fGn激勵下非線性系統近似方法適用性的解析分析

鄧茂林 朱位秋

摘要：由于受分數高斯噪聲（fGn）激勵的非線性系統響應不再具有馬爾科夫性，基于擴散過程的理論方法不能直接用于研究此類問題。作為近似方法，寬帶噪聲激勵的擬哈密頓系統隨機平均法已經被用于解決此類問題。雖然，該理論方法在響應預測和可靠性分析方面取得了較好的效果，但是到目前為止還沒有做過對近似方法的誤差和適用性的解析分析。在本研究中，將近似方法用于分析fGn激勵下的單自由度非線性系統，得到了系統響應的近似解析解，再結合已報道的精確解析解，用漸近分析的方法進行了誤差分析，從而對近似方法的適用性進行了論證，為將來能夠進一步擴展近似方法的應用提供了理論依據。

關鍵詞：非線性系統；寬帶噪聲；分數高斯噪聲；擬哈密頓系統隨機平均法

中圖分類號： O324??? 文獻標志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1076-08

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.005

引言

在隨機動力學的理論研究和隨機振動相關的應用研究中，高斯白噪聲得到了非常廣泛的應用，究其原因，一方面是因為高斯白噪聲是許多實際噪聲的良好的數學模型；另一方面是因為與高斯白噪聲相關的數學理論已經發展得非常成熟[1?2]，受高斯白噪聲激勵的線性系統已經能夠得到解析解。至于受高斯白噪聲激勵的非線性系統，根據系統響應過程的馬爾科夫性，可以應用基于擴散過程的理論方法進行研究，其中就包括哈密頓理論體系框架內的非線性隨機動力學的系列理論方法[3?4]。近年來，隨著分數階微積分應用研究的深入，自然界和工程界中的分數高斯噪聲（fGn）受到越來越多的關注，并被引入到隨機動力學中[5?6]。

fGn是一類具有特殊相關結構與譜密度的高斯色噪聲，它的特點是具有長相關性[7?8]，受fGn激勵的系統響應不是馬爾科夫過程。根據相應的隨機平均原理[9?11]，發展了fGn激勵的擬哈密頓系統隨機平均法[12?13]，導出了系統響應滿足的分數階伊藤隨機微分方程。由于與分數布朗運動相關的隨機微分方程理論尚在發展之中[14?15]，目前無法解析地預測系統響應，只能通過對分數階伊藤隨機微分方程做數值模擬得到系統的響應，因此，發展近似的理論方法就顯得尤為重要。一種已被應用的近似方法就是寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統隨機平均法，該法已經被成功應用于fGn激勵下多自由度強非線性系統的響應預測和可靠性分析[16?17]。近似方法利用了fGn的功率譜在頻率遠離零點的范圍內比較平坦的特點，fGn過程具有局部寬帶的特性。由于高維 FPK 方程難以得到解析解，對該近似方法的適用性分析也只能是通過數值解和模擬結果的比較來進行，尚缺乏嚴謹的理論分析。本研究正是想彌補這個缺陷，通過把寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統隨機平均法應用于一個典型的受fGn激勵的單自由度非線性系統，得到了系統響應的近似解析解，再通過與已報道的精確解析解相比較[18]，用漸近分析的方法進行了誤差分析，論證了近似方法的適用性。這將使得近似方法在將來應用于fGn激勵的多自由度強非線性系統穩定性與控制等更多更深入的研究中有堅實可信的理論依據。

1? fGn激勵下單自由度非線性系統的響應

寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統隨機平均法適用于研究多自由度強非線性系統[3，19]，但是多自由度強非線性系統往往含有太多的非線性參數，且系統響應一般沒有解析解，不便于對理論方法的適用性和誤差進行解析的分析。此處考慮如下受fGn激勵的單自由度非線性系統：

其中僅有參數 k 起著量化系統非線性強弱的作用；噪聲 W （ t ）即是fGn，它具有如下自相關函數 R（τ）和功率譜密度 S（ω）[5，7?8]：

式中? 2D 為噪聲 W （ t ）的強度，當 D =0.5時， W （ t ）為單位fGn；?為 Hurst 系數，它決定了fGn的性質。當 0<?<時，fGn沒有傳統意義上的功率譜，不能作為實際工程振動中激勵力的模型[5]。圖 1顯示了<?<1時單位fGn的相關函數 R（τ）和功率譜 S （ω），當?= 或?=1時，式（2）不能直接計算，可采用以下極限形式：

可見，當?→時，fGn的功率譜密度趨于常數，自相關函數趨于δ函數，這對應于高斯白噪聲過程；當?→1時，fGn功率譜密度趨于δ函數、而自相關函數趨于常數，這對應于高斯分布的隨機變量；當<?<1時，fGn是介于上述兩者之間的有色高斯噪聲，其最重要的性質就是當前噪聲值與歷史噪聲值有著長相關性（又稱長記憶性）[5，8]。

系統（1）的哈密頓函數 H（ X，X? ） 也是系統的總能量函數，它可以表示為：

其中：

假定系統（1）的退化的保守系統在平衡點附近具有周期解，在弱激勵和弱阻尼的條件下，可假定系統（1）的響應具有如下隨機周期解的形式：

式（6）中的振幅 A 是哈密頓量 H 的確定性函數，v 是瞬時頻率，它與哈密頓量 H 和相角Φ之間的關系可由式（4）和（6）推導得：

上式表明，v 是Φ的偶函數，可以展開成以下傅里葉級數：

即可得平均頻率 （ H ）=，稱其為非線性系統的主頻率，并可表示成以下級數形式：

上式表明主頻率位于退化線性系統的頻率ω n 附近，因受非線性參數 k 的影響而有所偏離，且在振動過程中，主頻率隨系統能量 H 的變化而變化，在以后做平均運算的時候將用到以下近似關系：

式（6）可被視為從系統（1）運動狀態 X（ t ），X? （ t ）到 H（ t ），Θ（ t ）的變換，據此系統（1）可變換為以下等效的運動方程：

如前所述，受fGn激勵的系統（1）的響應不是馬爾科夫過程，但是考慮到對系統響應起主要作用的是系統主頻率及其倍數頻率附近的噪聲成分，當這部分噪聲具有寬帶性質時，可應用寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統隨機平均法[19]。系統哈密頓過程 H （ t ）收斂于馬爾科夫擴散過程，受如下平均后的伊藤隨機微分方程支配[20]：

式中? B （ t ）是單位布朗運動過程（或稱維納過程），漂移系數 a （ H ）和擴散系數σ2（ H ）可按下式得到：

式中? t 表示對時間 t 的平均，它可以用對相角Φ

為得到上述 FPK 方程中 a （ H ）和σ2（ H ）兩系數的顯式，可先把 F（ H ），G（ H ），G（Θ）展開成關于Φ的傅里葉級數，再對τ積分和對Φ進行平均，最終得兩系數為：

穩態 FPK 方程（15）可被整理成伯努利型微分方程，并有如下形式的解[3]：

式中? C 為歸一化常數。從式（16）可見，fGn對系統響應的貢獻是通過 S（），S （3），S （5） …等功率譜密度值來實現。只要這些頻率附近的功率譜密度緩慢變化，fGn就可以被近似為寬帶噪聲。

為了分析非線性參數 k 對系統響應的影響，可將式（17）表示成如下級數形式：

式中? S = S（ω n ），S '= S '（ω n ），S ″= S ″（ω n ），符號“'”和“''”分別表示一次和二次導數。從式（18）可知，當系統非線性較弱時，可僅取 k 的一次項，響應 p （ H ） 只受譜密度值 S（ω n ）及其導數 S '（ω n ）的影響；當系統非線性強一些時，可取到 k 的二次項，影響 p （ H ） 的因素多了 S（3ω n ）和二階導數 S ″（ω n ），隨著系統非線性增強，影響 p （ H ）的因素將包括更高倍頻處的譜密度值和譜密度的更高階導數。

概率密度 p （ H ）也可表示成如下 H 的無窮階矩的形式：

更多系統響應的統計特性可以從 p （ H ）導得，比如系統位移 X 的各階矩：

用式（19）中的 E [ H n ]或式（20）中的 E [ X 2n ]來分析非線性參數 k 對系統響應的影響，結論與前述以式（18）中的 p （ H ）來分析的結果相同，隨著系統非線性增強，影響系統響應的將包括更高倍頻處的譜密度值和譜密度的更高階導數。

2 fGn激勵下單自由度線性系統的響應

當非線性參數 k =0時，系統（1）退化為以下fGn激勵的單自由度線性系統：

應用線性隨機振動的譜分析法已得到其精確響應為[18]：

式中 ζ=γ（2ω n ）；Γ（?）為 Gamma 函數。考慮到響應為零均值高斯隨機過程，在式（22）基礎上，可進一步推導得概率密度和其他統計量的精確解。根據概率論，可得如下與p （ H ）對應的特征函數 M（ z ）為：

其中 H 的各階矩Eexact [ H n ]有如下精確解：

式中 2 F 1（?，?，?，?）為超幾何函數。注意到fGn激勵的線性系統響應仍然是高斯分布的，可以得到以下位移各階矩的精確解：

前述寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統隨機平均法已經被應用于fGn激勵下多自由度強非線性系統的響應預測和可靠性分析，并通過數值誤差分析指出，當系統主頻率落在fGn功率譜密度中比較平坦的范圍內時，近似方法是適用的[16?17]。在這里，鑒于容易獲得單自由度線性系統響應的解析解，僅對線性系統做出解析分析。考慮線性系統（21）受如下限帶白噪聲 W （ t ）激勵（如圖2中實線所示）：

系統均方響應為[2] ：

其中函數 I（ x ）如圖3（ a ）所示。

由圖3可見，阻尼率ζ越小，在ωω n =1處的 I （ x ）曲線越陡，這說明，只要區間（ω1，ω2）包括了ω n，就有 I（ω2ω n ）- I （ω1ω n ）≈1，限帶白噪聲的響應可以用白噪聲的響應 E [ X 2]=πS0（2ζω n（3））來近似。再考慮 W （ t ）為 S（ω n ）= S0，（ω1，ω2）內的功率譜密度是具有斜率 S '（如圖2中虛線所示）的限帶噪聲，即：

可以得到系統均方響應為（推導過程略）：

其中函數 J（ x，y ）如圖3（b）所示。可見，斜率 S '改變了ωω n =1 處曲線的陡峭程度， J （ω2ω n，S 'ω n S0）- J （ω1ω n，S 'ω n S0）能否約等于1，也即 E [ X 2]能否近似為白噪聲的響應，是受斜率 S '影響的。只有當斜率 S '比較小，即譜密度曲線比較平坦時才可以。

3 近似方法適用性的分析

在前述用寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統隨機平均法得到的fGn激勵下單自由度非線性系統（1）響應的近似解析解p （ H ），E [ Hn ]和 E [ X 2n ]（見式（18），（19）和（20））中令 k =0，就得到fGn激勵下線性系統（21）響應的近似解析解。同時，系統（21）的響應有精確解析解（見式（24）和（25））。這樣就可以近似計算方法預測線性系統響應時的誤差，比如：

式中? e n（H）和 e2n（X）分別是用系統能量矩 E [ H n ]和位移矩 E [ X 2n ]來定義的相對誤差。圖 4，5顯示了 e n（H）和 e2n（X）隨 Hurst 系數?、線性主頻率ω n 及系統阻尼系數γ的變化情況。圖 4，5表明，當?越接近于和ω n 越大時，近似解的誤差越小，原因在于此時fGn具有較寬的頻帶。圖4，5還表明，對響應低階矩 E [ H ]和E [ X 2]的近似解誤差要低于對響應高階矩 E [ H 2]和E [ X4]的近似解誤差。γ=2ζω n 是線性系統（21）幅頻響應特性的半功率帶寬[2] ，它衡量了系統能在ω n 附近多大頻率范圍內吸收噪聲的能量。比較圖4（ a ）與圖6（ a ），或比較圖5（ a ）與圖6（b）表明，γ增加時，近似解誤差增加。觀察近似解式（18），（19）和（20）可知，k =0時，fGn功率譜密度中僅譜值 S（ω n ）出現在近似解的表達式中，鄰域噪聲成分的影響被近似解忽略了，這就是γ增加，近似解誤差增大的原因。

當fGn激勵的非線性系統（1）中 k >0時，從近似解式（18），（19）和（20）可以看出，除退化線性系統頻率ω n 外，其倍頻3ω n，5ω n，…上的譜密度值和譜密度的各階導數也出現在近似解的表達式中。因此，對于fGn激勵的非線性系統（1），當退化線性系統頻率及其倍頻ω n，3ω n，5ω n，…都處于fGn功率譜密度曲線較為平坦的范圍內時，誤差較小，近似方法更適用。若要分析非線性因素對系統響應的影響，

可以借助式（18），（19）和（20）進行解析分析。由于哈密頓量 H 在非線性系統的響應預測、可靠性分析和穩定性分析中具有重要的地位，這里就以 H 為響應量進行分析。結合式（19）可知以下比值：

η n（H）表示在 n 階能量矩 E [ H n ]中，由非線性因素k 帶來的那部分響應量在整個響應量中的占比。圖 7分別示出了高斯白噪聲（?=0.5）和fGn激勵（?=0.75）下非線性響應量占比隨參數 k 的變化情況。圖 7表明，無論高斯白噪聲激勵還是fGn激勵，也無論 k 為何值，非線性因素對高階矩的影響都要大于對低階矩的影響。對圖7（ a ）與圖7（b）中相同η1（H），η2（H）或η3（H）的比較表明，高斯白噪聲激勵下η n（H）隨 k 增加較緩慢，而fGn激勵下η n（H）隨 k 增加較急速。換言之，在 Hurst 系數?和非線性因素 k 的共同影響下，能量矩 E [ H n ]有著非常大的變化。應用寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統隨機平均法所得到的理論結果能夠準確地體現出非線性因素的影響。

4 結論

通過fGn激勵下線性系統響應的精確解析解與用寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統隨機平均法所得的近似解析解之間的比較可知，只要系統固有頻率所在頻段的功率譜密度曲線比較平坦，近似解析解的誤差就會較小。對于fGn激勵的非線性系統，主頻率及其倍數頻率處的譜密度值和譜密度的各階導數會影響解析解精度。可以預計的是，對強非線性系統，當fGn功率譜密度曲線在系統主頻率及其倍數頻率處較為平坦時，響應近似解析解的誤差較小。分析表明，近似解析解也能反映出 Hurst 系數和非線性參數對響應量有較大的影響。總之，在fGn功率譜密度曲線較平坦的區域內，寬帶噪聲激勵下擬可積哈密頓系統隨機平均法適合于研究fGn激勵下的多自由度強非線性系統的動力學。

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Analytical analysis on the applicability of an approximate method to nonlinear systems driven by fGn

DENG Mao-lin，ZHU Wei-qiu

（Institute of Applied Mechanics，School of Aeronautics and Astronautics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

Abstract： Due to the non-Markov property of response of a nonlinear system driven by fractional Gaussian noise （fGn），the diffu? sion process theory cannot be applied . As an approximate method，the stochastic averaging method for multi-DOF strongly nonlin? ear systems driven by wideband noise has been applied to study nonlinear systems driven by fGn . The results show that the approxi? mate method is very effective in the response prediction and the reliability analysis . However，so far there has been no analytical analysis on the error and applicability of the approximate method . In the present paper，the approximate method is applied to study a single-DOF nonlinear system driven by fGn and some analytical solutions are obtained . By comparing with reported exact analyti? cal solutions，the error analysis is performed and the applicability of approximate method is determined . The conclusion of the pres? ent paper can be the theoretical foundation for further application of the approximate method .

Key words： nonlinear system；wideband noise；fractional Gaussian noise （fGn）；stochastic averaging method of quasi Hamiltonian systems

作者簡介：鄧茂林（1973—），男，副教授。E-mail：mldeng@zju .edu .cn。

通訊作者：朱位秋（1938—），男，教授，中國科學院院士。電話：（0571）87991150；E-mail：wqzhu@zju .edu .cn。