動力特征解靈敏度分析的結構關鍵區域判別

李佳靖 朱宏平 翁順 宋曉東 楊國靜 顏永逸

摘要：實際工程結構體量大、病害多，各局部損傷對結構整體性能影響差異大，關鍵區域的微小損傷將威脅整體結構安全。因此，有必要判定結構的關鍵區域，使結構監測、評估、管養主次分明，重點突出。提出了加權融合多階動力特征解靈敏度的結構關鍵區域判別方法。基于振型質量參與系數確定了特征解數目和各階特征解的權重系數，建立了融合多階歸一化的加權特征值和特征向量靈敏度的靈敏度指標，對靈敏度指標求二階范數得到關鍵區域指標，作為關鍵區域判定依據。該判定方法是一種定量的判定依據。將該方法運用于一榀平面框架和一座上承式拱橋，結果表明，框架結構的關鍵區域為梁柱節點和支座附近的柱子區域，拱橋關鍵區域為拱圈的拱腳區域；另外，結構關鍵區域并非一成不變，局部損傷會導致原本不關鍵區域變成關鍵區域。研究的關鍵區域判別方法對提高健康監測和評估效率、節約人力物力有重要意義。

關鍵詞：健康監測；靈敏度分析；動力特征解；關鍵區域；構件重要性

中圖分類號： TU311.3；U447??? 文獻標志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1181-07

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.016

引言

目前，工程結構設計是基于結構在極限承載力狀態下或正常使用狀態下的構件設計。這種設計沒有考慮到不同構件對結構性能的不同影響。關鍵構件發生損傷會比非關鍵構件損傷更能影響結構的性能。例如，關鍵構件產生裂縫和變形，會大大影響結構的正常使用功能和使用舒適度；關鍵構件桿件屈服會嚴重影響結構的極限承載力，甚至引起結構連續倒塌；關鍵構件剛度降低會使結構產生大的層間變形而進入非彈性狀態。判定不同構件的重要性是這類問題研究的基礎。構件重要性是指構件對整體結構體系性能的影響程度，整體結構性能包括承載力、可靠性、剛度、變形、穩定性等多個方面。關鍵區域是重要構件分布的區域，對關鍵區域進行監測、評估、管養，可以使整個過程主次分明、節約人力物力成本[1]。比如，當確定關鍵區域后，可以將有限的傳感器布置在關鍵區域，從而保證獲得更加準確的關鍵區域損傷信息。傳統上，人們通過結構傳力原理和長期的工程經驗判別結構體系中的構件重要性。例如，柱子的重要性要超過梁，因此，抗震設計中強調強柱弱梁的設計思想。而對于框架?剪力墻結構，剪力墻是主要的抗側力構件，因此比框架的重要性大。這些判別嚴重依賴于工程人員的專業素養和經驗。

為了進一步量化構件重要性評價，柳承茂等[2] 從剛度的角度分析了構件重要性程度。構件重要性系數定義為拆除該構件而維持結構不變所需要的平衡力大小。該方法沒有考慮外荷載對構件重要性判別的影響。葉列平等[3]通過拆除單元對廣義結構剛度的影響大小作為關鍵單元的判定標準。該方法應用于一組分別在地震作用和豎向重力荷載下的平面框架。盧嘯等[4]將廣義剛度法用于分析一座鋼筋混凝土拱橋的關鍵區域。為了使該方法適用于連續體模型，不受單元劃分大小的影響，將計算的單元重要性系數除以單元的體積。高揚等[5]從拆除單元對結構承載力的影響的角度判定單元的重要性。張雷明等[6]從能量的角度綜合考慮荷載、構件幾何拓撲關系、構件材料屬性，判定結構能量流中的關鍵路徑上的單元為關鍵單元。其中，關鍵單元的重要性排序根據拆除該單元時整體結構的應變能儲存變化大小判定。黃冀桌等[7]考慮構件在總能量分布中的貢獻和引起的失效面積判定構件重要性。蔣淑慧等[8]將單元重要性系數定義為拆除該單元后結構冗余度標準差與單元冗余度的商，該商值越大，說明該拆除構件對結構魯棒性影響越大、重要性越高。楊逢春[9]從單元可靠度對結構可靠度的貢獻來判定單元的重要性，其中，該貢獻值量化定義為單元可靠度重要因子，與結構幾何拓撲關系、單元抗力相關性、單元失效行為等有關，但方法僅被一個簡單的索穹頂結構驗證。還有其他學者從整體結構剛度矩陣的條件數[10]和行列式[11]、結構幾何不穩定性[12]等角度出發進行關鍵重要構件判別。

特征解靈敏度分析[13]是指對結構的特征值和特征向量關于單元剛度參數求一階偏導，反映的是區域單元剛度變化對結構整體動力特性（頻率和振型）的影響程度。特征解靈敏度分析是一種定量評價單一單元參數變化對結構整體性能的影響程度的分析方法，在可識別損傷單元判別[14]、模型修正參數選擇[15]、傳感器優化布置[16?18]方面得到廣泛應用，也可以作為關鍵區域判定的依據[19]。結構動力特征解的變化預示著結構某些區域發生了損傷[20]。本研究將從結構損傷的角度出發利用特征解靈敏度分析從定量的角度判定結構的關鍵區域。另外，結構在全壽命周期中會產生變化，例如結構發生局部損傷，這將導致關鍵區域分布產生變化。本文將進一步探討結構損傷對結構關鍵區域分布的影響。提出的方法將應用于一榀平面框架和一座上承式拱橋模型。

1 關鍵區域判別方法

任何結構都可以看作是由剛度、質量、阻尼等結構特征參數組成的動力系統。結構一旦出現損傷或其他異常，其結構特性（振型、頻率、阻尼等）也將發生改變。因此，動力特性改變可視為結構狀態發生變化的標志，可以利用其變化對結構進行診斷，例如結構剛度的降低會引起結構自振頻率的降低，結構局部振型的改變可能預示著結構局部損傷。結構整體特征參數對單元剛度的靈敏度系數大小反映了該單元對損傷的敏感程度。通常，易發生損傷或已經發生損傷的部位，其特征解靈敏度系數會更大。因此，通過實時動態計算結構單元的靈敏度系數，可以確定結構容易發生損傷的關鍵區域，即結構探傷和維護的關鍵區域。

本文研究對象為線彈性結構，線彈性結構的固有振動方程有以下形式：

式中 M 為結構的質量矩陣；K 為結構的剛度矩陣；λ i為結構的第i階特征值；?i為對應的第i階特征向量。

結構整體剛度矩陣由單元剛度矩陣組集得到：

式中設計參數rj是第j 個單元的剛度因子。Kje是第j 個單元剛度矩陣。L 是單元的數量。在本文中，特征解靈敏度是指關于單元剛度因子的靈敏度。

對振動方程（1）關于結構的第 j 個單元剛度因子rj求偏導，得結構特征值靈敏度?rj和特征向量靈結構每階模態（特征值和特征向量）對結構的動力特性的貢獻不一樣，通常，低階模態對結構的貢獻更大。因此，為了提高效率，通常只保留少量低階模態對結構進行動力特征分析，例如振型分解法和子結構模態綜合法。本文將計算部分低階特征解靈敏度，進行基于動力靈敏度分析的關鍵區域判別。為了確保保留的模態能夠盡可能真實反映結構的特性，保留低階模態的數目需要保證結構薄弱主軸方向的振型質量參與系數累計達到90%以上[23]，即：

式中? d 為結構薄弱主軸的方向向量；N 為判定關鍵區域所保留的模態的數目；wj為第 j 階振型質量參與系數，反映的是該階模態對結構動力特征的貢獻，也可以作為特征解靈敏度的權重系數。

特征值隨著階數的增加而增加。為了使每階特征值靈敏度不受特征值大小的影響，對于第 j 個單元，其基于特征值靈敏度的指標定義為與相對特征值靈敏度相關的量，第 j 個單元基于特征值靈敏度的加權重指標如下式所示：

假設結構有 P 個自由度，L 個單元。每階特征向量靈敏度的尺寸為1×P，也就是說，每階特征向量對某特定單元剛度的靈敏度共有 P 個元素，且有正有負。為了融合這 P 個特征向量靈敏度元素，對每階特征向量靈敏度取其元素絕對值之和，得到第j 個單元基于特征向量靈敏度的加權重指標為：

分別找出Sλ（j）和S?（j）的最大值 max（Sλ（j））和 max（S?（j）），將Sλ（j）和S?（j）的每個元素分別除以 max（Sλ（j）），max（S?（j））歸一化得到第j 個單元的靈敏度指標為：

第j 個單元基于特征靈敏度的關鍵區域指標定義為靈敏度指標的二階范數：

關鍵區域指標值大的單元所在區域判定為關鍵區域，而關鍵區域指標值小的單元所在區域判定為非關鍵區域。基于特征靈敏度的關鍵區域指標將多階特征值靈敏度和特征向量靈敏度融合起來，同時也體現了靈敏度大即該單元比較關鍵的核心思想。

2 數值驗證

通過一榀平面框架和一座上承式拱橋數值算例驗證關鍵區域指標的正確性。

2.1? 平面框架

該平面框架是一榀三層的梁柱結構，共有44個節點、45個單元、126個自由度，如圖1所示。每個單元為100 mm 長，梁截面尺寸為50 mm×10 mm，柱子截面尺寸為50 mm×5 mm 。質量密度為8.0267×103 kg/m3，楊氏模量為2×1011 Pa。

首先，判定關鍵區域步驟如下：

1）建立框架有限元模型，框架共有45個單元，故共有45個單元剛度因子；

2）組集框架的單元剛度矩陣和單元質量矩陣得到結構整體的剛度矩陣和質量矩陣；

3）確定框架的薄弱主軸方向為水平方向，計算框架的振型質量參與系數（見式（3）和（4）），發現框架只需要保留前三階模態就可以滿足累計振型質量參與系數90%以上，其權重系數即各階振型質量參與系數為68.61%，16.59%，6.01%；

4）求解有限元模型前三階特征值和特征向量（見式（1））；

5）求解前三階特征值靈敏度和特征向量靈敏度，由于共有45個剛度因子，故此過程需重復45次；

6）求解基于特征值靈敏度的加權指標（見式（5））和基于特征向量靈敏度的加權指標（見式（6））；

7）分別對基于特征值靈敏度的指標和基于特征向量靈敏度的指標關于其元素最大值進行歸一化，得到一個融合的靈敏度指標（見式（7）；

8）對融合的靈敏度指標求二階范數，得到各個單元的關鍵區域指標；

9）關鍵區域指標值大的區域即認定為關鍵區域。

依據上述步驟計算的關鍵區域指標如圖2所示。同時，為了更加直觀地顯示不同區域的重要程度，根據關鍵區域指標的大小給不同區域標記不同的顏色。從圖2可以看出，紅色區域分布在支座附近；粉色和黃色區域分布在其余梁柱節點附近的柱子區域和梁區域。其中，靠近支座處柱子單元的關鍵區域指標值是最大的。這說明該平面框架的關鍵區域分布在靠近支座和梁柱節點附近區域。

為了進一步研究結構局部損傷是否會影響結構關鍵區域的分布，假設該框架某一柱子單元的單元剛度折減50%，該損傷單元的位置如圖1所示。對該損傷框架進行動力靈敏度分析，計算的關鍵區域分布如圖3所示。從圖3可以看出，最關鍵的區域分布在支座附近的柱子單元、梁柱節點附近的單元、損傷單元區域。具體地，損傷柱子單元的關鍵區域指標值從0.083增加到0.524，從最不關鍵區域（藍色）變成了相對關鍵的區域（黃色），這說明了當結構損傷的時候，損傷區域的重要程度大大上升，即損傷區域的剛度變化對結構整體動力性能（頻率和振型）影響大。

2.2? 怒江特大橋

怒江特大橋為大理至瑞麗鐵路線的重點工程及控制性工程。主橋采用跨度490 m 上承式鋼桁拱橋，矢跨比1/4.475，拱軸線采用懸鏈線，拱軸系數2.0。全橋孔跨布置：（7×41 m）連續鋼混結合梁（大理岸引橋）＋（14×37.2 m）連續鋼箱梁（拱上結構）＋（5×41 m）連續鋼混結合梁（瑞麗岸引橋）。橋梁實景圖和布置圖分別如圖4和5所示。

利用 MATLAB 平臺建立怒江特大橋主橋有限元模型。所有單元均采用空間梁單元。箱梁采用梁格法建立。主拱和箱梁兩端邊界條件為固支。立柱和箱梁的連接為一般彈性連接，即6個自由度分別用一定剛度的彈簧模擬。立柱與拱圈的連接為固定彈性連接，即6個自由度用剛度很大的彈簧模擬。

怒江特大橋是一座上承式拱橋，由主梁、立柱、主拱圈組成，全橋共14跨，即14跨主梁、13跨立柱、14跨拱圈，編號如圖7所示。首先將每跨作為一個子結構單元，各賦予一個單元剛度因子。同樣地，首先確定怒江特大橋的薄弱主軸方向為橫橋向，然后根據公式（3）和（4）得到結構橫橋向的振型質量參與系數累計曲線和振型質量參與系數，分別如圖8和9所示。從圖8知結構需要保留前37階模態（特征值和特征向量）來參與關鍵區域判別。各階振型質量參與系數也是作為參與關鍵區域判別的各階特征解靈敏度的權重值。

計算前37階特征解對每個子結構單元剛度因子的靈敏度，再根據第1節公式得到每跨的關鍵區域指標，如圖10所示。從圖10可以看出，從整體而言，拱圈的重要性大于立柱，箱梁的重要性大于立柱；邊跨區域的重要性大于中間跨區域；其中，拱圈邊跨的重要性是最大的，明顯高于結構其余區域。

同樣地，為了研究損傷對關鍵區域分布的影響，假設拱圈第3跨和第12跨區域整體剛度折減50%。對損傷后的怒江特大橋拱橋有限元模型進行動力靈敏度分析，得到關鍵區域指標分布如圖11所示。首先能夠得到與圖10類似的結果，拱圈重要性大于立柱，箱梁重要性大于立柱；邊跨區域的重要性大于結構其余區域；拱圈拱腳區域的重要性最大。然后，可從圖12和13可以看出，從整體上而言，上下弦桿的重要性要大于腹桿；拱圈最關鍵部位位于拱腳上下弦桿區域。

3 結論

本文提出了加權融合多階動力特征解靈敏度的結構關鍵區域判別方法。該方法融合了多階歸一化加權的相對特征值靈敏度和特征向量靈敏度，將融合后的靈敏度值大的區域判定為關鍵區域。將該準則應用于一榀平面框架和一座上承式拱橋。

結果表明：（1）框架的關鍵區域為支座附近柱子區域、梁柱節點附近區域；（2）從構件類型上來說，上承式拱橋的各區域關鍵程度從大到小分別為拱圈、箱梁、立柱。拱圈的上下弦桿比腹桿關鍵，拱圈拱腳區域構件是整個結構最關鍵區域；（3）結構損傷會導致該損傷區域的關鍵程度上升，因此，在結構全壽命使用過程中需要動態評價關鍵區域。本文研究探明拱橋關鍵區域，為監測、評估、管養提供依據，節約人力物力。

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Evaluation of critical region based on dynamic eigensensitivity analysis

LI Jia-jing1，ZHU Hong-ping1，WENG Shun1，SONG Xiao-dong2，

YANG Guo-jing2，YAN Yong-yi2

（1.School of Civil and Hydraulic Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China；2.China Railway Eryuan Engineering Group CO . LTD .，Chengdu 610031，China）

Abstract： The actual engineering structure is usually large-scale and has various local damages . Different damage has different im ? pact on the overall performance of the structure . Small damages in critical regions can threaten the safety of the overall structure . Therefore，it is necessary to identify the critical regions of the structure，so that the monitoring，evaluation，and management of the structure have a clear priority and focus . This paper proposes a method for discriminating structural critical regions based on weighted sensitivity analysis of dynamic eigensolutions . The proposed method deduces the sensitivity of eigenvalues and eigenvec? tors with respect to element stiffness parameters . Firstly，the number of modes for analysis and the weight coefficient of each re? tained mode are determined based on modal mass participation coefficient，and a weighted sensitivity index that combines multi-or? der normalized eigenvalues and eigenvector sensitivity is established . The sensitivity index seeks the second-order norm to obtain the critical region index，which is used as the basis for determining the critical regions . This method is a scientific and quantitative judgment basis，and is applied to a frame and an arch bridge . The results show that the critical regions of the frame structure are the column area near the beam-column node and the support，and the critical regions of the arch bridge are the arch toe area of the arch ring . In addition，the critical region is not static，and local damage can cause the originally uncritical region to become a critical re? gion . The proposed critical region identification method improves the efficiency of health monitoring and evaluation，and to save manpower and material resources .

Key words ： health monitoring；sensitivity analysis；dynamic eigensolutions；critical region；element importance

作者簡介：李佳靖（1992?），女，博士研究生。電話：15827252769；Email：jiajingli@hust .edu .cn。

通訊作者：翁順（1982?），女，博士，教授。電話：13971681883；Email：wengshun@hust .edu .cn。