具有無序尺寸肋骨配置的加筋圓柱殼振動局域化

紀剛 趙鵬 譚路 黃純文

摘要：為控制周期加筋圓柱殼在通帶振動的遠距離傳播問題，擬采取肋骨尺寸無序配置的方式實現將振動局限于振源附近，為此開展了具有肋骨尺寸無序配置的加筋圓柱殼振動局域化研究。為定量預報局域化因子，將加筋圓柱殼各周向模式振動沿軸向的傳播等效為耦合振子鏈的振動傳播問題。以加筋圓柱殼有限元振動分析的結果為輸入，使用結合波數分析的參數辨識技術給出了等效振子固有頻率參數和耦合參數，利用耦合振子鏈的無序局域化因子公式預報肋骨尺寸無序配置加筋圓柱殼的局域化因子，用于判斷振動局域化的發生。為預報局域化因子所需要的肋骨尺寸無序度參數使用了參考模型辨識技術。針對具有無序尺寸肋骨配置的加筋圓柱殼所開展的振動局域化分析結果表明，肋骨尺寸變化能導致單元對地剛度發生改變，從而導致單元固有頻率發生改變。因此，肋骨尺寸無序配置可實現振動局域化，具體程度同振動模式、肋骨尺寸無序度參數和頻率相關。

關鍵詞：振動控制；振動衰減；加筋圓柱殼；無序結構；局域化

中圖分類號： O328；U661.44??? 文獻標志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1138-09

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.011

引言

周期加筋圓柱殼結構是潛艇耐壓殼結構、飛機艙室結構等工程結構的原型結構，其振動特性為結構設計者所關注[1?5]。無限長周期加筋圓柱殼會存在“通帶”[?]68：特定周向模式的振動只能在通帶沿圓柱殼軸向傳播，形成模式傳導波；對給定周向模式的模式傳導波，通帶可以不止一個，不同通帶之間的間隙頻帶是“禁帶”，在禁帶，振動只能由振源隨傳播距離呈指數衰減傳播。對受迫振動的有限長周期加筋圓柱殼，模式傳導波會在殼體端部反射，并同入射波疊加，在滿足協調條件時形成共振。由于模式傳導波只能在通帶存在，因而共振頻率也將聚集于通帶，形成“模態聚集”現象[9]。從振動控制角度看，應當盡可能使激振頻率處于禁帶，使振動能量被局限于振源附近，即振動被“局域化”，如，潛艇尾部振源振動會在通帶遠距離傳遞，從而影響安裝于首部的聲吶使用，為此，需通過結構設計避免振動傳至艇首。

為控制加筋圓柱殼在通帶的振動傳遞特性，文獻[10]提出了以無序肋骨間距配置控制振動的思想，并開展了振動局域化研究，其基本原理是：通過肋骨間距隨機配置的方式形成肋骨間距無序配置結構，以破壞結構機械屬性的周期性，進而破壞其“通帶”特征。無序局域化現象首次由 Anderson 在研究電子傳播規律時發現[11]：在晶體中摻入雜質后，電子傳播能力下降。實際上，針對耦合擺[12]、耦合振子鏈[13?15] 、多跨梁[16?18] 、加筋板[19]和加筋圓柱殼模型[10，20]等結構的理論分析、數值仿真和實驗研究表明，無序配置也將使結構振動傳遞特性發生改變：在原型周期結構的通帶內，振動傳遞隨傳播距離的增加而呈指數衰減，表現為振動局域化特征。

振動局域化是無序結構的典型特征，它與波在無序結構中的隨機散射相關：傳導波在傳播過程中會因介質機械屬性的不同而產生無序散射，即使在通帶，能量也會因反射作用而被限制于激振源附近。從振動波形的空間分布上看，結構無序性所帶來的振動局域化效果類似于結構中因存在阻尼而形成的振動局域化效果，但無序局域化并非由能量耗散引起，因而對結構采取無序化設計是一種通過結構設計控制振動傳播的措施。

通常使用局域化因子定量表述振動局域化程度，它定量給出了傳播能量沿傳播方向的指數衰減率[17]。文獻[10]將加筋圓柱殼肋間殼段的給定周向模式振動比擬為彈簧振子單元振動，利用實驗測量了局域化因子。其測量方案分析表明，加強筋間距的無序布置將導致肋間殼段長度的無序，形成單元機械屬性的無序，從而導致振動局域化的發生。

肋骨是圓柱殼的支撐構件，肋骨尺寸的變化也將導致肋間殼段單元的機械屬性發生變化。采取不同尺寸的肋骨沿圓柱殼軸向無序布置，理應導致振動局域化的發生。為此，本文將重點針對沿軸向以無序方式布置不同尺寸肋骨的加筋圓柱殼進行振動局域化研究。以常規潛艇耐壓殼為原型的加筋圓柱殼為研究對象，建立定量預報肋骨截面尺寸無序模型局域化因子的方法，對無序模型局域化因子進行預報和檢驗，獲取振動局域化發生的相關規律。為規避針對加筋圓柱殼定量預報局域化因子需進行復雜解析分析的困難，受文獻[10]啟發，將加筋圓柱殼等效為耦合振子鏈振動，以有限元分析結果為輸入，應用波數分析技術和參數辨識技術獲取等效振子參數；最后再利用耦合振子鏈的無序局域化因子理論公式預報加筋圓柱殼的無序局域化因子。

1 加筋圓柱殼模型

以如圖1所示的周期加筋圓柱殼模型為基本模型，然后通過對基本模型的各肋骨尺寸進行隨機擾動，形成無序肋骨尺寸配置模型?；灸Ｐ偷闹鞒叨取搴?、環向加強筋及后續預報中使用的材料參數如表1所示。基本模型采用 T 型截面肋骨，與截面形狀相關的參數符號如圖2所示。

對肋骨尺寸進行擾動時，僅針對腹板高度進行擾動。為確保肋骨質量不變，在擾動腹板高度的同時，還需遵循截面面積不變的原則，即當腹板高度由 h 變為α h 后，腹板厚度由 t 變為 t/α。記腹板高度變化率為ζ，則ζ同α的關系為：

后續將通過對各肋骨腹板高度變化率進行各自獨立的無序擾動來形成無序尺寸肋骨配置：圓柱殼第i個肋位的肋骨腹板高度變化率ζi是在[?H，H ]范圍具有均勻分布概率密度的隨機變量，顯然各ζi具有相同的隨機特征參數值 H。

后續還將對模型開展有限元頻率響應分析，分析中使用的激振力如圖1所示：以徑向、簡諧點力方式作用于圓柱殼中部（第50號加強筋處），圓柱殼自由懸浮。這種激振方式可視作系列周向模式激振力的疊加，用于激發更多的殼體周向模式振動，便于開展不同周向模式振動傳遞特性的分析。通過變換不同的激振頻率參數，可分析獲得不同激振頻率的響應結果。分析中，將以1 Hz 為步長，計算模型從2～

2 對地剛度無序耦合振子鏈的局域化因子

具有無序尺寸肋骨配置的加筋圓柱殼振動將被等效為對地剛度無序的耦合振子鏈振動，為此，首先需給出對地剛度無序的耦合振子鏈振動的局域化因子。

具有對地剛度的耦合振子鏈如圖3所示。當耦合彈簧剛度 kc =0時，系統退化為系列獨立解耦的彈簧振子，各振子的質量均為 m，第i個振子的對地彈簧剛度為 ki =ks +εiks，εi為小參數，它是在平均對地剛度ks基礎上的振子對地剛度變化率。當耦合彈簧剛度 kc ≠0時，整個耦合系統的動力關系可表達為遞歸形式：

或：

式中 xi 代表第i個振子的位移復數幅值，ω為圓頻率，i為振子序號索引，i∈（-∞，+∞），Xi =（ xi -1，xi ） T （上標“T”代表“求轉置”）表征了第i個單元狀態，它由第 i?1個振子和第i個振子的位移復數幅值共同表征，第i個單元的狀態通過狀態傳遞矩陣Ti變換為第 i+1個單元的狀態。

式中ω0= ks /m 為周期振子鏈系統解耦彈簧振子的固有圓頻率；方差為σ2（εi ）=σεi（2），代表了振子對地剛度增長率的無序度。式（7）說明，無序局域化因子同耦合系數 V、振子固有頻率參數ω0（2）及對地剛度增長率無序度參數σε（2）i相關。

3 無序尺寸肋骨配置模型的局域化因子預報技術

為獲取無序尺寸肋骨配置模型的局域化因子，將加筋圓柱殼振動等效為耦合振子鏈系統振動。首先針對周期加筋圓柱殼模型（即基本模型）采取參數辨識技術獲取等效周期振子鏈參數，然后導出基本模型對地剛度變化率隨肋骨腹板高度變化率的變化關系，進而可用肋骨腹板高度變化率的無序度來表示等效對地剛度無序度，從而可利用耦合振子鏈的無序局域化因子理論公式預報無序尺寸肋骨配置模型的局域化因子。

等效的實質是將加筋圓柱殼進行周向模式的分解，將每一周向模式沿軸向的傳播比擬為特定振子鏈系統的振動傳播，利用兩者的相似特性進行參數辨識，給出同振子鏈各單元相等效的“加筋殼段”機械屬性參數。

3.1 等效耦合參數與固有頻率參數的辨識

基本模型的等效耦合參數與固有頻率參數以有限元分析結果作為輸入，結合波數分析的方法進行參數辨識。

首先針對基本模型進行頻率響應分析，可獲得其徑向振動速度場，記作 v （?，x，f），它是圓柱殼軸向位置 x、周向位置?和頻率f的函數。

然后對徑向速度場進行波數分析[? ]23：針對每一頻率，將圓柱殼的徑向振動場分解為系列行進波的疊加，用公式表示為：

式中? V cos 和 V sin 給出了各行進波分量的復數幅值，上標“cos ”，“sin”表示相應分量是“對稱模式”和“反對稱模式”，f為頻率，kx為軸向波數，n 為周向模式階數。 V cos 和 V sin具體計算為：

式中 L 為圓柱殼軸向長度。

記 W（ n，kx，f）為：

則 W（ n，kx，f）為頻率f下，具有截面周向模式 n 和軸向波數kx的行進波分量所具有的振動能量。若將 W（ n，kx，f）對kx積分：

則En （f）給出了給定頻率f下圓柱殼截面以周向模式 n 振動的總能量。

此外，還可給出“給定周向振動模式 n 下的截面振動能量沿軸向的分布”，表示為：

利用 W（ n，kx，f）可針對各離散的 n 繪制“行進波分量振動能量?軸向波數?頻率”色譜圖（即Wn ?kx ?f色譜圖），利用該色譜圖可給出等間距加筋圓柱殼的頻散曲線。圖 5是典型的Wn ?kx ?f色譜圖，圖中具有因振動能量較大而呈現的“亮色曲線”，它們來源于共振，同殼體模態和自然頻率相關，是圓柱殼截面以 n=5模式振動時、振動能量沿軸向傳播的頻散曲線。通常對給定周向模式，頻散曲線不止一根，說明圓柱殼具有多個通帶，對應于相鄰加強筋之間殼體的不同軸向振動模式。每根頻散曲線都具有和圖4相似的特征，說明相鄰加強筋之間殼體的每一軸向振動模式都可視作單自由度耦合振子鏈。因此，可針對各頻散曲線逐一辨識給出加筋圓柱殼的等效振子參數：對某一具體通帶，若頻散曲線下限圓頻率為ω-，圓頻率帶寬為 D，則根據式（3）和（5）的關系可得等效參數為：

為保證參數辨識的操作精度，還可給出“圓柱殼截面以周向模式 n 振動的總能量隨頻率的變化”曲線（即En ?f 曲線），如圖6所示，從該曲線可輔助判斷ω-和 D 的識別正確性。

在給出了通帶上、下限頻率后，將 W（ n，kx，f）沿頻率進行積分，如下式：

則還可給出該通帶振動能量的軸向波數分布特征，即 E n（D）?kx曲線，如圖7所示，用于識別通帶的軸向波數分布特征。

3.2對地剛度變化率的表達式

為后續能給出無序肋骨尺寸配置模型的無序度參數，以三個基本假定為前提，以分析加筋殼段的剛度構成入手，從工程應用角度給出“肋骨腹板高度變化率”與“加筋殼段對地剛度變化率”間的關系。

①小量假定。

小量假定意味著與小量相關的函數可通過泰勒展開并取一階近似表示。

最主要的小量是肋骨腹板高度變化率ζ（見式（1））。對 T 型截面肋骨，當腹板高度變化率為ζ時，截面相對腹板根部的面積慣性矩為：

則：

式中當ζ=0時，對應于基本模型，Ib （0）是基本模型肋骨截面相對腹板根部的面積慣性矩。由式（16）不難得到，因肋骨腹板高度變化而導致的截面面積慣性矩變化率ξ為：

度Kcylin和肋骨支撐剛度Kbeam的并聯，表示為：

式中：

是肋骨支撐剛度?加筋殼段剛度比，Kbeam是腹板高度變化率ζ的函數，Kcylin為常數。若Kbeam相對Kcylin很小，則β也是小量。

假定肋骨變形是平面內的變形，則肋骨對殼體的支撐剛度主要貢獻于環向彎曲剛度。由于彎曲剛度同肋骨截面相對殼體中面沿環向轉動的面積慣性矩成比例[6?7]，因此肋骨截面面積慣性矩變化率即為肋骨支撐剛度變化率，即：

故有：

式中 β（0）為基本模型的肋骨支撐剛度?加筋殼段剛度比，通過基本模型和參考模型辨識給出，ξ值由式（17）給出。

3.3無序尺寸肋骨配置模型的局域化因子

當各圓柱殼肋骨腹板高度變化率是獨立的隨機變量時，無序肋骨尺寸將引起加筋殼段單元對地剛度無序。

當第i個加筋殼段單元的肋骨腹板高度變化率ζi是在[-H，H ]范圍具有均勻分布概率密度的隨機變量時，利用式（17）和（22）的關系不難給出：第i個加筋殼段對地剛度變化率εi是在[-δβ（0） H，δβ（0）H ]范圍具有均勻分布概率密度的隨機變量。根據概率論的知識可知εi的方差為：

將加筋圓柱殼給定周向模式的通帶振動類比于耦合振子鏈振動，則可直接利用式（7）給出無序尺寸肋骨配置模型的振動局域化因子為：

4 實例模型的數值分析

為驗證前述理論的正確性，研究無序肋骨尺寸配置對振動局域化的影響規律，針對加筋圓柱殼實例進行了數值分析。

4.1? 辨識基本模型的肋骨支撐剛度-加筋殼段剛度比

為預報無序肋骨尺寸配置模型的局域化因子，首先需分別針對參比模型和基本模型獲得ω0（2）（ζ）和ω0（2）（0），然后利用式（24）計算基本模型的肋骨支撐剛度?加筋殼段剛度比β（0），該結果將作為輸入，用來預報局域化因子。本文以ζ=0.5的模型作為參考模型，即所有肋骨腹板高度變為基本模型的1.5倍，同時保持肋骨截面積不變。

由于周期加筋圓柱殼給定周向模式的頻散曲線是多條，每條頻散曲線都反映了具有特定肋間軸向模式振動的傳播特性，因此需要仔細辨認兩個模型的對應通帶，從而以對應通帶所獲取的ω0（2）（ζ）和ω0（2）（0）作為輸入計算β（0）。利用兩個模型的 E n（D）?kx曲線和En ?f 曲線進行對比可判斷對應通帶。圖 8給出了周向模式 n=12時、基本模型和參考模型En（D）?kx曲線對比。對基本模型，分別列出了由 W（ n，kx，f）在第一通帶和第二通帶沿頻率積分獲得的結果；對參考模型，僅列出了由 W（ n，kx，f）在第一通帶圖沿頻率積分獲得的結果。為清晰識別特征，基本模型第二通帶的數據整體減少了5 dB，參考模型第一通帶的數據整體增加了5 dB ?？梢钥吹剑簝蓚€模型在第一通帶的 E n（D）?kx曲線特征相似，與振動能量峰值相對應的軸向波數相當，說明兩者的肋間振動模式具有類比特征。圖 9是基本模型和參考模型的En ?f 曲線對比，從中可看出通帶頻率整體平移的特征，說明肋骨高度增加后將引起加筋殼段單元對地剛度增大，固有頻率增加。因此兩者的第一通帶是對應通帶。

由于用于辨識ω0（2）（ζ）和ω0（2）（0）的頻散曲線來源于基于有限元計算和波數分析給出的色譜圖，因此也存在通帶未覆蓋在計算頻段內、通帶界限辨識不清、無法找到兩個對應通帶等問題，這將導致辨識失效，這些數據應予以剔除。

圖10是針對各周向模式辨識所給出的β（0）。其中，對給定的周向模式 n，給出的結果可以是多值的，與同一周向模式的不同通帶相對應。

4.2? 無序肋骨尺寸配置模型局域化因子預報

在利用式（27）進一步預報局域化因子的過程中，ω0（2）及 V 是基本模型的固有頻率和耦合參數，已在β（0）的辨識過程中獲??；以基本模型的肋骨尺寸為輸入，還可根據式（18）計算δ。以腹板高度變化率的概率分布范圍界限參數 H 為輸入，可以計算出局域化因子。

圖11對比給出了 H=0.2和 H=0.4兩種情況下的無序肋骨尺寸配置模型振動局域化因子預報值。圖中橫坐標是周向模式階數 n，縱坐標是局域化因子預報值γ，它是多值的，與振動軸向傳播的多通帶相對應。由圖11可見，腹板高度擾動限度值 H 越大，振動局域化因子也越大，該規律從式（27）也可直接得出。

圖11還可看到局域化因子隨周向模式階數的變化規律：根據本文已辨識的局域化因子數據，周向模式階數超過5的局域化因子更大，具有隨周向模式階數增加而增加的特征。

圖12以更直觀的方式顯示了該規律，給出了各周向模式下的γ/（H2×δ2）值隨 n 的變化。由于（ H2×δ2）與 n 無關，因而γ/（H2×δ2）值反映了式（27）中局域化因子同周向模式 n 相關的部分。

4.3? 實例模型驗證

為驗證無序肋骨尺寸配置模型局域化的可發生性，檢驗局域化因子預報結果的可信度，分別建立了參數 H=0.2和 H=0.4的無序肋骨尺寸配置模型實例：采用隨機數生成程序給出各肋骨腹板高度增長率，進而確定各肋骨尺寸參數，并建立無序肋骨尺寸配置模型實例。對每根肋骨，在獲取具體肋骨腹板高度變化率ζi后，參照截面面積不變原則給出相應肋骨的具體尺寸。

為獲取實例模型的局域化因子，對這兩個實例模型進行有限元分析和波數分析。其中，各截面給定周向模式的振動能量 Ex（n）（ x，f ）將用于計算局域化因子。將 Ex（n）（ x，f ）分別在利用周期模型給出的相應通帶內積分，即獲得各截面在相應通帶的振動能量：

這樣，處于殼體中部振源處截面的振動能量 B1和處于殼體端部截面的振動能量 BN 就已知了，可以按照式（6）計算局域化因子，對加筋圓柱殼而言，N 取50。

圖13和14分別給出了兩個模型的局域化因子預報結果同實例結果的對比。由圖可見，預報結果和實例結果在量級和規律上基本一致。數據的差別來源于：預報公式是基于統計規律導出的平均結果，反映的是肋骨尺寸沿軸向的隨機無序配置給出的統計特征；而實例結果來源于特例，只有當肋骨數量足夠大時，才能視作真正意義的隨機無序。

圖15給出了基本模型同無序肋骨尺寸配置模型的 E n（x）?f?x色譜圖對比，其中 n=12。色譜圖橫坐標為軸向位置編號，柱殼最左端編號為0；縱坐標是頻率；色譜顏色代表振動能量。從色譜圖可以看到，兩個無序肋骨尺寸配置模型都能看到較為明顯的局域化效果：處于殼體中部截面振源位置處的振動能量大，振動能量沿軸向衰減傳播至端部。

5 結論

本文開展了具有無序尺寸肋骨配置的加筋圓柱殼振動局域化研究，形成了預報局域化因子的方法，開展了有關規律研究。主要結論為：

（1）利用實例模型的數值結果同預報結果的對比驗證了本文針對肋骨腹板高度無序配置情形所使用的振動局域化因子預報方法的有效性：預報結果和實例結果在量級和規律上基本一致。

（2）對給定無序肋骨尺寸配置模型局域化因子預報的結果表明，局域化因子值同振動模式、肋骨尺寸無序度參數和頻率相關，其中，腹板高度擾動限度值越大，周向模式階數越高，局域化因子越大。

（3）理論分析和數值計算證實了在無序尺寸肋骨配置加筋圓柱殼中振動局域化的可發生性，結果表明，采用腹板高度變化率具有20%的無序度配置時，可在某些周向模式取得較為明顯的局域化效果。

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Localization of vibration on a framed cylindrical shell with irregular stiffener size configuration

JI Gang1，ZHAO Peng1，TAN Lu1，HUANG Chun-wen2

（1.Department of Naval Architecture Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China；

2.Department of Logistics and Traffic Management，Hubei Communications Vocational and Technical College， Wuhan 430068，China）

Abstract： To confine the vibration energy of a periodically framed cylindrical shell in the pass bands，irregular stiffener size configu? ration can be used as a control measure . An investigation on localization of a framed cylindrical shell with irregular stiffener size con ? figuration is presented . The vibration of the cylindrical shell is equivalent as a coupled oscillator chain system . Using the vibration results acquired by finite element method as input，resonance frequency parameter and coupling parameter of the equivalent oscilla? tor chain can be acquired by identification technology combined with wave number analysis . Then the localization factor of the disor? der configuration model，which is the quantification of localization，can be predicted using the formula derived for the coupled oscil? lator chain system . The irregular configuration stiffener size parameter can be acquired using reference model identification technolo ? gy . Analysis of the framed cylindrical shells with irregular stiffener size configuration shows that，vibration can be confined to the source due to the element ground stiffness irregularity . The degree of localization is related to vibration mode，irregularity configu? ration parameter and frequency parameter .

Key words ： vibration control；vibration attenuation；framed cylindrical shell；disordered structures；localization

作者簡介：紀剛（1975—），男，副研究員。電話：（027）65461152；E-mail：909092586@qq .com。