基于變尺度Lempel?Ziv的滾動軸承損傷程度評估方法

崔玲麗 安加林 王鑫 張建宇

摘要：針對傳統Lemple?Ziv復雜度（Lempel?Ziv complexity，LZC）計算過程中，二值化處理時會改變原序列的動力學特征以及計算效率較低的問題，結合軸承故障沖擊特征，提出復合字典匹配追蹤算法（compound dictionary matching pursuit algorithm，CDMP）與變尺度Lempel?Ziv復雜度（variable scale Lempel?Ziv complexity，VLZC）分析相結合的滾動軸承內外圈損傷程度評估方法。采用 CDMP 對原信號進行重構，檢測信號周期性沖擊成分；根據沖擊幅值將重構信號分為軸承故障沖擊區和沖擊衰減區，對信號沖擊進行變尺度二值化處理后，將沖擊作為迭代基本元素，采用遍歷查找法計算其 VLZC 指標；根據3σ原則給出內外圈不同損傷程度的 VLZC 取值區間，引入 BP 神經網絡對其損傷程度進行智能分類。結果表明，該方法能有效降噪，保留信號周期性沖擊特征，抑制非沖擊成分，提高迭代計算效率，實現滾動軸承內外圈損傷程度的評估。

關鍵詞：故障診斷；復合字典匹配追蹤；變尺度Lempel?Ziv算法；二值化；BP 神經網絡

中圖分類號： TH165+.3；TH133.33??? 文獻標志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1250-09

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.023

引言

滾動軸承的運行狀態直接影響整臺機器的性能[1]。由于實際運行工況復雜、環境干擾等因素使得軸承容易出現損壞[2?3]。因此，滾動軸承故障檢測與診斷具有重要意義[4]。目前，基于振動信號的軸承故障診斷研究主要集中在兩個方面：軸承振動信號特征提取方法研究和軸承故障振動機理研究[5]。然而，這些方法大多針對軸承故障進行定性分析，對軸承故障損傷程度分析較少。隨著現代設備發展，提取軸承故障特征并進行有效的故障程度診斷，實現故障狀態監測尤為重要。

近年來，軸承故障損傷程度分析受到國內外學者的廣泛關注。Jiang 等[6]將改進形態學濾波方法應用于軸承故障信號降噪和復雜度指標提取，得到了軸承信號復雜度與故障嚴重度之間的關系。Zhang 等[7]采用基于 EEMD 的排列熵指標對軸承故障類型和損傷程度進行分類。Cui 等[8]提出一種基于新字典模型的軸承故障診斷量化匹配追蹤算法，初步實現滾動軸承故障的定量診斷。滾動軸承在運行過程中可以看作一個非線性動力學系統，通常用系統復雜度指標來描述。目前，許多學者應用Lempel?Ziv算法計算軸承故障信號的復雜性來進行軸承故障定量趨勢診斷。

Lempel 和 Ziv[9]提出了復雜度算法，稱為Lempel?Ziv復雜度。Hong 等[10]提出了一種基于連續小波變換的Lempel?Ziv復雜度軸承故障嚴重程度診斷方法，結果表明，對軸承所有轉速，外圈故障尺寸越大，振動信號越復雜；內圈故障尺寸越大，振動信號周期性越強。竇東陽等[11]提出一種基于經驗模態分解（EMD）和Lempel?Ziv指標的評價方法，得到了Lempel?Ziv值取值范圍，對不同內外圈損傷進行了評價。張超等[12]提出一種基于 LMD 和Lempel?Ziv的方法，用于識別不同轉速和不同內外圈缺陷嚴重程度的滾動軸承。文獻[13?14]分別將Protrugram和Sparsogram與Lempel?Ziv相結合進行分析，驗證了Lempel?Ziv復雜度指標在進行定量趨勢診斷方面有一定的效果。前述方法聚焦于軸承故障特征提取方法研究，并將其與傳統Lempel?Ziv復雜度算法相結合進行軸承故障診斷。但應用Lempel?Ziv復雜度算法處理軸承故障振動信號時，存在一定不足。第一，二值化過程會混淆故障沖擊幅值，丟失部分故障信息；第二，迭代過程中并未考慮軸承故障沖擊特征。因此，有必要探索一種更適合軸承故障振動信號處理的Lempel?Ziv復雜度算法。

為此，提出一種變尺度Lempel?Ziv復雜度滾動軸承損傷程度評估方法。首先，利用 CDMP 算法對信號進行重構；然后利用Protrugram處理重構信號得到最佳分析頻帶，將重構信號分為故障沖擊區和沖擊衰減區，并對其進行變尺度二值化處理。軸承發生故障時信號主要表現為沖擊特征，因此將沖擊作為迭代基本元素，迭代計算得到 VLZC 值，引入 BP 神經網絡對其進行損傷程度智能分類。試驗結果證明了基于變尺度Lempel?Ziv的滾動軸承損傷程度評估方法的有效性。

1 基本算法理論

1.1 滾動軸承故障模型

將軸承系統簡化為一個單自由度線性時不變系統，軸承故障振動信號表示為：

式中 A（tn ）表示沖擊響應信號的幅值；fn表示系統的共振頻率；ξ表示相對阻尼系數；φ0表示沖擊響應信號的初始相位角；tk表示第 k 個沖擊響應的發生時刻；Δtk表示第 k 個和第 k?1個沖擊響應之間的時間間隔。

Lempel?Ziv復雜度算法本質是計算信號周期性，然而在實際故障軸承信號中，不可避免地會存在打滑、轉速波動等現象，導致軸承振動信號沖擊周期變化，對計算Lempel?Ziv值產生重要影響。該模型考慮滾動體在內、外圈滾道上會出現打滑現象，Δtk會出現隨機波動，波動程度與軸承軸向和徑向載荷比相關，取值一般為0.01～0.02[15]。仿真信號模型參數具體如表1所示。

考慮到軸承實際工作情況，引入高斯白噪聲和有色噪聲。仿真信號表達式為：

式中 x （tn ）為沖擊信號；x1（t）為高斯白噪聲；x2（t）為有色噪聲；通過控制噪聲的能量，使得仿真信號信噪比 SNR=?15 dB。

仿真信號如圖1所示?？梢钥闯?，軸承單點故障以沖擊特征為主，首先計算信號所有沖擊幅值平均值，將其作為閾值劃分標準，消除非故障沖擊（圓圈標注處）后，將信號劃分為故障沖擊區（方框內）和沖擊衰減區。信號中沖擊分別為 Q1，Q2，Q3，…，Qm （ m≤n/3）。

將故障沖擊區中的沖擊分為正、負沖擊，構成沖擊成分 Qi 的采樣點數為 j 個（任一采樣點記為xio ），沖擊幅值為 hi；沖擊衰減區中沖擊幅值較小，不考慮沖擊方向，即三個連續采樣點構成一個衰減沖擊。

1.2 傳統 Lempel-Ziv 算法

Lempel?Ziv復雜度基本過程是：將信號轉換成二進制序列：如果 x （i）≥mean（x （ n ））（i=1，2，…， n ），則定義si =1（i=1，2，…，n ），否則si =0。定義 SN ={ s1，s2，…，sN }，定義信號復雜度為 Cn （ r），經過 n 次循環迭代得到最終的復雜度。

（1）當 r=0時，令Sv，0={ }，Q0={ }，Cn （0）=0。當 r=1時，令 Q1={Q0 s1}，由于 Q1不屬于Sv，0，則 Cn （1）=Cn （0）+1=1，Q1={ }，r=r+1；

（2）令Qr ={Qr?1 sr }，Sv，r-1={Sv，r?2 sr?1}，判斷Qr是否屬于Sv，r?1。若是，則 Cn （ r）=Cn （ r-1），r=r+1；若否，則 Cn （ r）=Cn （ r-1）+1，Qr ={}，r=r+1；重復步驟（2）。

上述 Cn （ r）值受 SN 的長度 n 影響明顯，為了得到相對獨立的指標，Lempel 和 Ziv 提出歸一化公式：

最后，通過歸一化計算出 Lempel?Ziv 復雜度。

1.3 變尺度 Lempel-Ziv 算法

傳統 Lempel?Ziv 復雜度算法中存在兩點局限性：

（1）在二值化部分，將信號點平均值作為二值化閾值，對信號進行二值化會混淆沖擊幅值大小，造成軸承故障特征畸變，如圖2（ a ）所示，通過圖1和圖2（ a ）可以看出，信號（圖1）經過二值化后衰減沖擊幅值被放大，故障信息不能有效保留，不能保證計算結果的有效性。

（2）在迭代計算部分，并未考慮軸承故障的沖擊特征，而是僅應用其數學思想，將信號點作為Lempel?Ziv復雜度算法迭代的基本元素，當有新元素（采樣點）加入時就進行一次迭代計算，耗時長，效率低，信號點數為 n，迭代計算次數為（ n ?1）次。

綜上所述，針對傳統Lempel?Ziv兩點局限性，提出變尺度Lempel?Ziv算法，分別在故障沖擊區和沖擊衰減區計算沖擊幅值（hi ）及時間尺度（ Ti =（j?1）/fs ），并對其作變尺度二值化處理，變尺度二值化步驟如下：

（1）對信號中沖擊幅值 hi 求均值得到 mean（hi ），將 mean（hi ）作為二值化劃分標準。正沖擊記為1，負沖擊或衰減沖擊記為0（括號內表示正負沖擊或衰減沖擊）。

（2）若為正沖擊，當 hi≥mean（hi ）時，令xio =（1）1；當 hi≤mean（hi ）時，令xio =（1）0；若為負沖擊，當 hi≥mean（hi ）時，令xio =（0）1；當 hi≤mean（hi ）時，令xio =（0）0；若為衰減沖擊，則令xio =（0）0。

通過圖1和圖2（b）可以看出，該方法能突出軸承故障特征，抑制非沖擊成分。

如圖3所示，滾動軸承故障特征主要表現為沖擊特征，因此將沖擊作為迭代基本元素，迭代計算時，每加入一個沖擊元素（Qv，r ），采用遍歷查找法與已有沖擊序列進行比對，依次迭代。如下式所示：

構成沖擊采樣點數最少為3個信號點，改進后迭代次數最多為（ n/3）?1次，大大提高了計算效率。迭代計算步驟如下：

（1）當 r=0時，定義 Qv ，0={ }， Q0={ }， Cn （0）=0。

（2）當 r=1時，由于 Q1不屬于 Qv，0，則 r=r+1， Cn （1）=Cn （0）+1=1；

（3）令 Qv，r ={Qv，r-1，Qr }，判斷 Qr+1是否屬于 Qv，r 。若屬于，則 Cn （ r+1）=Cn （ r），r=r+1，Qv，r+1={Qv，r }。若不屬于，則 r=r+1，Cn （ r+1）=Cn （ r）+1，Qv，r+1={Qv，r，Qr+1}；重復步驟（3），直至迭代完成。

1.4 MP 算法原子庫

給定一個集合 D={gk，k=1，2，…，K }，其元素是在整個 Hilbert 空間 H=RN 的單位矢量，集合 D 稱為原子庫，其元素稱為原子。由于原子庫的冗余性（ K?N），矢量gk是線性的。對于任意長度為 N 的實信號f∈H，在 D 中找到由 m 個原子組成的線性組合：

上式即信號的稀疏分解，其中 ck 為分解系數。

以正弦函數作為傅里葉字典的基元函數：

式中 f為頻率參數；λ為相位參數；Kfou為歸一化系數。

保證每個原子具有單位能量，即? fou （ f，λ） =1；

以指數函數與正弦函數乘積得到的指數衰減函數作為沖擊時頻字典的基元函數[16]：

式中 p 為沖擊響應的阻尼衰減特性；u 為沖擊響應事件發生的初始時刻（ s ）；f為系統的阻尼固有頻率（ Hz ）；?為相位參數；Kimp為歸一化系數。

2 基于變尺度 Lempel-Ziv 的滾動軸承損傷程度評估方法

針對傳統Lempel?Ziv復雜度計算過程中改變信號動力學特征以及計算效率低的問題，本文提出一種基于變尺度Lempel?Ziv的滾動軸承損傷程度評估方法。首先，利用 CDMP 對原始信號進行重構；然后利用Protrugram分析得到最佳分析頻帶，并計算最優分析頻帶的 VLZC 值，最后進行復雜度值區間劃分以及軸承損傷程度分類。

假設振動信號為 x （t），CDMP?VLZC 算法步驟如下：

（1）針對軸承故障信號特點，選擇字典為傅里葉字典（式（8））和沖擊時頻字典（式（9））構成的復合字典，確定迭代終止條件，對原始信號 x （t）進行 CD ? MP 處理。

（2）利用Protrugram處理重構信號得到最優分析頻帶：

①對重構信號進行傅里葉變換，并確定中心頻率、帶寬、步長等參數。

②計算窄帶包絡譜和其峭度，選取峭度最大的頻帶作為最佳分析頻帶。

（3）對最佳頻帶進行區間劃分，得到故障沖擊區和沖擊衰減區；并對各個沖擊進行變尺度二值化處理。

（4）將沖擊作為迭代基本元素，計算得到 VLZC 值，并根據3σ原則劃分內外圈不同損傷程度的 VL ? ZC 指標取值區間。

（5）引入 BP 神經網絡對其進行損傷程度智能分類。具體算法流程如圖4所示。

3實驗驗證

對不同損傷程度的滾動軸承內外圈故障的實驗數據進行故障特征提取，劃分其內外圈不同損傷程度的 CDMP?VLZC 取值區間，并采用 BP 神經網絡對滾動軸承內外圈不同損傷程度進行智能分類。

為了驗證本文提出方法有效性，采用滾動軸承內、外圈故障信號進行驗證分析。實驗系統由軸承實驗臺、HG3528A 數據采集儀、筆記本電腦組成。其中軸承實驗臺（圖5）由三相異步電機①通過撓性聯軸器②與裝有轉子④的轉軸連接，軸由兩個6307軸承支撐，③為正常軸承，⑤為不同故障大小的軸承。電機轉速R=1497 r/min，軸承的大徑D=80mm，小徑 d=35 mm，滾動體個數為 Z=8，接觸角α=0°，加速度傳感器固定在軸承座的正上方和水平方向，采樣頻率為16384 Hz，采樣點數為8192個。在軸承的內、外圈滾道中央加工出直徑大小分別為0.5，2，3.5和5 mm 的凹坑模擬點蝕故障，得到不同故障尺寸的內、外圈軸承故障實驗信號，用來模擬滾動軸承的不同程度損傷。

3.1? 外圈故障試驗

外圈故障軸承實驗信號如圖6（ a ）所示，采用 CDMP ?VLZC 方法對外圈故障軸承信號進行分析，結果如下。

首先對原始信號進行 CDMP 重構處理，重構信號如圖6（b）所示，可以看出沖擊特征明顯。重構信號頻譜圖如圖7所示，并且可以找到外圈故障特征頻率及其倍頻。如78.7 Hz（外圈故障特征頻率fo ）、157.5 Hz（二倍外圈故障特征頻率2fo ），CDMP 方法能夠對軸承外圈故障信號有效降噪。

由外圈故障頻率為78.73 Hz，確定帶寬 BW 為300 Hz，步長 Step 為100 Hz，中心頻率取值范圍為[150 Hz，3000 Hz ]，利用Protrugram得到最優分析頻帶，如圖8所示。然后對沖擊進行變尺度二值化處理，變尺度二值化信號如圖9所示，保留了部分軸承故障沖擊特征，抑制非沖擊特征。

分別選取20組故障直徑大小為0.5，2，3.5，5 mm 的外圈故障數據樣本。樣本長度為4096，計算各損傷程度的軸承外圈故障信號的 CDMP?VLZC 指標，其計算結果如表2和圖10所示。

從圖10可以看出，CDMP ?VLZC 指標可以區分出滾動軸承外圈故障信號的不同損傷程度，并且隨著故障尺寸的增大，軸承外圈的 CDMP?VLZC 指標呈現上升趨勢。根據統計學的“3σ”原則，劃分出外圈不同損傷程度的 CDMP?VLZC 指標的取值區間，見表3。

BP 神經網絡具有較強的非線性映射能力和自學習能力，將 CDMP?VLZC 作為軸承損傷程度智能分類的輸入分量輸入到 BP 神經網絡分類系統中，以軸承外圈損傷狀態為輸出，實現軸承損傷程度智能診斷。

根據軸承外圈的損傷程度實驗數據，采用其中20組特征矢量及其標簽作為訓練樣本集，400組作為測試樣本集。 BP 神經網絡所選的特征參數為 CDMP ?VLZC，所以選用輸入層節點數為1。輸出層節點是直接判斷軸承損傷程度的依據，將軸承損傷程度類型采用二進制編碼方式。直徑0.5 mm 損傷編碼為（0，0），直徑2 mm 損傷編碼為（0，1），直徑3.5 mm 損傷編碼為（1，0），直徑5 mm 損傷編碼為（1，1），所以輸出節點為4?？紤]到計算效率問題，選取網絡的隱層數為1層。根據訓練效果，隱層節點設為11，并且隱層神經元的激活函數和輸出層神經元激活函數選用 S 型。智能分類結果如表4所示。

對于故障直徑為0.5，2，3.5，5 mm 的軸承外圈故障信號，將其原始信號、CDMP 重構信號、 CDMP ?LZC 指標、CDMP ?VLZC 指標作為輸入分別輸入到 BP 神經網絡，智能分類結果如表4所示?？梢钥闯?，對于不同故障尺寸的軸承信號， CDMP ?VLZC 作為特征輸入的 BP 神經網絡分類系統效果明顯優于原始信號、CDMP 重構信號、 CDMP ?LZC 指標作為特征輸入的分類效果。

3.2? 內圈故障試驗

內圈故障軸承實驗信號如圖11（ a ）所示，采用 CDMP ?VLZC 方法對內圈故障軸承信號分析，結果如下。首先對內圈故障信號 x （t）進行 CDMP 重構處理，重構信號如圖11（b）所示，沖擊特征較明顯。重構信號頻譜如圖12所示，可以找到內圈故障特征頻率（BPFI ）及其倍頻。如123.74 Hz（內圈故障特征頻率fi ）、247.4 Hz（二倍內圈故障特征頻率2fi ），CD? MP 方法能夠對軸承內圈故障信號有效降噪。

由內圈故障頻率為123.738 Hz，確定帶寬 BW 為400 Hz，步長 Step 為100 Hz，中心頻率取值范圍為[200 Hz，3000 Hz ]，利用Protrugram得到最優分析頻帶，如圖13所示；然后對沖擊進行變尺度二值化處理，變尺度二值化信號如圖14所示，保留了部分軸承故障沖擊特征，抑制非沖擊特征。

同樣選取20組故障直徑大小為0.5，2，3.5，5 mm 的內圈故障數據樣本，樣本長度為4096，計算各損傷程度的軸承內圈故障信號的 CDMP ?VLZC 指標，計算結果如表5和圖15所示。

從圖15可以看出，CDMP ?VLZC 指標可以區分出滾動軸承內圈故障實驗信號的不同損傷程度，并且隨著故障尺寸增大，軸承內圈故障信號的 CDMP ?VLZC 指標呈現下降趨勢。根據統計學的“3σ”原則，劃分出內圈不同損傷程度的 CDMP ?VLZC 指標的取值區間如表6所示。

同樣，將 CDMP?VLZC 作為軸承損傷程度智能分類的輸入分量輸入到 BP 神經網絡分類系統中，以軸承外圈損傷狀態為輸出，實現軸承損傷程度智能診斷。采用其中20組特征矢量及其標簽作為訓練樣本集，400組作為測試樣本集。智能分類結果如表7所示。

對于故障直徑為0.5，2，3.5，5 mm 的軸承內圈故障信號，將其原始信號、CDMP 重構信號、 CDMP ?LZC 指標、CDMP ?VLZC 指標作為輸入分別輸入到 BP 神經網絡，智能分類結果如表7所示。可以看出，對于不同故障尺寸的軸承信號，CDMP ? VLZC 作為特征輸入的 BP 神經網絡分類系統效果明顯優于原始信號、CDMP 重構信號、CDMP ?LZC 指標作為特征輸入的分類效果。

綜上所述，采用 CDMP 方法對信號降噪效果明顯，并且結合 VLZC 指標和 BP 神經網絡可以實現滾動軸承損傷程度智能分類。

4 結論

針對傳統Lempel?Ziv二值化會改變原序列的動力學特征以及計算效率較低的問題，本文提出一種 CDMP 與 VLZC 分析相結合的滾動軸承內外圈損傷程度評估方法。

（1）首先，采用 CDMP 對原始信號降噪重構。再利用Protrugram處理重構信號得到最佳分析頻帶，然后對其進行變尺度二值化處理，將沖擊作為迭代基本元素計算得到 VLZC 指標。將 CDMP ?VLZC 指標輸入 BP 神經網絡分類系統中，實現滾動軸承損傷程度智能診斷。實驗處理結果表明，應用 CDMP?VLZC 方法能夠有效對滾動軸承損傷程度進行智能分類。

（2）變尺度Lempel?Ziv算法在將信號劃分為故障沖擊區和沖擊衰減區時，采用自適應閾值進行劃分，由于內圈信號幅值存在周期性變化，對于內圈軸承故障信號智能分類時效果相對較差，如何更精確地區分故障沖擊區和沖擊衰減區，可作為下一步工作重點。

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Evaluation method of rolling bearing damage degree based on variable scale Lempel-Ziv

CUI Ling-li，AN Jia-lin，WANG Xin，ZHANG Jian-yu

（Beijing Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology，Faculty of Materials and Manufacturing，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

Abstract： In the traditional Lempel-Ziv complexity （LZC） calculation process，the binary processing changes the dynamic charac? teristics of the original sequence and lead to the low computational efficiency . Combined with the impact characteristics of bearing faults，a compound dictionary matching pursuit （CDMP） algorithm is proposed，and variable scale Lempel-Ziv complexity （VL? ZC） analysis is combined to evaluate the damage degree of inner and outer rings of rolling bearings . CDMP is used to reconstruct the original signal and detect the periodic impact component in the signal . According to the impact amplitude，the reconstructed sig? nal is divided into bearing fault impact area and impact attenuation area . After the impact in the signal is binarized by variable scale， it is regarded as the basic element of iteration and the VLZC index is calculated by ergodic search method . According to the 3σ prin? ciple，the VLZC indexes of the inner and outer rings are given . The VLZC value range of damage degree and BP neural network are introduced to classify the damage degree intelligently . The results show that the new method can effectively reduce the noise， retain the periodic impact characteristics in the signal，suppress the non-impact components，improve the iterative calculation effi? ciency，and effectively evaluate the damage degree of the inner and outer rings of rolling bearing .

Key words ： fault diagnosis；composite dictionary matching pursuit；variable scale Lempel-Ziv；binarization；BP neural network

作者簡介：崔玲麗（1976—），女，教授，博導。電話：13691178029；E-mail：cuilingli@bjut .edu .cn。