數(shù)學(xué)概念模糊對解題的影響及應(yīng)對策略*

賈震霆 (南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院 210024)

姜海波 (鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 224002)

數(shù)學(xué)概念是人類對現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的概括反映.其來源于兩方面，一是對客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的直接抽象，二是在已有數(shù)學(xué)理論上的邏輯建構(gòu)．[1]學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程往往不是一蹴而就的，在知識的傳授與知識的內(nèi)化過程中經(jīng)常會發(fā)生各種錯誤.學(xué)生通過對錯誤的解決，彌補知識體系的漏洞，逐漸形成知識網(wǎng)絡(luò)．?dāng)?shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)也不例外．

學(xué)生學(xué)習(xí)知識的過程也是主動建構(gòu)的過程，是在已有知識結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上不斷拓展的過程，因此，舊的知識結(jié)構(gòu)會對學(xué)生學(xué)習(xí)新的概念產(chǎn)生阻礙作用，甚至讓學(xué)生以錯誤的思維方式學(xué)習(xí)新概念；另一方面，學(xué)生在學(xué)習(xí)完新概念后，不注重理解概念的本質(zhì)，沒有與頭腦中的其他概念或知識產(chǎn)生有效的聯(lián)系，新學(xué)的概念猶如“孤島”一般，導(dǎo)致學(xué)生在解題過程中很難聯(lián)想到運用新學(xué)的概念解決問題．

1 概念學(xué)習(xí)錯誤類型

李善良教授將數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中的錯誤分為過程性錯誤與合理性錯誤.過程性錯誤是在數(shù)學(xué)概念形成的過程中，各個階段或?qū)哟慰赡墚a(chǎn)生的錯誤概念；合理性錯誤是學(xué)生認知的“慣性”或者個性傾向的“偏好”導(dǎo)致的錯誤．[2]下面通過幾個例子來分析這兩類錯誤．

1.1 過程性錯誤

案例：日本教育家藤井齊亮為了考察學(xué)生對不等式性質(zhì)的理解程度，提問學(xué)生如何解不等式x-2>5，學(xué)生異口同聲回答通過等式兩邊同時加上2，即x-2+2>5+2．繼續(xù)提問如果在不等式較大的一端加2，較小的一端加1，即x-2+2>5+1，保證不等式方向不變，但是為什么得出了不一樣的答案？不少學(xué)生面面相覷，前面的解法解出x>7，后面的解法解出x>6，而這兩種解法都符合不等式的性質(zhì)，學(xué)生開始陷入矛盾之中．

其實，這便是學(xué)生概念學(xué)習(xí)過程中的過程性錯誤，在學(xué)習(xí)概念時并沒有明晰其定義，了解其本質(zhì)，導(dǎo)致無法判斷相應(yīng)的題目．不等式性質(zhì)可以分為等價關(guān)系和推出關(guān)系，等價關(guān)系如同充要條件，條件和結(jié)論是等價的，案例中的前一種做法在不等式兩邊同時加上2，是不等式性質(zhì)中的加法單調(diào)性，屬于等價關(guān)系，所以解出的答案和問題等價，即任意符合答案條件的x也滿足問題的條件．推出關(guān)系則類似充分條件，案例中的后一種解法在不等式兩邊加了不同的值且保證不等式方向不變，是不等式性質(zhì)中的同向不等式可加性，屬于推出關(guān)系，即滿足答案條件的x不一定符合問題條件，換句話說，可以由問題推出答案，但不能由答案推出問題．

1.2 合理性錯誤

例1在直角三角形ABC中，已知a=3,b=4，求c的值．

這是一道非常簡單的運用勾股定理便能求解的題，但不少學(xué)生只求出c=5，忽視了邊b為斜邊的情況，這正是思維定勢造成的．在平時做題過程中，直角三角形中三條邊的長度分別為3,4,5的情況非常多見，于是久而久之形成思維定勢，學(xué)生在遇到這道題時，默認a和b為直角邊，導(dǎo)致了少算一種情況．

六年級學(xué)生對小數(shù)和分數(shù)概念及運算已經(jīng)熟練掌握．然而一項調(diào)查顯示，在判斷“兩個數(shù)的積與這兩個數(shù)的差(0除外)，在任何情況下都不會相等”時，300人中只有41人(14%)給出了正確答案，究其原因則是學(xué)生把思維限定在自然數(shù)中[2]，而題目并沒有明確規(guī)定這兩個數(shù)的數(shù)域．學(xué)生在做題時無意識地給題目加上限制條件，從而造成了這樣的錯誤．

2 應(yīng)對策略

2.1 授課數(shù)形結(jié)合，強調(diào)直觀理解

華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”學(xué)生在學(xué)習(xí)新的概念時，會先借助實物、模型、直觀教具在頭腦中進行表征，這是學(xué)習(xí)知識的第一步，對隨后的內(nèi)化知識及運用知識起到基礎(chǔ)性作用．在學(xué)生學(xué)習(xí)幾何學(xué)及函數(shù)時尤為明顯，比如，在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時，首先引入指數(shù)增長的圖形，通過觀察圖形，明白指數(shù)函數(shù)是一種不同于以往一次函數(shù)、二次函數(shù)的函數(shù)，它的增長率是常數(shù)且為爆炸式增長，然后再結(jié)合圖形，研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．

教師通過形象的幾何直觀，幫助學(xué)生建立正確的表象，有利于加強學(xué)生對概念本質(zhì)的理解，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的做題習(xí)慣.做題時通過作圖輔助解答，也有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，將枯燥的數(shù)學(xué)符號轉(zhuǎn)化為生動多樣的圖形．當(dāng)學(xué)生解題時忘記了相關(guān)概念及性質(zhì)，也可以通過作圖，輔助回憶相關(guān)概念，比如通過作圖比較指數(shù)函數(shù)y=ax與y=bx(a>b>0)在實數(shù)域R上函數(shù)值的大小．

2.2 抓住本質(zhì)特征，正確概括概念

數(shù)學(xué)概念定義最為關(guān)鍵的一步，是對實例中各種特征進行概括，抽象出本質(zhì)屬性.學(xué)生在概括時，可能會將非本質(zhì)特征當(dāng)作本質(zhì)特征進行概括，可能只概括了部分本質(zhì)特征，也可能歪曲了本質(zhì)特征．[3]以幾何學(xué)為例，幾何的研究對象是點、直線、平面等基本幾何元素，以及三角形、四邊形、圓等各種各樣的幾何圖形．幾何圖形的性質(zhì)是由幾何要素之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系確定的，比如，相交線會形成四個角，這四個角之間的關(guān)系便是頂點和邊之間的關(guān)系，因此這四個角之間確定的位置關(guān)系、大小關(guān)系就是相交線的性質(zhì)；而對于平行線，直線是平面的組成要素，因此探討平面內(nèi)兩直線平行便是探討平面內(nèi)其他直線與這兩條直線的關(guān)系；對于三角形，三角形的邊與角之間的相等與不等的關(guān)系，構(gòu)成不同的三角形及對應(yīng)的不同性質(zhì)[4-6]．

很多時候，學(xué)生會把做錯題目的原因歸于馬虎、粗心等，但這只能反映小部分原因，實際情況是學(xué)生對概念掌握得不牢固，沒有理解概念的本質(zhì)特征或者歪曲了本質(zhì)特征，在看到正確答案后似乎已經(jīng)掌握，但仍然是一知半解.他們只是訂正了答案卻不反思為什么出錯，導(dǎo)致下次碰到同樣的題目依舊出錯．所以對于數(shù)學(xué)概念一定要抓住其本質(zhì)特征，以小見大、見微知著，掌握本質(zhì)特征后也會對概念的性質(zhì)、其他相關(guān)概念的學(xué)習(xí)產(chǎn)生促進作用．

2.3 注意條限定件，回歸概念本質(zhì)

2.4 打破思維定勢，加強變式訓(xùn)練

思維定勢是指個體由于學(xué)習(xí)積累起來的習(xí)慣傾向，以自己最熟悉的方式作出反應(yīng)的傾向．比如拿到一道數(shù)學(xué)題目，學(xué)生會回憶有沒有做過類似的題，再套用類似題目的思考方式及解題思路，對新題目嘗試解答．思維定勢在解決問題過程中可能起著積極作用，也可能起著消極作用：當(dāng)問題情境不變時，它能夠提高解決問題的效率；當(dāng)問題情境改變時，它使得思維刻板化，阻礙學(xué)生想到新的方法來解決問題．

作業(yè)，作為教與學(xué)的交叉點，是學(xué)生學(xué)習(xí)知識、培養(yǎng)能力、發(fā)展思維的最常見的一項實踐活動，是學(xué)生在實踐中鞏固深化知識、形成熟練技能的重要環(huán)節(jié)，是課堂教學(xué)的補充和延伸，也是師生交流信息的一個重要窗口，是完成教學(xué)目標不可或缺的環(huán)節(jié)．[7]然而目前高中數(shù)學(xué)作業(yè)存在以下弊端：數(shù)學(xué)作業(yè)缺乏針對性與有效性，缺乏層次性與選擇性，缺乏多樣性與創(chuàng)新性，缺乏啟發(fā)性與拓展性．[8]

3 小結(jié)

學(xué)生在學(xué)習(xí)概念過程中，難免會出現(xiàn)錯誤，然而錯題本身是一種資源，通過對錯題的分析，找到學(xué)生犯錯的原因，對癥下藥嘗試改正，解決概念上的漏洞，形成良好的知識網(wǎng)絡(luò).通過如此的錯誤樣例，能夠有效促進學(xué)生的批判性思考，提高學(xué)生探究事物的能力和對知識的準確理解，增強學(xué)生的內(nèi)部動機，提高學(xué)習(xí)者的自我效能感，減少焦慮；同時，糾錯過程中也能激發(fā)并集中學(xué)習(xí)者的注意力．[12]因此，學(xué)生自身要積累在練習(xí)與測試中的錯題，對模糊的概念有針對性地查漏補缺；教師要注重搜集普遍性的錯題，對班級的共性問題進行有效解決；同時，也要注重收集歷年典型錯題，作為課堂教學(xué)的有效補充．[13]