含有分數階阻尼的 SD 振子系統非線性動力學響應特征研究

陳恩利 王明昊 王美琪 常宇健

摘要：研究受簡諧激勵含分數階阻尼的 SD 振子系統的幅頻響應特性，并與含整數階阻尼的 SD 振子系統對比。提出求解系統運動微分方程剛度非線性的傅里葉等效模型，解決了系統運動微分方程剛度非線性不可積問題。使用平均法求解等效系統運動微分方程，得到幅頻響應解析表達式，基于 Lyapunov 穩定性理論與 Routh 判據建立周期解穩定性判斷條件，通過與數值方法結果對比，驗證了幅頻響應解析方法的正確性。研究表明，SD 振子系統非線性剛度項的傅里葉等效模型可以應用于系統大振幅運動的研究，大大提高了計算精度。阻尼系數相同時，分數階阻尼系統的幅頻響應與整數階阻尼系統相比其共振頻率及振幅發生了很大的變化；改變分數階系數，會改變分數階阻尼系統幅頻響應骨架曲線，整數階阻尼系統幅頻響應骨架曲線不受影響；改變分數階階次時，分數階阻尼系統振幅在分界點兩側變化相反。

關鍵詞：非線性振動；SD 振子；分數階；骨架曲線

中圖分類號： O322??? 文獻標志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1068-08

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.004

1 概述

Thompson 等［1］研究簡支梁時提出一個含非線性特征的振子模型，該模型常被用于模擬梁的屈曲，模型中彈簧因幾何結構表現出非線性恢復力。Cao 等［2］以此基礎提出 SD振子模型，研究了受簡諧激勵作用含黏性阻尼的 SD振子系統從光滑動力學行為轉遷為不連續動力學行為的現象，動力學微分方程為：

隨后眾多學者對 SD 振子系統作了深入研究，因為振子模型結構上具有幾何非線性特征，在解析求解時有一定困難。文獻[3]使用三線性方程來等效振子模型中幾何非線性部分，使用半解析法分析了光滑不連續振子受諧波激勵下的混沌現象。研究發現 SD 振子系統光滑時具有和 Duffing 系統類似的雙阱動力學現象，當系統不連續時則具有類鞍點等非標準動力學行為[4]。王建華等[5]使用廣義胞映射圖論方法研究了 SD 振子內部激變現象。陳恩利等[6]設計了一個具有 SD 振子系統光滑特征的非線性實驗裝置，從實驗角度驗證了 SD 振子模型具有周期振動、周期5振動、混沌運動等復雜的動力學行為，而且各個實驗參數具有良好的可調性。Chen 等[7]系統性研究了 SD 振子的分岔行為，如叉型分岔、退化的Hopf分岔、同宿分岔、二重極限環分岔、Bautin分岔、Bog? danov ? Takens分岔等。Han 等[8]提出了含強無理非線性項的水平剛性耦合 SD 振子。文獻[9]研究了分段線性不連續的耦合 SD 振子。Hao 等[10]設計了基于 SD 振子的準零剛度振子，使用 SD 振子無理非線性剛度項代替傳統的泰勒級數近似方程，分析了該模型在各參數下復雜的動力學行為。Li 等[11?13]研究了受干摩擦的 SD 振子奇點穩定性、分岔與黏?滑振動行為。Yang 等[14]研究了在速度和位移反饋控制下含時滯準零剛度 SD 振子的主共振，受諧波激勵與高斯白噪聲作用的含時滯負剛度 SD 振子隨機共振現象。發現時滯反饋可以增強隨機共振現象，并以 SD 振子為基礎設計了結合壓電和電磁轉換的能量收集器[15?17]、一種多方向多穩定機構[18]，此機構可在超低頻激勵下產生大幅度響應，進而從超低頻振動源中收集能量。Zhu 等[19]以 SD 振子為基礎針對地震波設計了一種二自由度準零剛度隔振器。

目前諸多研究常在式（1）中引入整數階阻尼模型表示系統的耗散現象，但是簡單的整數階模型無法準確描述耗散中存在的滯后現象，而分數階模型可以較準確地描述此類現象[20]。 Caputo 等[21]以分數階微分模型為基礎建立耗散模型，并通過實驗證明該模型與鋁、銅、玻璃、銀、鋼等材料的耗散曲線擬合較好。Rossikhin等[22]使用分數階模型描述懸索橋自由振動的內摩擦現象，通過該模型得到與振動固有頻率相關的阻尼系數，同實驗數據擬合較好。文獻[23]研究了分數階阻尼模型在多種線性、非線性遲滯系統中的應用。Padovan等[24]以 Duffing 系統為基礎，引入分數階阻尼研究其對非線性系統的影響，發現分數階階次同時影響響應的頻率和幅值。文獻[25]使用兩個階數相獨立的分數階模型描述二自由度系統的阻尼特性，研究了該系統自由振動時能量交換與耗散過程；文獻[26?27]使用分數階模型描述黏彈性薄板的阻尼特性，研究其在2/1等多種內共振條件下的自由振動。Seredyńska 等[28]研究發現含分數階阻尼的非線性擺、Duffing 系統與整數階阻尼系統有明顯不同。Sheu等[29]將分數階阻尼引入 Duffing 系統，發現其對 Duffing 系統動力學行為有顯著影響。 Gao 等[30]首次將分數階 Duffing 系統擴展至復數域，研究了對稱和非對稱周期激勵時系統的混沌行為。Shen 等[31?32]使用平均法研究了分數階 Duffing 振子主共振、超諧共振[33]，發現分數階參數對系統響應幅值與頻率有顯著影響。韋鵬等[34]研究了分數階 Duffing 振子的亞諧共振。姜源等[35]使用平均法得到了分數階 Duffing 振子的超諧與亞諧聯合共振。文獻[36]研究了分數階 van der Pol 振子的超諧與亞諧聯合共振，發現分數階參數對響應幅值、頻率、周期解的數目等存在顯著影響。Niu等[37] 使用 Melnikov 方法研究了分數階 Duffing 系統的混沌閾值。常宇健等[38]使用分數階模型擬合出金屬橡膠阻尼器的非線性滯回曲線，與實驗結果擬合較好。

非線性系統具有獨特的動力學現象，如共振區間的位移突跳、多解共存等，通過引入分數階阻尼研究系統響應，可以更準確地揭示系統復雜的動力學特性，因此有必要研究含分數階阻尼的 SD 振子動力學行為，研究結果可以為 SD 振子系統的工程應用提供理論指導。本文研究受簡諧激勵作用含分數階阻尼的 SD 振子系統幅頻響應。系統非線性剛度項在微分方程積分計算時難以求解，現有文獻常將其展開為泰勒級數，這種方法在系統振幅較大時會產生很大誤差，導致得出錯誤的周期解、幅頻響應等結果。本文提出求解具有剛度非線性的微分方程傅里葉等效模型，既保留系統非線性特征，又在較大的振幅范圍內有較高的計算精度。應用平均法求得等效系統幅頻響應解析表達式，通過 Lyapunov 穩定性理論與 Routh 判據建立了系統周期解穩定性判斷條件。研究分數階阻尼對系統幅頻響應的影響，并與含整數階阻尼的 SD 振子幅頻響應進行對比，發現分數階阻尼系統幅頻響應與整數階阻尼系統響應幅值、頻率有很大不同。

2 含黏彈性阻尼的 SD 振子運動方程

使用分數階微分來描述系統耗散行為，分數階微分模型采用 Caputo 形式[39]：

式中Γ（·）為 Gamma 函數，計算式為Γ（ n +1）= nΓ（ n ）；p （0≤ p ≤1）為分數階微分項階次。將式（2）代入式（1），此時系統模型如下：

式中? m 為振子質量，X 為振子位移，k 為彈簧剛度， L 為彈簧原長，l 為振子距一側彈簧固定端的距離，c 為分數階系數，p 為分數階階次，F 1為外激勵幅值，ω為外激勵頻率。

對式（3）進行無量綱化，?。?/p>

可以改寫為：

設式（4）中剛度非線性項表達式為 P（ x （ t ））=ω0（2） x （ t ）1- ，因為 P （ x （ t ））形式復雜，無法積分計算[3]。目前諸多文獻常將 P（ x （ t ））展開為泰勒級數 Pt （ x （ t ））：

當展開階數取3階時，將式（6）代入式（4），該 SD 系統將變為具有黏彈阻尼特性的 Duffing 系統。泰勒級數法雖然解決了 P（ x （ t ））無法積分計算的問題，但是系統振幅較大時會產生很大誤差，為提高解析解數值仿真的精度，本文提出 P（ x （ t ））的傅里葉等效模型。設 P （ x （ t ））的傅里葉等效模型Pf （ x （ t ））為：

式中? n，p0，pi，qi （ i =1，2，3，…）為待定系數，I 為近似階數。

取系統參數 m =5，k =5，分別于α=0.1，0.6與1.5時，SD 振子非線性剛度項與不同近似階數的傅里葉變換結果如圖1～3所示。

由圖1可知，當α=0.1系統非線性較強時，隨著傅里葉近似階數 I 增大，等效模型精度提高，當 I =5時，等效模型已經擁有較高精度。隨著α增大，系統非線性減弱。如圖2所示，當α=0.6時，取 I =3即可使等效模型擁有較高精度。當α>1時，如圖3所示，系統彈簧由預壓縮變為預拉伸，此時等效模型取 I =2即可擁有較高精度。分析圖1～3可知，隨著α增大，使等效模型達到理想精度的傅里葉近似階數 I 逐漸降低。本文為保證解析解的計算精度，在后文求解時取 I =8。

取α=0.6，其余參數與前述相同，P （ x （ t ））的8階泰勒級數與8階傅里葉等效模型結果如圖4所示。

由圖4可知：系統位移較小時，x ∈[-0.4，0.4]， Pt （ x （ t ））與 P（ x （ t ））變化趨勢一致；當位移| x |>0.4時，Pt （ x （ t ））誤差隨 x 增大而逐漸增加；當位移| x |→1時，Pt （ x （ t ））誤差極大。因此 Pt （ x （ t ））雖然表達式形式簡潔，計算方便，但是適用性較差，一旦系統位移響應較大（振幅較大），將產生很大誤差，可能導致計算結果完全錯誤。由圖4局部放大圖可知，雖然Pf （ x （ t ））在 P（ x （ t ））的極大值點與極小值點鄰域內存在較小的誤差，但是Pf （ x （ t ））在較大的位移響應范圍內與 P（ x （ t ））擬合較好，幾乎完全重合。因此Pf （ x （ t ））的精度與適用范圍均優于 Pt （ x （ t ））。故將式（7）代入式（4）可得：

3 含黏彈性阻尼的 SD 振子主共振假設式（8）的解具有以下形式：

式中? a 為系統振動幅值，φ=ω t +θ。根據平均法，將式（9）代入式（8）可得到關于幅值和相位的方程：

式中 R （ a，θ）={ aω2 cosφ-2ζω0 Dp [ acosφ]- Pf （ acosφ）+fcos （ω t ）}。

對式（10）中非分數階項，關于φ在[0，2π]取積分平均，可得：

式中? Pf2（ a ）=-2 qi BesselJ （ ima ）；Pf2（ a ）中BesselJ （·）為第一類貝塞爾函數。

對式（10）中分數階項在[0，T ]內取積分平均，得到：

為求解 Caputo 形式的分數階微分，引入以下

將式（13）與（12）聯立可得：

令式（15）中 a? = 0和 a θ? = 0，可得：

可由式（16）求得式（8）的幅頻函數關系式：

設奇點為（ ，θˉ），a = +Δa，θ=θˉ+Δθ代入式（15），并用式（16）消去θˉ可得：

式中

由式（18）可以得到特征行列式：

λ為待求的特征值。

根據 Lyapunov 穩定性理論與 Routh 判據，若系統的響應穩定則特征值λ<0。如果 N1>0且 N2>0，那么該奇點的軌線是漸進穩定的。如果 N2<0，那么該奇點對應的軌線是不穩定的。因此 N2=0是判斷軌線是否穩定的臨界條件。

4 數值計算

對式（8）進行數值計算，選取系統參數為 m =5，k =5，c =2.0，L =0.16，F 1=0.5，α=0.9， p =0.9。通過式（17）獲得系統的幅頻響應曲線。為了驗證幅頻響應曲線的正確性，采用分數階擴展狀態方程法[39]對系統進行求解。將式（8）改寫為擴展狀態方程形式：

式中? 0C Dpitn [?]（i =1，2，3）表示使用 Caputo 形式描述的分數階微分項；p1，p2，p3為分數階階次。

將式（20）在Matlab中進行迭代計算。經過多次試算，在保證精度的前提下，取迭代步長 h =0.05，計算時間tn =1000 s，本文只研究系統穩態運動情況，因此舍棄前800 s，保留最后200 s作為結果。傅里葉等效系統幅頻響應曲線計算結果（EMFS）、泰勒級數等效系統幅頻響應計算結果（EMTS）與數值方法結果如圖5所示。

圖5結果表明，EMFS 與數值方法結果擬合較好，EMTS 在系統振幅較小時（ a <0.5）與 EMFS 和數值方法結果基本一致。但是當系統振幅較大時（ a >0.5），EMTS 與數值方法結果完全不同，這與圖1～4結論一致。當系統振幅較大時，Pt （ x （ t ））將出現極大誤差，導致系統幅頻響應解析結果錯誤，而Pf （ x （ t ））在大振幅與小振幅時均與 P（ x （ t ））擬合很好，說明剛度非線性項的計算精度對系統幅頻響應曲線計算精度有很大影響，也驗證了 EMFS 的正確性。

下面利用 EMFS 幅頻響應曲線式（17），分別研究分數階系數 c 與分數階階次 p 對系統幅頻響應的影響，并與含整數階阻尼的 SD 振子系統幅頻響應曲線對比。首先選取 p =0.5，c 分別為1.0，1.5，2.0和2.5，其余系統參數同上，分數階阻尼 SD 振子系統（FSDS）與整數階阻尼 SD 振子系統（ISDS）幅頻響應數值模擬結果如圖6所示。

圖6中點劃線為 ISDS 的骨架曲線。由圖6知當 c 相同時，FSDS 共振區間位于 ISDS 共振區間的右上方，說明 FSDS 在共振區內其振幅與共振頻率均大于 ISDS 。c 增大使兩系統共振峰值均減小，但是 FSDS 共振區間逐漸向高頻區間移動，而 ISDS 的共振峰值沿其骨架曲線減小，共振區間未向高頻區間移動，這說明 c 增大使 FSDS 骨架曲線向右移動，系統的剛度硬化。在 ISDS 中，c 增大僅僅增加了系統阻尼而不改變系統骨架曲線。

選取參數 c =2.0，p 分別為0.2，0.3，0.5和1.0時，FSDS 幅頻響應曲線與 ISDS 幅頻響應曲線數值模擬結果如圖7所示。

圖7中分界點 D 為 ISDS 共振峰。由圖7可知以 D 分界，當ω< D 時，ISDS 振幅大于 FSDS，此時 p 增大導致 FSDS 振幅增加（如局部放大圖所示），p 由0.2向0.5逐漸增加時，FSDS 振幅小幅度增大，p 由0.5向1.0逐漸增加時，FSDS 振幅大幅增大；與此相反的是，當ω> D 時，ISDS 振幅小于 FSDS，p 由0.2向0.5逐漸增加時，FSDS 振幅大幅度降低，p 由0.5向1.0逐漸增加時，FSDS 振幅小幅度降低；若ω繼續增大，系統振幅趨于一致。隨著 p 增大，FSDS 共振區間向低頻區移動。p 的改變不影響 ISDS 幅頻響應曲線，p =1.0時兩系統幅頻響應曲線重合，表明此時黏彈性阻尼與黏性阻尼在系統幅頻響應中起相同作用。

5 結論

本文研究受簡諧激勵含分數階阻尼的 SD 振子系統的幅頻響應，并與含整數階阻尼的 SD 振子幅頻響應對比。提出求解 SD 振子運動微分方程剛度非線性的傅里葉等效模型，通過平均法得到系統的幅頻響應關系式，利用 Lyapunov 穩定性理論與 Routh 判據建立周期解穩定性判斷條件。研究了分數階阻尼對系統幅頻響應的影響，結果表明：

（1）針對 SD 振子運動微分方程剛度非線性項，本文提出的傅里葉等效模型與泰勒級數相比，在系統振幅較大時精度更高，既解決了含剛度非線性的系統運動微分方程不可積導致系統不便于采用解析方法研究的問題，又大幅提高了大振幅時的計算精度。

（2）分數階系數相同時分數階阻尼系統幅頻響應的共振峰值與共振頻率均大于整數階阻尼系統。增大分數階系數會降低兩系統的共振振幅，對整數階阻尼系統骨架曲線沒有影響，但是會改變分數階阻尼系統骨架曲線，使其共振區間向高頻區移動。

（3）在分界點兩側，隨分數階階次增大，系統的振幅變化趨勢相反。分數階階次增大使分數階系統共振區間向低頻區移動，但是不影響整數階阻尼系統幅頻響應曲線。分數階階次等于1時，兩系統幅頻響應曲線重合，意味著分數階阻尼與整數階阻尼在系統幅頻響應中起相同作用。

綜上所述，通過研究受簡諧激勵作用含分數階阻尼的 SD 振子的幅頻響應，發現其與含整數階阻尼的 SD 振子系統幅頻響應有很大不同，以上研究為 SD 振子系統的工程應用提供了理論指導。

參考文獻：

[1]? Thompson J M? T，Hunt G . General Theory of ElasticStability[M]. London：John Wiley and Sons，1973.

[2]? Cao Q，Wiercigroch M，Pavlovskaia E E，et al . Arche ?typal? oscillator? for? smooth? and? discontinuous dynamics [ J ]. Physical? Review? E ， Statistical ， Nonlinear ， andSoft Matter Physics，2006，74（4 Pt 2）：046218.

[3]? Cao Q，Wiercigroch M，Pavlovskaia E E，et al . Piece ?wise? linear? approach? to? an? archetypal? oscillator? for smooth? and? discontinuous? dynamics [ J ]. Philosophical Transactions? of? The? Royal? Society ?A? Mathematical Physical and Engineering Sciences，2008，366（1865）：635-652.

[4] 曹慶杰，田瑞蘭，韓彥偉. SD 振子的非線性動力學特征研究[ J ].石家莊鐵道大學學報（自然科學版），2010，23（2）：32-37.

Cao Qingjie，Tian Ruilan，Han Yanwei . Investigations of? nonlinear? dynamic? for? SD? oscillator [ J ]. Journal? of Shijiazhuang? Tiedao? University （Natural? Science） ，2010，23（2）：32-37.

[5] 王建華，張曉燕，洪靈. SD 振子中內部激變現象的研究[ J ].動力學與控制學報，2011，9（4）：331-336.

Wang? Jianhua ，Zhang? Xiaoyan，Hong? Ling . Study? of the interior crisis in SD oscillator[ J ]. Journal of Dynam ? ics and Control，2011，9（4）：331-336.

[6] 陳恩利，曹慶杰，馮明，等. SD 振子的設計及非線性特性實驗研究初探[ J ].力學學報，2012，44（3）：584-590.

Chen Enli，Cao Qingjie，Feng Ming，et al . The prelimi? nary? investigation? on? design? and? experimental? research of nonlinear characteristics of SD oscillator[ J ]. Chinese Journal? of? Theoretical? and? Applied? Mechanics ，2012，44（3）：584-590.

[7]? Chen H，Llibre J，Tang Y . Global dynamics of a SD os?cillator[ J ]. Nonlinear Dynamics，2018，91：1755?1777.

[8]? Han Y，Cao Q，Chen Y，et al . A novel smooth and dis ?continuous oscillator with strong irrational nonlinearities [ J ]. Sci . China Phys .Mech .Astron .，2012，55：1832?1843.

[9]&nbsp; Han Y ， Cao Q，Wiercigroch M . Chaotic thresholds forthe piecewise linear discontinuous system with multiple well potentials[ J ]. International Journal? of Non-Linear Mechanics，2015，70：145-152.

[10] Hao Z，Cao Q . The isolation characteristics of an arche ?typal? dynamical? model? with? stable-quasi-zero-stiffness [ J ]. Journal of Sound & Vibration，2015，340：61-79.

[11] Li Z，Cao Q，Léger Alain . The equilibrium stability fora? smooth? and? discontinuous? oscillator? with? dry? friction [ J ].Acta MechanicaSinica，2016，32（2）：309-319.

[12] Li Z，Cao Q，Léger A . The complicated bifurcation ofan archetypal self-excited SD oscillator with dry friction [ J ]. Nonlinear Dynamics，2017，89（1）：1-16.

[13] Li Z，Cao Q，Nie Z . Stick-slip vibrations of a self-excit?ed? SD? oscillator? with? Coulomb? friction [ J ]. Nonlinear Dynamics，2020，102（3）：1-17.

[14] Yang T，Cao Q . Delay-controlled primary and stochas?tic resonances of the SD oscillator with stiffness nonlin ? earities[ J ]. Mechanical Systems and Signal Processing，2018，103：216-235.

[15] Yang T，Cao Q . Dynamics and energy generation of ahybrid? energy harvester under colored noise? excitations [ J ]. Mechanical Systems and Signal Processing，2019，121：745-766.

[16] Yang T，Cao Q . Time delay improves beneficial perfor?mance of a novel hybrid energy harvester[ J ]. Nonlinear Dynamics，2019，96：1511-1530.

[17] Yang T，Cao Q . Noise- and delay-enhanced stability ina nonlinear isolation system[ J ]. International Journal of Non-Linear Mechanics，2019，110：81-93.

[18] Yang T，Cao Q，Li Q，et al . A multi-directional multi-stable device：modeling，experiment verification and ap? plications[ J ]. Mechanical Systems and Signal Process? ing，2021，146：106986.

[19] Zhu G，Liu J，Cao Q，et al . A two degree of freedomstable quasi-zero stiffness prototype and its applications in? aseismic? engineering[ J ]. Science? China（Technologi? cal Sciences），2020，63（3）：496-505.

[20] Shimizu? N ，Zhang? W . Fractional? calculus? approach? todynamic? problems? of? viscoelastic? materials [ J ]. JSME International Journal，1999，42（4）：825-837.

[21] Caputo M，Mainardi F . A new dissipation model basedon memory mechanism[ J ]. Pure and Applied Geophys? ics，1971，91：134-147.

[22] Rossikhin Y A，Shitikova M V . Application of fraction?al calculus for analysis of nonlinear damped vibrations of suspension bridges[ J ]. Journal of Engineering Mechan? ics，1998，124（9）：1029-1036.

[23] Rossikhin? Y? A ，Shitikova? M? V . Applications? offrac?tional calculus to dynamic problems of linear and nonlin? ear hereditary mechanics of solids[ J ]. Applied Mechan? ics Reviews，1997，50（1）：15-67.

[24] Padovan? J ，Sawicki? J? T . Nonlinear? vibrations? of? frac ?tionally? damped? systems [ J ]. Nonlinear? Dynamics，1998，16（4）：321-336.

[25] Rossikhin? Y? A ，Shitikova? M? V . Analysis? of nonlinearvibrations? of? a? two-degree-of-freedom? mechanical? sys? tem? with? damping? modelled? by? a? fractional? derivative[ J ]. Journal of Engineering Mathematics，2000，37（4）：343-362.

[26] Rossikhin Y A，Shitikova M V . Free damped nonlinearvibrations of a viscoelastic plate under two-to-one inter? nalresonance[ J ]. Materials Science Forum，2003，440-441：29-36.

[27] Rossikhin Y A，Shitikova M V . Analysis of free non-lin?ear vibrations of a viscoelastic plate under the conditions of different internal resonances[ J ]. International Journal of Non-Linear Mechanics，2006，41（2）：313-325.

[28] Seredyńska M ，Hanyga A . Nonlinear hamiltonianequa?tions with fractional damping[ J ]. Journal of Mathemati?cal Physics，2000，41（4）：2135-2156.

[29] Sheu? L ，Chen H ，Chen? J ，et? al . Chaotic dynamics? ofthe? fractionally? damped? Duffing? equation [ J ]. Chaos， Solitons & Fractals，2007，32（4）：1459-1468.

[30] Gao X，Yu J . Chaos in the fractional order periodicallyforced complex Duffing′s oscillators[ J ]. Chaos Solitons & Fractals，2005，26（4）：1125-1133.

[31] Shen Y，Yang S，Xing H，et al . Primary resonance ofDuffing oscillator with fractional-order derivative[ J ]. In ?ternational Journal of Non-Linear Mechanics，2012，17（7）：3092?3100.

[32] Shen Y，Yang S，Xing H，et al . Primary resonance ofDuffing oscillator with two kinds of fractional-order de? rivatives [ J ]. International? Journal? of? Non-Linear? Me ? chanics，2012，47（9）：975-983.

[33] 申永軍，楊紹普，邢海軍.分數階Duffng振子的超諧共振[ J ].力學學報，2012，44（4）：762-768.

Shen Yongjun，Yang Shaopu，Xing Haijun . Super-har? monic? resonance? of? fractional-order? Duffing? oscillator [ J ]. Chinese? Journal? of? Theoretical? and? Applied? Me? chanics，2012，44（4）：762-768.

[34]韋鵬，申永軍，楊紹普.分數階 Duffing 振子的亞諧共振[ J ].振動工程學報，2014，27（6）：811-818

Wei Peng，Shen Yongjun，Yang Shaopu . Sub-harmon? ic? resonance? of? Duffing? oscillator? with? fractional-order derivative[ J ]. ，2014，27（6）：811-818.

[35]姜源，申永軍，溫少芳，等.分數階達芬振子的超諧與亞諧聯合共振[ J ].力學學報，2017，49（5）：1008-1019.

Jiang Yuan，Shen Yongjun，Wen Shaofang，et al . Su ? per-harmonic? and? sub-harmonic? simultaneous resonanc? es? of? fractional-order? Duffing? oscillator [ J ]. Chinese Journal? of? Theoretical? and? Applied? Mechanics ，2017，49（5）：1008-1019.

[36]姜源，申永軍，溫少芳.分數階 van der Pol 振子的超諧與亞諧聯合共振[ J ].振動工程學報，2019，32（5）：129-139.

Jiang Yuan，Shen Yongjun，Wen Shaofang . Super-har? monic and Sub-harmonic simultaneous resonance of frac? tional-order van der Pol oscillator[ J ]. Journal of Vibra ? tion Engineering，2019，32（5）：129-139.

[37] Niu J，Liu R，Shen Y，et al . Chaos detection of Duffingsystem? with? fractional-order? derivative? by? Melnikov method[ J ]. Chaos，2019，29（12）：123106.

[38]常宇健，田沃沃，陳恩利，等.基于分數階微分的金屬橡膠遲滯非線性動力學模型[ J ].振動與沖擊，2020，39（14）：233-241.

Chang Yujian，Tian Wowo，Chen Enli，et al . Dynamic model for the nonlinear hysteresis of metal rubber basedon? the? fractional-order derivative[ J ]. Journal? of Vibra ? tion and Shock，2020，39（14）：233-241.

[39]薛定宇.分數階微積分與分數階控制[M].北京：科學出版社，2018.

XueDingyu . Fractional? Calculus? and? Fractional-order Control[M].Beijing：Science Press，2018.

Nonlinear dynamic response characteristics of SD oscillator with fractional damping

CHEN En-li1，WANG Ming-hao1，2，WANG Mei-qi2，CHANG Yu-jian3

（1.State Key Laboratory of Mechanical Behavior and System Safety of Traffic Engineering Structures，Shijiazhuang TiedaoUni?versity，Shijiazhuang 050043，China；2.School of Mechanical Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043，China；3.School of Electrical and Electronic Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang 050043，China）

Abstract： The amplitude-frequency response characteristic of SD? oscillator with fractional damping under harmonic excitation is studied，compared with the SD oscillator with integral damping . The Fourier equivalent model is proposed to solve the nonlinear stiffness of the differential equation of system motion，the problem of the nonlinear stiffness non-integrability of the differential mo? tion equation of the system is solved . The expression of amplitude-frequency response is obtained by solving the differential equa? tion of system motion using the average method . The stability of periodic solution is determined based on the Lyapunov stability theory and the Routh criterion . The correctness of the analytical method for amplitude-frequency response is verified by comparing with the numerical results . The result shows that the Fourier transform equivalent model of the nonlinear stiffness term of the SD oscillator can be applied to the motion characteristic of the system with large amplitude，which greatly improves the calculation ac? curacy . With the same damping coefficient，the amplitude-frequency response of the fractional damping system? is different from that of the integral damping system，the resonance frequency and amplitude of the fractional damping system vary greatly . Chang? ing the fractional coefficient will change the amplitude-frequency response backbone curve of the fractional damping system，but the integral damping? system? is not? affected . When? the? fractional? order? is? changed，the? amplitude? of the? fractional damping? system changes oppositely on both sides of the cut-off point .

Key words ： nonlinear vibration；SD oscillator；fractional order；backbone curve

作者簡介：陳恩利（1958—），男，教授。電話：（0311）87935554；E-mail：chenenl@stdu .edu .cn。

通訊作者：王明昊（1997—），男，碩士研究生。電話：（0311）87935554；E-mail：mhsilver@qq .com。