基于理性思維和感性思維交融的“勾股定理”教學(xué)研究*

陳杰宇 侯恩冉 (淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 235000)

感性思維與理性思維是兩種基本的思維形式，也是個體思考問題、認識客觀世界的重要工具.張乃達先生曾說過：數(shù)學(xué)教學(xué)實質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動的教學(xué).[1]數(shù)學(xué)是一門科學(xué)，也是一門藝術(shù)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)以理性為主，感性為輔.在數(shù)學(xué)課堂上，教師不能只局限于知識的傳授，而應(yīng)通過逐步引領(lǐng)，促進學(xué)生思維活動的協(xié)調(diào)運行，特別是感性思維和理性思維的轉(zhuǎn)化與融合，方能有效提高課堂的教學(xué)效益，獲得事半功倍的教學(xué)效果.

1 兩種思維互補教學(xué)的手段分析

從個體認知的規(guī)律來看，思維發(fā)展一般是從感性過渡到理性，但對于初中生而言，由于已經(jīng)積累了一定的知識基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思考的能力，即具備了一定的理性認知，因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，可以采取從理性出發(fā)、走感性之路、回理性之家的手段.

其一，從理性出發(fā)，萌生概念，把握本質(zhì).數(shù)學(xué)最終要歸為理性，換句話說，學(xué)生最終要掌握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在特點和規(guī)律方法[2]，教師如果從一開始就沒有正確、嚴謹?shù)匾I(lǐng)學(xué)生，而只是追求感性，那么接下來的教學(xué)可能會出現(xiàn)偏差，從而變得雜亂無章，因此理性教學(xué)應(yīng)該成為教師后續(xù)教學(xué)的行動指南，從一開始就帶領(lǐng)學(xué)生明確思維的方向，抓住知識的本質(zhì)特征，站在理性的高度去通盤分析，才能保證后續(xù)教學(xué)的有效性.

其二，走感性之路，感受數(shù)學(xué)樂趣.數(shù)學(xué)知識既有理性也有感性，有抽象也有具體.理性的數(shù)學(xué)結(jié)論并不排斥感性的認知過程，理性的數(shù)學(xué)內(nèi)容也不排斥感性的生活素材，在學(xué)生獲得理性數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，教師還要帶領(lǐng)學(xué)生走好感性之路.通過各種探究活動，引導(dǎo)學(xué)生動手操作和合作交流，充分調(diào)動學(xué)生的各種感官參與體驗，讓學(xué)生通過感受和觀察去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，獲得感性認識，感受數(shù)學(xué)樂趣.

其三，回理性之家，實現(xiàn)認知的升華.探索數(shù)學(xué)的終點要回歸到理性，方能促進數(shù)學(xué)思維的進一步發(fā)展，建立對數(shù)學(xué)知識更深層次的見解.學(xué)生在解題過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，在感性活動中感知數(shù)學(xué)定理，最終還要在理性分析中升華數(shù)學(xué)認知，從理性萌芽到感知表象，再概括上升為理性認識.

由此可見，這種教學(xué)的思維起點是理性，終點也是理性，看似一個循環(huán)，但起點和終點的程度是不同的，起點的理性經(jīng)歷了感性之路，對知識的體驗更加豐富，印象更加深刻，最終的認知提升了.事實上，有效的數(shù)學(xué)教學(xué)就是讓學(xué)生在此思維循環(huán)中不斷來回、不斷提升，達成螺旋上升的思維發(fā)展.

2 兩種思維融合教學(xué)的示例

勾股定理是初中數(shù)學(xué)課程非常經(jīng)典的一個定理，它既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的理性，又不失其感性的一面，因此，勾股定理的教學(xué)非常適合運用理性思維與感性思維交融的途徑.

2.1 幾何題引入——“從理性出發(fā)”

圖1是一個上底AD長為a、下底BC長為b(a

圖1

課堂預(yù)設(shè)對于(1)，教師通過問題驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生逆向思考：

①假設(shè)△AEB是直角三角形，圖中哪些角是直角？(∠AEB=∠C=∠D=90°)

②和是90°的角有哪幾對？你發(fā)現(xiàn)了什么？(引導(dǎo)學(xué)生意識到有對應(yīng)角相等，從而聯(lián)想到三角形相似)

③哪兩個三角形是相似的？怎么證明？(△BEC∽△EAD)

④根據(jù)三角形相似你能得到什么結(jié)論？(DE=b,EC=a或DE=a,EC=b)由此能確定動點E的位置嗎？(當(dāng)DE=b,EC=a時，△BEC≌△EAD，AE=BE，即當(dāng)點E運動到CD上某個位置，該位置滿足DE=b,EC=a時，△AEB是一個等腰直角三角形)

對于(2)，該小問提供了一個看似簡單實則較為復(fù)雜的圖象背景，需要學(xué)生能對圖形所提供的信息進行選擇、甄別和處理，教師通過以下問題引導(dǎo)學(xué)生利用面積法求出a，b，c之間的關(guān)系：

①這個梯形是由幾個幾何圖形拼成的？它們是什么幾何圖形？(3個三角形)

③你能根據(jù)列出的式子找出a,b,c之間的關(guān)系嗎？(a2+b2=c2)

④a,b,c分別表示哪幾條邊，由此你能發(fā)現(xiàn)直角三角形三邊之間存在什么特殊的數(shù)量關(guān)系？

(以Rt△ADE為例，a,b分別表示它的兩條直角邊，c表示斜邊，依據(jù)前面推導(dǎo)出來的a2+b2=c2，可以得知：在Rt△ADE中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.同理，在Rt△BCE中也能得到該結(jié)論)

設(shè)計意圖以一道簡單的動點類型幾何題作為本節(jié)課探究的起點，看似讓學(xué)生解題，實際上重點并不在解題本身，而是通過解題，引發(fā)學(xué)生的理性思維，萌生勾股定理的概念，步步緊逼，層層深化，進而拉開勾股定理的序幕.

2.2 探究活動：將直角三角形放在方格紙中觀察——“走感性之路”

請學(xué)生拿出事先準備好的方格紙，作圖并完成以下探究活動.

探究1等腰直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系

圖2

假設(shè)每個小方格的邊長是1，面積為1，先要求同學(xué)們在紙上畫出一個腰長為2的等腰直角三角形，分別以該直角三角形三邊為邊長向外作正方形.(1)從圖2中你能觀察到的最基本的圖形是什么？(2)圖2中三個正方形A,B,C的面積SA,SB,SC各是多少？你是怎么得到SC的？它們之間有什么關(guān)系？(3)圖2中正方形A,B,C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么數(shù)量關(guān)系？

課堂預(yù)設(shè)(1)學(xué)生通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)有正方形和等腰直角三角形.(2)學(xué)生通過“數(shù)方格”或者“邊長乘邊長”的方法可以得出SA=4，SB=4，對于正方形C的面積，通過直接觀察可能無法求解，此時教師可以鼓勵學(xué)生自主探索并合作交流，最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出不同的解決方法：①割法，②補法， ③拼法(如圖3所示).因此得出SC=8，通過分析數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)：SA+SB=SC.

圖3

(3)學(xué)生討論交流后發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，進而明確建立起表示等腰直角三角形三邊之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型：等腰直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

探究2非等腰直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系

圖4

引導(dǎo)學(xué)生進一步驗證任意直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.同樣地，要求同學(xué)們在紙上先畫出一腰長為2、另一腰長為3的直角三角形，分別以該直角三角形三邊為邊長向外作正方形，并完成以下探究活動.(1)圖4中三個正方形A，B，C的面積SA，SB，SC各是多少？它們之間有什么關(guān)系？(2)圖4中正方形A，B，C所圍成的直角三角形三邊之間有什么數(shù)量關(guān)系？

課堂預(yù)設(shè)(1)類似第一個探究活動，學(xué)生花點時間自己可以得到：SA=9，SB=4，SC=13.(同樣可以采用“割”“補”“拼”的方法探索正方形C的面積)(2)學(xué)生討論交流后發(fā)現(xiàn)非等腰直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

教師總結(jié)：在上述探究活動中，采用了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法，即先以等腰直角三角形為對象感受勾股定理的存在，再推廣到一般的直角三角形.

探究3幾何畫板動態(tài)演示：任意直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系

利用幾何畫板操作，直觀展示任意直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

課堂預(yù)設(shè)用幾何畫板驗證任意直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，更具有說服力.在這個過程中，教師還要注意引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言表示該數(shù)量關(guān)系，即如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么就有a2+b2=c2.

設(shè)計意圖如果只是通過第一環(huán)節(jié)解幾何題的過程來引導(dǎo)學(xué)生理解勾股定理，學(xué)習(xí)的功利性明顯，可能會顯得知識單調(diào)枯燥，往往會導(dǎo)致學(xué)生對學(xué)科知識的厭煩和抵觸.數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，學(xué)習(xí)和教學(xué)的過程不僅要有理性，還要有感性.因此利用上述探究活動，引導(dǎo)學(xué)生通過感受和觀察去探索數(shù)學(xué)規(guī)律，形成對勾股定理的感性認知，體會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣.

2.3 證明定理：歐幾里得證法——“回理性之家”

通過第一個環(huán)節(jié)的解題過程和第二個環(huán)節(jié)的探究活動，教師引導(dǎo)學(xué)生自主歸納出勾股定理.下面教師向同學(xué)們介紹歷史上著名的歐幾里得證法，該方法是歐幾里得在《幾何原本》中給出的關(guān)于證明勾股定理的方法，是人類對勾股定理第一次真正意義上的嚴謹證明.

圖5

教師出示題目：如圖5所示，在Rt△ABC的外側(cè)，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它們的面積分別是c2，a2，b2,連結(jié)BG,CE,作CM⊥DE,垂足為M，交AB于L.請根據(jù)已知條件和圖形嘗試證明勾股定理.

課堂預(yù)設(shè)學(xué)生先獨立思考，緊接著教師向?qū)W生說明歐幾里得證法的基本思路，并通過問題驅(qū)動學(xué)生的理性思維，最后總結(jié)證明步驟和方法.

基本思路：通過同底等高的三角形以及其面積關(guān)系，將上方的兩個正方形ACFG，BCHK轉(zhuǎn)換成下方兩個面積相等的長方形.

問題驅(qū)動：(1)正方形ACFG和正方形BCHK的面積可以分別轉(zhuǎn)化為哪個三角形的面積或面積的倍數(shù)？

(2)正方形ABDE的面積可以看成哪兩部分之和？每部分的面積可以分別轉(zhuǎn)化為哪個三角形的面積或面積的倍數(shù)？

(3) (1)和(2)中的幾個三角形面積之間有什么關(guān)系？由此你能得出正方形ABDE，ACFG，BCHK的面積之間有什么關(guān)系嗎？這對勾股定理的證明有幫助嗎？

教師總結(jié)證明步驟：

③由于AG=AC,AB=AE,∠GAB=90°+∠CAB=∠CAE,所以有△ABG≌△AEC,S△ABG=S△AEC;

④S四邊形ACFG=S四邊形AEML;

⑤同理有S四邊形BCHK=S四邊形BDML;

⑥S四邊形ACFG+S四邊形BCHK=S四邊形AEML+S四邊形BDML=S四邊形ABDE,即a2+b2=c2.

設(shè)計意圖事實上，第二階段的探究活動和第三階段的證明活動所選用的圖形是類似的，區(qū)別在于是放在方格紙中觀察還是單獨進行面積分析.將圖形放在方格紙中觀察，通過數(shù)方格或“割”“補” “拼”等方式發(fā)現(xiàn)勾股定理屬于感性認知，通過面積轉(zhuǎn)化從而對勾股定理進行證明，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想在證明勾股定理中的重要作用，這屬于理性分析，且此時的理性，已不同于第一階段，它通過感性之路，得到了升華.學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、分析、計算的過程，對勾股定理的體驗更加豐富，深刻體會定理的證明過程和方法，對定理的內(nèi)涵有了本質(zhì)的理解.

3 結(jié)束語

課堂教學(xué)是科學(xué)與藝術(shù)的交融，是知識學(xué)習(xí)和情感體驗的并存，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充滿理性和感性，兩者相輔相成，相互滲透.對于數(shù)學(xué)教學(xué)，由于其學(xué)科特點和要求，因此在感性和理性交融教學(xué)的基礎(chǔ)上，最終必須回歸到理性，學(xué)生最終要掌握數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在特點和規(guī)律方法.[2]

在這種模式的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生通過一系列的思維活動，加深了對數(shù)學(xué)知識形成與發(fā)展過程的體驗和對其本質(zhì)的理解，這不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還培養(yǎng)了學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng).在今后的數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師要靈活運用思維教學(xué)，同時把握好理性與感性之間的平衡點，幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟知識.