改進的基于壓縮感知的自適應波束形成算法

王建，王松，丁其洪，樊書辰，江鋒，張宏偉

（1.中國航天科工集團8511研究所，江蘇 南京 210007；2.中國人民解放軍32086部隊，江蘇 南京 210018）

0 引言

為了在保持口徑不變的前提下盡可能地減少陣元與射頻前端數量，人們提出了多種有效降低稀布陣旁瓣的方法，常見的有：遺傳算法［1］、蟻群算法［2］、粒子群算法［3］和模擬退火算法［4］等。但是以上算法都是只針對某個特定的方向圖進行優化布陣，當波束掃描、方向圖形狀改變或者自適應干擾抑制進行時，波束性能會明顯惡化。

近年來，壓縮感知理論的發展突破了傳統的奈奎斯特采樣定理。壓縮感知理論［5-6］指出，只要信號是稀疏的或可壓縮的（即在某個變換域上是稀疏的），那么就可以用一個與變換基不相關的采樣矩陣將變換所得的高維信號投影到一個低維空間上，然后通過求解一個優化問題，從這些少量的投影中以高概率重構出原信號。根據壓縮感知的這一特性，可以利用少量的采樣信號先對陣列信號進行重構，得到滿陣時各通道的數據，然后利用重構的信號進行波束形成。這樣形成的波束圖與滿陣時候波束性能幾乎相同，能夠自適應地抑制干擾，具有波束旁瓣低、指向誤差小、干擾方向零陷深且沒有柵瓣等優點。目前壓縮感知重構算法很多，但是計算量都相對較大，難以滿足實時信號處理要求。近年來，針對壓縮感知的快速重構也有了大量的研究。文獻［7］提出了一種快速最優正交匹配追蹤（Fast OOMP）算法，該算法在原先OOMP基礎上，利用上一次的迭代結果計算當前的迭代結果，從而減少計算量；文獻［8］提出了一種快速連續的壓縮感知算法，利用低秩矩陣填充的特性，進行信號恢復，在保證矩陣半正定的過程中，用數學方法進行簡化從而減少計算量；文獻［9］提出了基于光滑L0范數的快速重構算法；文獻［10］利用信號之間的聯系提出了基于最小二乘的信號重構；文獻［11］提出了一種基于離散余弦變換的快速重構算法。

本文通過對聯合正交匹配追蹤（J-OMP）算法［12-13］的研究，結合陣列信號處理中信號角度信息隨快拍變化較慢這一特點，提出了一種改進的基于多快拍的自適應柵格調整的優化算法，該算法不但恢復效果優于J-OMP，而且在計算量上也大大減少。

1 信號模型

對于N個陣元的陣列，假設有K個遠場回波信號入射到天線陣面上，陣列天線各陣元的接收信號可用一個N維的向量X（t）表示：

式中，V（t）=［v1（t），v2（t），…，vN（t）］T為由各個陣元通道的高斯白噪聲組成的向量，sk（t）為第k個回波信號。對于間距為d均勻線陣，導向矢量ak可以表示為：

式中，λ為工作波長，uk=sin（θk），θk為第k個信號的回波方向。

根據|sin（θi）-sin（θi+1）|=2/N，將-90°～90°的空域N等分，得到ui，i=1，2，…，N。用這N個導向矢量構建變換矩陣A：

壓縮采樣不是直接測量X（t），而是設計一個與A不相關的M×N（M＜＜N）維采樣矩陣Φ。測量X（t）在Φ上的投影向量Y（t），即：

式中，V′（t）=ΦV（t）是系統壓縮采樣之后的噪聲，采樣矩陣Φ表示天線對空域信號的壓縮采樣方式。矩陣Ψ=ΦA是一個M×N的矩陣，稱為觀測矩陣。理論研究表明，當觀測矩陣Ψ滿足限制等容性（RIP）［14］條件時，便可通過求解投影系數向量S（t），由壓縮采樣向量Y（t）精確地重構滿陣時的陣元接收信號向量X（t）。因此，在壓縮采樣中，采樣矩陣Φ的設計非常重要。根據陣列天線的結構特點，本文設計了2種滿足條件且易于系統實現的采樣矩陣：

式中，Φ1、Φ2分別對應稀布陣與隨機子陣結構。

將式（4）改寫成多次快拍的形式得：

在得到壓縮采樣信號YM×L后，可以通優化過求解式（6）的問題來恢復：

2 改進算法

第1節的討論都是基于目標在網格上的前提，當目標不在網格上時，重構的輸出信號誤差將會明顯增大。通過增大參數P，減小網格大小可以改善輸出誤差。但是增大參數P會使計算量急劇上升。根據空間目標在一定時間內角度變換較小這一特點，本文提出了基于多快拍的自適應柵格調整的優化算法。該算法不但提高了恢復精度，而且大大減少了恢復信號所需的計算量。首先將所有得到的采樣信號按快拍進行 分 段YM×L=[Y0M×l，Y1M×l，…，YmM×l]，其 中L=l×m。改進后的算法框圖如圖1所示。

圖1 算法框圖

多快拍的自適應柵格調整優化算法流程為：

①初始余量r0=Y0M×l，內循環迭代 次數n=1，索引值集合Λ=Ф，J=Ф；

②計算相關系數cM×1=(u1+u2+…+ul)/l，其中ui為矩陣uM×l=|ΨHr|的第i列，查找c中最大值，并將對應的索引值存入J中；

③刪除已選中原子，更新支撐集ΨΛ、Ψ’Λ，其中Λ=Λ∪J；

由圖1可以看出，該算法根據估計的稀疏信號計算實際角度與預設柵格角度的偏差來調整柵格（支撐集ΨΛ，Ψ′Λ，ΑΛ，Α′Λ），隨著調整的次數增多，角度偏差會越來越小，恢復精度也會越來越高。當角度偏差足夠小時，可以減少支撐集的更新頻率，從而減少支撐集更新之后，在步驟3）中矩陣求逆引入的巨大計算量。改進算法在初始化時，采用多塊拍的J-OMP算法，當得到相應支撐集之后，采用逐步調整的方法，逐漸調整支撐集后，經過幾次調整之后，角度偏差會很小，支撐集的更新頻率也可以降低。該方法減少了重復的原子選擇過程。

3 仿真結果分析

3.1 波束性能分析

假設有2個來自不同角度（5°，35°）的空域信號，其中一個是期望信號S（t）（5°），信噪比SNR=10 dB，另外一個為干擾信號I（t）（35°），干噪比INR=40 dB。考慮有一個滿陣40陣元的線陣，陣元間距λ/2，隨機抽取15個陣元作為稀布陣陣元。對稀布陣數據、滿陣（40陣元）接收數據、J-OMP方法恢復數據以及本文方法恢復數據的波束形成性能進行了仿真比較。

圖2為幾種方法的方向圖及零陷：圖（a）為波束方向圖比較圖，圖（b）為零陷比較圖。由圖2可知，稀布陣方法旁瓣較高，且零陷偏移；J-OMP方法和本文方法的方向圖旁瓣與滿陣相當，且零陷也較深；本文方法得到的零陷更深，更接近于滿陣。

圖2 幾種方法的方向圖及零陷

3.2 不同情況算法性能比較

下面進行目標不在網格上時，OMP方法、J-OMP方法和本文方法的仿真結果比較。仿真時，均采用一個期望信號S（t）和一個干擾信號I（t），期望和干擾的方向都偏離預設柵格，設INR=40 dB，均做100次蒙特卡洛仿真。

圖3為SNR=10 dB，INR=40 dB，100個快拍處理的結果比較。可以看出，J-OMP優于OMP方法，經過調整之后本文方法結果明顯優于J-OMP方法，接近柵格上的結果。圖4為調整完成之后不同輸入信噪比下的結果比較，可以看出，本文方法優于J-OMP，較好地解決了不在柵格上的問題。

圖3 調整之后輸出信干噪比（l=100，SNR=10 dB，INR=40 dB）

圖4 不同輸入信噪比下的性能比較（l=100，INR=40 dB）

基于多快拍的信號恢復不僅可以減少計算量，更重要的是，在小信號的情況下，多快拍的處理有助于減小恢復誤差，圖5為不同快拍處理結果的比較。可以看出，快拍越多，信號恢復越精確，特別是小信號情況下，快拍較少時，信號不能很好地恢復。

圖5 不同快拍下的性能比較（INR=40 dB）

隨著柵格的自動調整，目標更接近于柵格，一階泰勒展開誤差更小，所以本文方法恢復效果優于J-OMP方法。圖6為不同口徑下結果的比較，對于大口徑的陣列，本文方法相比于J-OMP方法性能提升較小，但是在小口徑陣列下提升較大，可見該方法更適用于小口徑的陣列。

圖6 不同口徑下性能比較（l=100，INR=40 dB）

本文第1節給出了2種滿足條件且易于實現的采樣矩陣Φ1、Φ2，圖7為2種采樣矩陣下的結果比較（均為15個射頻通道），可以看出，子陣結構的輸出信干噪比優于稀布陣結果。這是因為采用子陣結構時，最后信號能量為40個陣元的疊加，而稀布陣的能量是15個陣元能量的疊加，所以，子陣結構得到的能量大于稀布陣結果。

圖7 稀布陣與隨機子陣性能比較（INR=40 dB）

4 結束語

本文提出的改進的基于多快拍的自適應柵格調整的優化算法，不但在恢復效果上優于J-OMP方法，而且在計算量上也顯著減少。該方法可以在不影響波束性能的前提下大大減少射頻通道數，從而降低雷達的成本。該方法利用回波信號在空域的稀疏性且變化較慢這一特點，利用柵格的自適應調整提高恢復精度，減少計算量。通過仿真可以看出，該方法與J-OMP方法相比，不僅適用于大陣列還適用于小陣列，多快拍處理性能優于單快拍處理性能，隨機子陣結構性能優于稀布陣。■