基于理性思維和感性思維交融的“勾股定理”教學研究*

陳杰宇 侯恩冉 (淮北師范大學數學科學學院 235000)

感性思維與理性思維是兩種基本的思維形式，也是個體思考問題、認識客觀世界的重要工具.張乃達先生曾說過：數學教學實質上是數學思維活動的教學.[1]數學是一門科學，也是一門藝術，在數學教學中，應以理性為主，感性為輔.在數學課堂上，教師不能只局限于知識的傳授，而應通過逐步引領，促進學生思維活動的協調運行，特別是感性思維和理性思維的轉化與融合，方能有效提高課堂的教學效益，獲得事半功倍的教學效果.

1 兩種思維互補教學的手段分析

從個體認知的規律來看，思維發展一般是從感性過渡到理性，但對于初中生而言，由于已經積累了一定的知識基礎和數學思考的能力，即具備了一定的理性認知，因此，在數學教學活動中，可以采取從理性出發、走感性之路、回理性之家的手段.

其一，從理性出發，萌生概念，把握本質.數學最終要歸為理性，換句話說，學生最終要掌握數學知識的內在特點和規律方法[2]，教師如果從一開始就沒有正確、嚴謹地引領學生，而只是追求感性，那么接下來的教學可能會出現偏差，從而變得雜亂無章，因此理性教學應該成為教師后續教學的行動指南，從一開始就帶領學生明確思維的方向，抓住知識的本質特征，站在理性的高度去通盤分析，才能保證后續教學的有效性.

其二，走感性之路，感受數學樂趣.數學知識既有理性也有感性，有抽象也有具體.理性的數學結論并不排斥感性的認知過程，理性的數學內容也不排斥感性的生活素材，在學生獲得理性數學知識的基礎上，教師還要帶領學生走好感性之路.通過各種探究活動，引導學生動手操作和合作交流，充分調動學生的各種感官參與體驗，讓學生通過感受和觀察去探索數學規律，獲得感性認識，感受數學樂趣.

其三，回理性之家，實現認知的升華.探索數學的終點要回歸到理性，方能促進數學思維的進一步發展，建立對數學知識更深層次的見解.學生在解題過程中發現數學規律，在感性活動中感知數學定理，最終還要在理性分析中升華數學認知，從理性萌芽到感知表象，再概括上升為理性認識.

由此可見，這種教學的思維起點是理性，終點也是理性，看似一個循環，但起點和終點的程度是不同的，起點的理性經歷了感性之路，對知識的體驗更加豐富，印象更加深刻，最終的認知提升了.事實上，有效的數學教學就是讓學生在此思維循環中不斷來回、不斷提升，達成螺旋上升的思維發展.

2 兩種思維融合教學的示例

勾股定理是初中數學課程非常經典的一個定理，它既體現了數學學科的理性，又不失其感性的一面，因此，勾股定理的教學非常適合運用理性思維與感性思維交融的途徑.

2.1 幾何題引入——“從理性出發”

圖1是一個上底AD長為a、下底BC長為b(a

圖1

課堂預設對于(1)，教師通過問題驅動引導學生逆向思考：

①假設△AEB是直角三角形，圖中哪些角是直角？(∠AEB=∠C=∠D=90°)

②和是90°的角有哪幾對？你發現了什么？(引導學生意識到有對應角相等，從而聯想到三角形相似)

③哪兩個三角形是相似的？怎么證明？(△BEC∽△EAD)

④根據三角形相似你能得到什么結論？(DE=b,EC=a或DE=a,EC=b)由此能確定動點E的位置嗎？(當DE=b,EC=a時，△BEC≌△EAD，AE=BE，即當點E運動到CD上某個位置，該位置滿足DE=b,EC=a時，△AEB是一個等腰直角三角形)

對于(2)，該小問提供了一個看似簡單實則較為復雜的圖象背景，需要學生能對圖形所提供的信息進行選擇、甄別和處理，教師通過以下問題引導學生利用面積法求出a，b，c之間的關系：

①這個梯形是由幾個幾何圖形拼成的？它們是什么幾何圖形？(3個三角形)

③你能根據列出的式子找出a,b,c之間的關系嗎？(a2+b2=c2)

④a,b,c分別表示哪幾條邊，由此你能發現直角三角形三邊之間存在什么特殊的數量關系？

(以Rt△ADE為例，a,b分別表示它的兩條直角邊，c表示斜邊，依據前面推導出來的a2+b2=c2，可以得知：在Rt△ADE中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.同理，在Rt△BCE中也能得到該結論)

設計意圖以一道簡單的動點類型幾何題作為本節課探究的起點，看似讓學生解題，實際上重點并不在解題本身，而是通過解題，引發學生的理性思維，萌生勾股定理的概念，步步緊逼，層層深化，進而拉開勾股定理的序幕.

2.2 探究活動：將直角三角形放在方格紙中觀察——“走感性之路”

請學生拿出事先準備好的方格紙，作圖并完成以下探究活動.

探究1等腰直角三角形三邊之間的數量關系

圖2

假設每個小方格的邊長是1，面積為1，先要求同學們在紙上畫出一個腰長為2的等腰直角三角形，分別以該直角三角形三邊為邊長向外作正方形.(1)從圖2中你能觀察到的最基本的圖形是什么？(2)圖2中三個正方形A,B,C的面積SA,SB,SC各是多少？你是怎么得到SC的？它們之間有什么關系？(3)圖2中正方形A,B,C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么數量關系？

課堂預設(1)學生通過觀察，不難發現有正方形和等腰直角三角形.(2)學生通過“數方格”或者“邊長乘邊長”的方法可以得出SA=4，SB=4，對于正方形C的面積，通過直接觀察可能無法求解，此時教師可以鼓勵學生自主探索并合作交流，最后引導學生總結出不同的解決方法：①割法，②補法， ③拼法(如圖3所示).因此得出SC=8，通過分析數據可以發現：SA+SB=SC.

圖3

(3)學生討論交流后發現等腰直角三角形三邊之間的數量關系，進而明確建立起表示等腰直角三角形三邊之間數量關系的數學模型：等腰直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

探究2非等腰直角三角形三邊之間的數量關系

圖4

引導學生進一步驗證任意直角三角形三邊之間的數量關系.同樣地，要求同學們在紙上先畫出一腰長為2、另一腰長為3的直角三角形，分別以該直角三角形三邊為邊長向外作正方形，并完成以下探究活動.(1)圖4中三個正方形A，B，C的面積SA，SB，SC各是多少？它們之間有什么關系？(2)圖4中正方形A，B，C所圍成的直角三角形三邊之間有什么數量關系？

課堂預設(1)類似第一個探究活動，學生花點時間自己可以得到：SA=9，SB=4，SC=13.(同樣可以采用“割”“補”“拼”的方法探索正方形C的面積)(2)學生討論交流后發現非等腰直角三角形三邊之間的數量關系.

教師總結：在上述探究活動中，采用了從特殊到一般的數學思想方法，即先以等腰直角三角形為對象感受勾股定理的存在，再推廣到一般的直角三角形.

探究3幾何畫板動態演示：任意直角三角形三邊之間的數量關系

利用幾何畫板操作，直觀展示任意直角三角形三邊之間的數量關系.

課堂預設用幾何畫板驗證任意直角三角形三邊之間的數量關系，更具有說服力.在這個過程中，教師還要注意引導學生用數學語言表示該數量關系，即如果直角三角形兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么就有a2+b2=c2.

設計意圖如果只是通過第一環節解幾何題的過程來引導學生理解勾股定理，學習的功利性明顯，可能會顯得知識單調枯燥，往往會導致學生對學科知識的厭煩和抵觸.數學教學是數學活動的教學，學習和教學的過程不僅要有理性，還要有感性.因此利用上述探究活動，引導學生通過感受和觀察去探索數學規律，形成對勾股定理的感性認知，體會學習數學的樂趣.

2.3 證明定理：歐幾里得證法——“回理性之家”

通過第一個環節的解題過程和第二個環節的探究活動，教師引導學生自主歸納出勾股定理.下面教師向同學們介紹歷史上著名的歐幾里得證法，該方法是歐幾里得在《幾何原本》中給出的關于證明勾股定理的方法，是人類對勾股定理第一次真正意義上的嚴謹證明.

圖5

教師出示題目：如圖5所示，在Rt△ABC的外側，以各邊為邊長分別作正方形ABDE，ACFG，BCHK，它們的面積分別是c2，a2，b2,連結BG,CE,作CM⊥DE,垂足為M，交AB于L.請根據已知條件和圖形嘗試證明勾股定理.

課堂預設學生先獨立思考，緊接著教師向學生說明歐幾里得證法的基本思路，并通過問題驅動學生的理性思維，最后總結證明步驟和方法.

基本思路：通過同底等高的三角形以及其面積關系，將上方的兩個正方形ACFG，BCHK轉換成下方兩個面積相等的長方形.

問題驅動：(1)正方形ACFG和正方形BCHK的面積可以分別轉化為哪個三角形的面積或面積的倍數？

(2)正方形ABDE的面積可以看成哪兩部分之和？每部分的面積可以分別轉化為哪個三角形的面積或面積的倍數？

(3) (1)和(2)中的幾個三角形面積之間有什么關系？由此你能得出正方形ABDE，ACFG，BCHK的面積之間有什么關系嗎？這對勾股定理的證明有幫助嗎？

教師總結證明步驟：

③由于AG=AC,AB=AE,∠GAB=90°+∠CAB=∠CAE,所以有△ABG≌△AEC,S△ABG=S△AEC;

④S四邊形ACFG=S四邊形AEML;

⑤同理有S四邊形BCHK=S四邊形BDML;

⑥S四邊形ACFG+S四邊形BCHK=S四邊形AEML+S四邊形BDML=S四邊形ABDE,即a2+b2=c2.

設計意圖事實上，第二階段的探究活動和第三階段的證明活動所選用的圖形是類似的，區別在于是放在方格紙中觀察還是單獨進行面積分析.將圖形放在方格紙中觀察，通過數方格或“割”“補” “拼”等方式發現勾股定理屬于感性認知，通過面積轉化從而對勾股定理進行證明，充分體現了數形結合思想在證明勾股定理中的重要作用，這屬于理性分析，且此時的理性，已不同于第一階段，它通過感性之路，得到了升華.學生經歷觀察、思考、分析、計算的過程，對勾股定理的體驗更加豐富，深刻體會定理的證明過程和方法，對定理的內涵有了本質的理解.

3 結束語

課堂教學是科學與藝術的交融，是知識學習和情感體驗的并存，教學中應當充滿理性和感性，兩者相輔相成，相互滲透.對于數學教學，由于其學科特點和要求，因此在感性和理性交融教學的基礎上，最終必須回歸到理性，學生最終要掌握數學知識的內在特點和規律方法.[2]

在這種模式的教學中，教師引導學生通過一系列的思維活動，加深了對數學知識形成與發展過程的體驗和對其本質的理解，這不僅激發了學生學習數學的興趣，還培養了學生良好的數學素養.在今后的數學教學中，數學教師要靈活運用思維教學，同時把握好理性與感性之間的平衡點，幫助學生更好地領悟知識.