考慮非局部應變梯度效應的軸對稱壓電納米圓板熱-力-電耦合振動

羅秋陽 李成

摘要：基于非局部應變梯度理論和Mindlin板理論，研究了熱?力?電多場耦合下軸對稱壓電納米圓板的振動特性。通過 Hamilton 原理推導了非局部應變梯度本構框架內的運動方程，采用微分求積法數值求解了理論模型微分方程組，分析了壓電納米圓板的振動固有頻率受內尺度參數與外場參數的影響。壓電納米圓板的固有頻率隨著非局部參數的增大而減小，隨著應變梯度特征參數的增大而增大。當非局部參數小于應變梯度特征參數時，納米圓板表現出剛度硬化行為；當非局部參數大于應變梯度特征參數時，表現出剛度軟化行為。當非局部參數等于應變梯度特征參數時，納米圓板的剛度退化為相應的經典連續介質理論結果。此外，固有頻率隨著徑向壓力和正電壓的增大而減小，隨著徑向拉力和負電壓的增大而增大，隨著溫差的增加而小幅減小。特別地，研究發現當徑向載荷和電壓增大到一定程度時，納米圓板出現了振動失穩現象，并分析了非局部參數與應變梯度特征參數對失穩臨界徑向載荷及臨界電壓的影響。

關鍵詞：耦合振動；壓電納米圓板；非局部應變梯度；Mindlin板理論；軸對稱

中圖分類號： O326；O343.1??? 文獻標志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1118-12

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.009

引言

近年來，各種壓電材料和結構成為研究熱點[1?4]。當尺寸減小到納米量級時，壓電納米材料和結構因為具有優越的熱、電、機械、物理和化學性能，使其在納機電系統中有著廣泛的應用。研究壓電納米結構的力學性能對于納機電系統的設計、調控及優化具有重要意義。

大量研究表明，當微結構處于納米尺度時，其力學性能將呈現明顯的尺度效應[5?6]。此時經典連續力學理論無法適用，因此需要發展納米尺度下的新的理論與方法[7?8]。建立和發展能準確描述納米結構尺度效應的非經典連續介質理論是當前納米力學的研究前沿之一。其中，由 Lim 等[9]提出的非局部應變梯度理論，考慮了納米材料和結構的非局部效應和應變梯度效應，是近年來應用最廣泛的非經典連續介質理論[10?12]。Mehrez等[10]推導了彈性地基上非局部應變梯度石墨烯片的振動控制方程，探究了磁場、彈性基礎、納米粒子數量和質量、非局部參數以及應變梯度特征參數等對石墨烯片振動特性的影響。Wu 等[11]基于非局部應變梯度理論和改進的雙曲剪切變形梁理論，建立了尺寸不均勻梁模型，研究了在外加諧波激勵下，功能梯度增強復合納米梁的非線性振動。Gholipour等[12]研究了非線性非局部應變梯度理論下的功能梯度 Timoshenko 納米梁模型，并分析其動力學特性。基于非局部應變梯度理論，既考慮非局部效應又考慮應變梯度效應，所以模型和結果更為全面[13?19]。因此，本文以非局部應變梯度理論作為主要研究方法。

隨著納米技術的發展，壓電納米材料被認為有可能實現納機電系統的自供電。王中林[20]采用氧化鋅納米線陣列作為納米發電機部件，當作用5 nN的外力時，輸出6.5 mV 的電壓，在納尺度下將機械能轉化為電能。Motezaker等[21]基于高階非局部理論研究了在頂部和底部表面集成了壓電層的環形納米板的振動、屈曲和彎曲。Eltaher等[22]考慮非局部效應與表面效應，研究了壓電多孔納米梁彎曲和自由振動，探討了各類因素對壓電多孔納米梁的機電性能的影響。Karimiasl等[23]通過非局部理論推導了嵌入黏彈性地基中的磁電黏彈性壓電納米板在濕熱環境下的控制方程組，并求出其臨界載荷的解析解。

不過，盡管已有部分學者對壓電納米結構的振動開展了若干研究，但大多數文獻是基于非局部理論，僅少數文獻[24?25]考慮了非局部應變梯度效應。Arefi等[24]基于非局部應變梯度理論與各類高階剪切變形梁理論推導了夾層壓電納米梁的控制方程，分析了動態失穩區域特征。Masoumi等[25]研究了撓曲電現象對壓電納米梁色散特性的影響，考慮 Reddy 高階剪切變形理論以及非局部應變梯度理論推導控制方程，分析了撓曲電效應和施加電壓對色散的作用。已有一些研究基于非局部應變梯度理論分析壓電納米梁模型，然而對納米圓板模型的研究未見報道。考慮到納米圓板作為納機電系統的結構之一，常工作于多物理場環境中。因此，本文基于非局部應變梯度理論，研究在熱?力?電多場作用下軸對稱壓電納米圓板的振動特性，分析了非局部參數、應變梯度特征參數以及熱?力?電場耦合對壓電納米圓板振動的影響。當然，納米尺寸結構還存在表界面效應問題。以納米圓板為例，當徑厚比超過50時，納米圓板的表界面效應不可忽略[26]。本文利用Mindlin板理論研究中厚納米圓板，其徑厚比不低于20，此時相比于表界面效應，非局部效應和應變梯度效應占主導地位。

1 力學模型與基本方程

壓電納米圓板模型如圖1所示，其中半徑為 R，厚度為 h，受到徑向均布載荷 q（單位：N/m）、外部電勢Φ（單位：V）和溫差ΔT（單位：K ）的作用，外邊界約束考慮為常見的簡支和固支兩類。

根據非局部應變梯度理論，計及壓電效應的基本方程為[27]：

式中σij，ε kl，Di 和Em分別表示應力、應變、電位移以及電場；cijkl，emij和 sim 分別表示彈性模量、壓電常數和電介質常數；ea和 l 表征了非局部效應和應變梯度效應的影響；[·]表示矩陣，{·}表示數列。拉普拉斯算子?2=?2?r2+? r?r。

將基本方程引入到納米圓板模型中可得其本構方程為：

其中：

對式（2）積分，且考慮柱坐標系下的圓板幾何方程ε r = z ，εθ= z ，γrz =φ+，可得：

剪力彎矩；κ=為剪切修正因子，其余系數如下：

根據Mindlin板理論，軸對稱納米圓板的徑向位移ur和橫向位移uz可表示為：

式中? w （r，t ）表示圓板中面上任意一點的橫向位移，φ（r，t ）表示圓板中面法線的轉角，t 為時間變量。

假設電勢由線性函數和正弦函數組成且滿足Maxwell 方程[28]：

式中 β=π/h，?（r，t ）表示圓板中面上任意一點的電勢，V0為外部電壓。

則電位移與電場的關系為：

通過 Hamilton 原理可推得軸對稱壓電納米圓板的振動控制方程，即：

式中? U，T 和 K 分別表示系統的應變能、動能和外力做功。

軸對稱壓電納米圓板的應變能可表示為：

則應變能變分為：

軸對稱壓電納米圓板的動能可表示為：

則動能變分為：

其中：

式中ρ為圓板的體密度。

外力做功為：

則外力做功的變分為：

式中 NE =-2 31 V0，NF = q，NT =11 hΔT。

將式（12），（14）和（17）代入式（10），可得軸對稱壓電納米圓板的經典控制方程為：

引入以下無量綱量：

式中? 2表示無量綱化的拉普拉斯算子。

式（25）～（27）中，設其解為：

邊界條件為：

2? 求解方法

軸對稱壓電納米圓板的振動控制方程組包含三個四階偏微分方程，本文采用微分求積法進行數值求解。微分求積法的本質是對全域范圍內所有節點的函數值進行加權求和，以表示該函數及其導數在所選節點的值。函數 W 的 n 階導數可近似為：

式中ξm 為域中第 m 個節點，N 代表域中的節點數， C m（n））為 n 階導數的加權函數。這里用切比雪夫多項式作為節點的選取方式，可得：

權系數表示為：

高階導數可以看成對一階導數的求導，于是有：

將式（33）代入式（29）～（31），可得軸對稱壓電納米圓板在微分求積法下的離散方程為：

式中 j =2，3，…，N -1。

將方程（37）～（39）結合邊界條件，可得特征方程為：

式中 K，M 分別為剛度矩陣和質量矩陣，下標 d 表示控制方程，下標 b 表示邊界條件；q 表示節點位移： q 1={w? 1，w? 2，…，w? N }T，q2={ 1，2，…， N }T，

3 數值結果與討論

考慮厚度為2.5 nm ，半徑為50 nm ，采用 PZT ?4材料做成的壓電納米薄板，材料參數如表1 所示。在計算中選取節點數 N=18，研究外邊固支（C）、外邊簡支（S）兩種邊界下壓電納米圓板的振動特性，探索非局部參數、應變梯度特征參數、徑向均布載荷、電場和溫度場對無量綱固有頻率的影響。

根據文獻[29?30]，用于制備納米圓板的常用材料的非局部參數ea一般不超過2 nm ，因此 PZT ?4材料的非局部參數也應在[0，2 nm]范圍內，應變梯度本征常數 l 也相應地取在[0，2 nm]范圍。

為了驗證上述計算結果的準確性，將理論模型退化為宏觀尺寸圓板的自由振動。結合邊界條件，計算了外邊固支和簡支情況下宏觀圓板的前7階固有頻率，并與文獻[31]進行對比，如表2所示。從表2可見本文中的結果與文獻[31]中的結果非常接近，因此驗證了本文數值方法的有效性和數值結果的準確性。

圖2計算了應變梯度特征參數 l 分別取0，0.5，1，1.5和2 nm 時，非局部參數ea對固支和簡支外邊界下納米圓板前兩階無量綱固有頻率的影響。壓電納米圓板的振動固有頻率隨著非局部參數ea的增大而減小，固有頻率的降低意味著納米結構剛度的弱化，這表明非局部參數對納米結構起到軟化作用。

圖3給出了非局部參數ea分別取0，0.5，1，1.5和2 nm 時，應變梯度特征參數 l 對納米圓板前兩階固有頻率的影響。可見振動固有頻率隨著應變梯度特征參數的增大而增大，因此應變梯度特征參數對納米結構起到硬化作用。

圖4顯示了固支和簡支兩種邊界下，非局部參數與應變梯度特征參數的比值ea/l 對納米圓板前兩階固有頻率的影響。壓電納米圓板的固有頻率隨著ea/l 的增大而減小。從理論本構上顯見，當ea=l=0時，結果將退化到經典連續介質模型結果。實際上，只要當ea=l，即使二者不為零，壓電納米圓板的固有頻率都將不隨ea/l 的改變而改變，且固有頻率退化為經典連續介質理論結果，這表明兩類內尺度參數對納米結構的軟/硬化作用相互抵消。這一特殊現象表明：兩類內尺度參數對壓電納米圓板振動特性的影響存在內在關聯。首先，非局部參數的存在削弱了納米圓板的等效剛度，應變梯度特征參數則增強了納米圓板的等效剛度，二者作用趨勢相反，但作用強度恰好相同，因此在相反趨勢中存在一個特殊點使得二者作用效果互相抵消。其次，非局部參數與應變梯度特征參數的量級相當，這就使得當二者大小相等時，一側所引起的軟化效果正好填補了另一側的硬化效果，因此即使兩類內尺度參數沒有分別為零，非局部應變梯度理論結果仍然回歸到經典連續介質理論結果。當ea<l 時，振動固有頻率大于經典連續介質理論下的固有頻率，此時內尺度參數對壓電納米圓板的剛度起到硬化作用；當ea>l 時，振動固有頻率小于經典連續介質理論結果，此時內尺度參數對壓電納米圓板的剛度起到軟化作用。因此，非局部參數與應變梯度特征參數這兩類內尺度參數之間存在耦合關系，二者相比的數量關系將決定非局部應變梯度理論中內尺度效應的具體體現，亦即壓電納米圓板中的動力軟化或硬化現象。

圖5計算了 l=0.5 nm，ea=1 nm 時，徑向均布載荷對壓電納米圓板前4階無量綱振動固有頻率的影響，可見固有頻率隨著徑向壓力的增大而減小，隨著徑向拉力的增大而增大。在徑向壓力從0增長到6 N/m 的過程中，第一階和第二階固有頻率相繼減小至零，壓電納米圓板的振動出現失穩，表明振動對徑向外力的作用較為敏感。簡支邊界下壓電納米圓板在承受集度為1.541 N/m 的均布壓力時開始失穩，而固支邊界下在承受集度為2.518 N/m 的均布壓力集度時開始失穩，表明簡支外邊界約束較固支外邊界更易受外部壓縮載荷干擾。

為進一步研究非局部參數與應變梯度特征參數對結構失穩時徑向均布載荷臨界值的影響，表3和表4分別計算了固支和簡支邊界下，第一階臨界徑向均布載荷隨內尺度參數的變化。由表中可以看出，臨界徑向均布載荷隨非局部參數的增大而減小，隨應變梯度特征參數的增大而增大。臨界徑向均布載荷越大代表結構剛度越大，這一現象再次驗證前文結論。

圖6分別給出了 l=0.5 nm，ea=1 nm 時，固支和簡支邊界壓電納米圓板上下表面的外部電壓 V0對前4階無量綱振動固有頻率的影響。壓電納米圓板的固有頻率受外部電壓的影響較大，電壓從?0.2 V 增加到0.2 V 時，壓電納米圓板的固有頻率出現明顯的下降。這是因為當正電壓作用在納米圓板的上下表面時，圓板面內產生徑向壓縮效果，削弱圓板的剛度，導致固有頻率隨著正電壓的增大而減小；當負電壓作用在納米圓板的上下表面時，圓板面內產生徑向拉伸效果，導致固有頻率隨著負電壓的增大而增大。這在物理上可解釋如下：由電壓引起的壓力表達式 NE =-2 31 V0，可知當正電壓加載在納米圓板上下表面時，壓電系數31可將 z 方向的電壓轉化為 r 方向的徑向內力，且31為負值，所以 NE 為正值，即徑向壓縮效果；而當負電壓加載在納米圓板上下表面時，引起的壓力 NE 為負值，即徑向拉伸效果。

特別地，當電壓增大到一定值時，第一階和第二階固有頻率相繼減小為零，系統出現失穩。簡支邊界下壓電納米圓板在電壓取0.0591 V 時失穩，而固支邊界下壓電納米圓板在電壓取0.0965 V 時失穩，同樣的外部靜電壓對簡支壓電納米板的約束力乃至內力產生更大的影響，因此更容易發生失穩。

為進一步研究非局部參數與應變梯度特征參數對結構失穩時臨界電壓的影響，表5和表6分別計算了固支和簡支邊界下，第一階臨界電壓隨內尺度參數的變化。可見臨界電壓隨非局部參數的增大而減小，隨應變梯度特征參數的增大而增大。臨界電壓越大代表結構剛度越大，再次驗證了前文結論。

圖7討論了固支和簡支兩種邊界下，l=0.5 nm 和ea=1 nm 時，溫差ΔT 對壓電納米圓板前4階固有頻率的影響。壓電納米圓板的固有頻率受溫差影響相對較小，在溫差由?600 K 升到600 K 時，固有頻率小幅下降。這是由于溫度升高會使材料膨脹從而產生徑向壓力，導致固有頻率降低，但 PZT?4壓電材料的熱釋電常數和熱彈性模量較小，對溫度不敏感，這使得壓電納米圓板的固有頻率受溫度變化影響也較小。

為了進一步揭示多場耦合情形下軸對稱壓電納米圓板的振動特性，圖8～10分別給出了壓電納米圓板一階頻率隨徑向均布載荷、電壓以及溫差的變化關系，其中體現了熱?力?電多場參數的共同作用，并給定尺度參數 l=0.5 nm，ea=1 nm 。由圖8（ a ）可知，當Δ T=-400 K ，V0=-0.2 V 時，q 從-2 N/m 變化到2 N/m 將引起一階頻率降低22.66%；當ΔT=-400 K，V0=-0.1 V 時，一階頻率降低了33.26%。這表明電壓與徑向載荷對振動固有頻率的影響存在耦合效應，即負電壓的減小助推了徑向壓力增大帶來的納米圓板剛度削弱的現象，且彼此耦合程度較大。當ΔT=400 K，V0=-0.2 V 時，q 從-2 N/m 變化到2 N/m 將引起一階頻率降低23.71%。這表明溫度和徑向載荷之間也存在耦合效應，但彼此耦合程度較低。由圖8（b）可見固支邊界條件下也有類似現象。同樣地，根據圖9和10，可以發現溫度和電壓之間也存在耦合效應，但耦合程度較低。此外，外物理場參數不影響內尺度參數對壓電納米圓板振動頻率的作用機制。

4 結論

1）振動固有頻率隨非局部參數的增大而減小，隨應變梯度特征參數的增大而增大。當非局部參數小于應變梯度特征參數時，壓電納米圓板表現出硬化特征；當非局部參數大于應變梯度特征參數時，表現出軟化特征；當非局部參數等于應變梯度特征參數時，壓電納米圓板的剛度保持不變并等于相應的經典連續介質理論結果。非局部參數和應變梯度特征參數對壓電納米圓板的作用強度相當。

2）壓電納米圓板固有頻率隨徑向壓力和正電壓的增大而減小，隨徑向拉力和負電壓的增大而增大。在一定的徑向載荷和電壓作用下，納米圓板的振動出現失穩現象。臨界徑向載荷與臨界電壓均隨著非局部參數的增大而減小，隨著應變梯度特征參數的增大而增大。

3）壓電納米圓板固有頻率隨溫差的增大而略有減小，相比于外部力場和電場，壓電納米圓板振動對溫度變化相對不敏感。簡支外邊界與固支外邊界條件相比，壓電納米圓板的振動對前者相對更敏感。外物理場參數對壓電納米圓板振動特性的影響存在相互耦合，但不影響內尺度參數對壓電納米圓板振動頻率的作用機制。

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Thermal-mechanical-electrical coupling vibration of axisymmetricpiezoelectric circular nanoplates accounting fornonlocal strain gradient effects

LUO Qiu-yang1，LI Cheng1，2

（1.Department of Vehicle Engineering，School of Rail Transportation，Soochow University，Suzhou 215131，China；2.School of Automotive Engineering，Changzhou Institute of Technology，Changzhou 213032，China）

Abstract： The coupling vibration performances of axisymmetric piezoelectric circular nanoplates under thermo-electro-mechanical fields are studied based on the nonlocal strain gradient theory and Mindlin plate theory . Hamilton’s principle is used to develop the equations of motion in the framework of nonlocal strain gradient constitutive relations，and the differential quadrature method is ad? opted to solve differential equations describing the theoretical model . The influences of internal scale parameters and external field parameters on natural frequencies of piezoelectric circular nanoplates are analyzed . It shows that the natural frequency of piezoelec? tric circular nanoplate decreases with an increase of the nonlocal parameter，and increases with an increase of the strain gradient characteristic parameter . When the nonlocal parameter is less than the strain gradient characteristic parameter，the circular nano? plate demonstrates a hardening behavior . When the nonlocal parameter is greater than the strain gradient characteristic parameter， it demonstrates a softening behavior . When the nonlocal parameter is equal to the strain gradient characteristic parameter，the stiff? ness degenerates into the corresponding result of classical continuum theory . Additionally，it indicates that the natural frequencies decrease with an increase of the radial compressive load and positive voltage，and increase with an increase of the radial tensile load and negative voltage . The natural frequency decreases slightly with an increase of the temperature . In particular，it is found that while increasing the radial load and voltage to a certain value，the vibration instability occurs . The effects of the nonlocal parameter and strain gradient characteristic parameter on the critical radial load and critical voltage are analyzed accordingly .

Key words ： coupling vibration；piezoelectric circular nanoplate；nonlocal strain gradient；Mindlin plate theory；axisymmetric

作者簡介：羅秋陽（1996—），男，碩士研究生。電話：17761906520；E-mail：qyluo@stu .suda .edu .cn。

通訊作者：李成（1983—），男，教授。電話：18020272969；E-mail：licheng@suda .edu .cn。