巧妙利用統計與概率的關系提升學生數學核心素養
——以一堂“超幾何分布”課程設計為例

200231 上海市上海中學 劉 琴 劉 姍

學科核心素養是育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力.《普通高中數學課程標準》指出，數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.

面對最基礎的數學課堂教學，教師一直在探索如何在課程設計中體現數學核心素養，讓學生通過課程的學習學會在情境中抽象出數學概念,學會利用現代科技模擬數學問題，提升對數學問題的理解,積累依托數據探索事物本質、關聯和規律的活動經驗,形成規范化思考問題的品質,養成嚴謹求實的科學精神.

筆者以一節超幾何分布課的課程設計為例，探討數學核心素養在課堂中的體現.

一、 情境問題

用熟悉的情境引入超幾何分布這個學生相識卻不相知的分布.

某商場為了吸引更多顧客，特在“雙11”時舉行抽獎活動，顧客從裝有10只球(4只黃球、6只白球)的箱子里隨機抽取2只球，若都是白球，則不中獎；若有1只黃球，則中二等獎，獎勵購物券100元；若有2只黃球，則中一等獎，獎勵購物券200元.每位顧客只能參與一次抽獎，商場向顧客提供以下兩種選擇.

1.采用放回抽樣的方式，即每次取球后放回，充分混合后再抽取第二次.

2.采用不放回抽樣的方式，即每次取球后不放回，從剩余的球中再抽取第二次.

問題1如果你當天恰好在現場，你會采用哪種抽樣方式？為什么？

問題2如果你是商場總經理，你希望顧客采用哪種抽樣方式？為什么？

設計意圖：從實際情境出發，引導學生用數學語言表達實際問題，并以單元的視角提出研究超幾何分布的必要性，激發學生探索的興趣.

簡化問題已知箱中有10只球(4只黃球、6只白球),從中隨機抽取2只.

1.若每次抽取后放回，設抽到黃球的個數為X，求X的分布列.

X012P(X)0.360.480.16

E(X)=0·0.36+1·0.48+2·0.16=0.8.

2.若每次抽取后不放回，設抽到的黃球個數為Y,求Y的分布列.

Y012P(Y)0.33·0.53·0.13·

思考1從顧客的角度來看，為什么選擇放回抽樣？為什么選擇不放回抽樣？(從決策論的角度探討)

引導對比獲得不同獎勵的概率，如獲得獎勵的概率或獲得大獎的概率.

思考2兩個分布的期望是一樣的，這是巧合還是存在某種內在的聯系？

引導放回抽樣是學生已經熟悉的二項分布，帶領學生回憶二項分布的條件.

提問不放回抽樣的分布是不是也有一定的規律？

變式1若袋中有10只球(4只黃球、6只白球)，從中隨機抽取5次,都不放回,設抽到的黃球個數為Y,求Y的分布列.

設計意圖：在不放回抽樣的情形下，黃球個數Y的取值會受到取球個數和袋中原有黃球個數的限制，故設計此變式，引導學生討論Y的取值，為進一步抽象概括做準備.引導學生討論如下.

1.抽到的黃球個數Y可能的取值是多少？(引導學生討論Y的最大可能取值是在原有黃球個數和抽取球個數中取大)

2.對應不同取值的概率是多少？(引導學生在數字改變的情況下進一步探索超幾何分布的分布列)

二、 抽象概括

問題3如果將實際問題中的具體數據變成字母，是否可以抽象出超幾何分布的分布列？

變式2若袋中有N只球[M只黃球、(N—M)只白球]，從中隨機抽取n次,都不放回,設抽到的黃球個數為Y,求Y的分布列.

設計意圖：從具體的數字到抽象的表達是形成理性思維的過程，利用熟悉的情境進行抽象概括，為更一般情境下的抽象定義奠定基礎.

問題4如果不以球作為背景，能否進一步抽象出超幾何分布的定義？

引導討論并提出超幾何分布的定義.

Y的分布列如表1所示.

三、 歸納猜想

問題5我們在情境問題中討論過，顧客會根據自己對獲得獎勵與否或獎勵金額的偏好進行選擇，但從商場經理的角度而言，兩種選擇所需發放的購物券金額是一樣的，這一結論由兩種分布的期望所支持.如果有放回地抽樣，X表示抽到的黃球個數，則X服從二項分布B(n,p),期望是E(X)=np.如果不放回地抽樣，Y表示抽到的黃球個數，則Y服從超幾何分布，超幾何分布的期望是什么？

設計意圖：鼓勵學生大膽猜想，試圖找到超幾何分布與二項分布的期望的相關性.

四、 模擬實驗

問題6為了驗證我們的猜想是否可行，在試圖證明之前，我們還可以用什么樣的方式進行探究？

表1

五、 推理證明

問題7經過模擬探究后，應該進行嚴格的推理證明.

設計意圖：對猜想的嚴格證明可通過組合數的展開進行，但計算比較繁瑣，若利用組合數的性質，一方面可以使證明過程更加簡潔，另一方面可以加深學生對組合數性質的理解.

第一步:探究引理1

概率的思想理解如圖3所示.

提問此時括號中的和是多少？

思考如表1，分布列中所有概率的和是多少？

思考證明過程中，括號中的和是多少？

通過如圖4所示的過程，學生能夠快速了解要求的和等價于從(N-1)個元素中取出(n-1)個第一類元素的所有情況，故可以得到：

利用組合數的定義，學生能夠快速完成余下的證明,過程如下:

六、 總結歸納

(一)超幾何分布與二項分布的關系

超幾何分布與二項分布的關系如圖5-1所示.

1.當N足夠大時，放回和不放回對概率的影響很小，超幾何分布逼近二項分布.

(二)探索方法總結

本節課的探索方法為“觀察—猜想—模擬—大數據模擬—嚴格證明”，這一探索方法(過程)非常重要.

七、 結語

本節課是一節“雙新”展示公開課，可以在“研直播”觀看(研直播—教研活動—數學學科教學展示課及專家點評)，本節課的設計突出以下方面.

首先，從單元的角度來看，從實際情境出發，結合二項分布提出超幾何分布的概念及其均值的探索與研究，培養學生從情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系的能力.其次，本節課大膽利用統計與概率的密切聯系，從統計的角度鼓勵學生進行超幾何分布的研究，并利用統計的思想“一兩撥千金”地完成規范化的證明，學生形成規范化思考問題的品質，養成嚴謹求實的科學精神.從教學過程來看，本節課非常注重數字化學習的引導，利用圖形計算器、R語言等工具模擬隨機過程，幫助學生探索；注重統計課程的完整性，引導學生完整地經歷了觀察、猜想、模擬、證明的過程.