使抽象的函數知識以具體直觀的形象呈現.這樣的情境有利于調動學生的學習興趣，促進學生自覺主動地將現實問題引入到數學內部進行探究和求解，學會用數學的眼光觀察現實世界.

3.2 引導學生探索知識的來龍去脈，落實學生的主體地位

主體間性理論認為，教育就是主體間指導學習，教師要充分肯定學生在教學活動中的主體價值和地位，站在與學生平等的角度想學生所想、講學生所需，全局把握、主體引導，師生主體間相互作用和影響，共同交流、探討知識客體.新課標也指出：“數學新知識的學習要注重來龍去脈，要展現‘知識背景→知識形成→揭示聯系’的過程，讓學生經歷數學觀察、數學思考、數學表達、概括歸納、遷移運用等學習過程.”[2]這就要求教師為學生提供充分的思考空間，營造“平等的對話交往、合作的探究學習”課堂氛圍，增強學生的學習體驗，積累基本活動經驗.例如，本課例就知識生成而言，“函數→橫坐標、縱坐標→點→集合→圖形→圖像”的認知經驗的調取與遷移是知識生成的關鍵，為師生共同經歷“一次函數表達式→列表(橫、縱坐標)→描點→連線(集合)→圖像”的探究路徑提供重要經驗.整個探究活動充分展現師生多元對話互動，遵循從具體到抽象、從特殊到一般的原則，體現數學知識之間的內在邏輯關系，使學生能夠從中了解一次函數圖像的產生與來源、結構與關聯、價值與意義.

3.3 設計引發學生思考的合理問題，培養學生的思維能力

主體間性理論認為，教學不是單向的“我教你學”的教學關系，而是師生主體間的相互理解和共同認識，是師生不同主體取得共識，通過共識表現的一致性.而師生主體間取得共識的數學教學過程，從本質上來說是教師促進學生思維發展、人格完善的過程，促進學生思維發展的重要載體是“問題”，有了問題，學生就有了思考、討論和展示的機會.新課標也指出：數學教學要重視設計合理問題.問題的設置要有利于考查對數學概念、性質、關系、規律的理解、表達和應用，注重考查學生的思維過程，避免死記硬背、機械刷題.”[2]因此，教師在教學中可以提出能引發學生思考的數學問題，激起學生認知沖突，促進學生積極探究，同時也可以引導學生提出合理問題，培養學生會用數學的思維思考現實世界，增強學生認識真實世界、解決真實問題的能力.例如，本課例中的教學活動始終圍繞問題展開，其中“如何列表？表中x值如何選取？”“怎樣描點？描多少個點？”“為什么要連線？怎樣連線？”等問題很有挑戰性，極大地調動了學生的探究熱情，激發了學生的思維活力，讓學生從“知其然”到“知其所以然”“知何由以知其所以然”.再如，在“概念引思”和“總結感悟”環節中，教師鼓勵學生質疑問難，敢于提出問題、發表自己的觀點，培養學生的問題意識和創新意識，喚起學生的內驅力，讓數學思考更具主動、數學思維更有深度.

3.4 幫助學生感悟數學思想方法，發展學生的核心素養

主體間性理論認為，主體間性教育就是師生主體之間的一種共享，共享知識、智慧等，共享主體間一切精神上的東西.新課標也指出：“義務教育數學課程應使學生通過數學的學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養.”[2]因此，在數學教學中，教師不僅要促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能，還要讓學生體會和運用數學的思想與方法，獲得數學的基本活動經驗，形成積極的情感、態度和價值觀，逐步形成核心素養.例如，本課例在“先行組織”環節，通過復習一次函數的表達式和函數的圖像，借助華羅庚的名言“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休”引入一次函數的圖像；“實踐體悟”環節中，通過練習2教會學生不僅應從圖像上看問題，還要從函數表達式上看問題；對于一次函數，從列表到描點，從函數表達式到直線圖像，這些都充分體現和應用了“數形結合”的思想.又如在“模型探究”環節，通過描出幾個點的位置，猜想所有點的位置；通過先畫出從情境中抽象出的一個一次函數圖像進行猜想，再畫出例題、習題中的幾個不同的一次函數圖像進行驗證，然后歸納得出所有一次函數圖像是一條直線的普遍結論，學生理解函數圖像與表達式的對應關系，增強幾何直觀，提升觀察、比較、抽象和概括的能力，發揮數學學科的育人價值，促進學生核心素養的發展.