適用于微型投影的同心多反射光學系統的研究

高培筠 馬家聰 杜宇航

江蘇大學機械工程學院 江蘇 鎮江 212001

引言

對微型投影的需求導致了短焦距、小光圈鏡頭的廣泛使用，這滿足了許多商業和軍事應用所需的嚴格的空間和重量限制。雖然這些微型屈光透鏡通常在良好的照明和較小的光學放大范圍內表現良好，但分辨率和光的收集受到透鏡的焦距和物理軌跡長度的限制。一些廣泛用于復雜場合投影的傳統光學變焦技術并不合適。因此，要在微型投影的基礎上處理緊湊的空間是設計微型投影的關鍵因素。

先進的光學制造技術已經成功促進了使用非球面和自由形式光學[1-3]的新型超緊湊散射折射（反射或折射）透鏡的設計。而傳統的大多數投影光學鏡頭折射光，都是我們熟悉的圓柱形包裝幾何形狀。在某些情況下，需要延長焦距或減少軌道長度，同心鏡可以有效地減少筒長度，更好地確保在微型投影鏡頭中體積盡可能縮小。同心多反射透鏡的形狀更像鏡頭蓋，允許我們將長焦距擠進一個薄薄的包裝中，仍然能收集足夠的光線進行快速、清晰的曝光。光學成像系統尺寸縮小的一個主要挑戰是變焦光學的可伸縮性：隨著傳統成像系統的縮小，焦距（即放大率）隨著允許的光學厚度而縮小。此外，受可用最小圖像傳感器尺寸的限制，我們發現這些相機通常限制在短焦距、小光圈鏡頭。雖然微型投影在中等視場（FOV）應用中工作良好，但還有更多其他場合需要微型投影有更大的放大倍數和更好的光收集，以減少厚度、體積和或重量。

1 同心多反射透鏡

1.1 同心多反射透鏡的概念

一種在不增加焦距和放大率的情況下來顯著增加焦距的方法，是用同心反射器反射光路多次光路，從而限制光學在薄光學元件內傳播。這一概念是基于傳統反射望遠鏡設計[4]的擴展，增加了反射鏡以最小化軌道長度和擴大直徑以保持光收集[5-6]。圖1顯示了同心多反射透鏡設計概念：光通過一個外部的環形孔徑進入元素，并通過一系列同心區域反射器聚焦到透鏡中心區域的圖像平面。

這種薄的同心多反射器方法導致光學透鏡設計具有較大的表面功率，較大的遮擋率和緊密的制造公差。這些挑戰可以滿足：使用多個非球面反射器優化糾正幾何引起的像差；擴大直徑允許多個同心反射，改善光收集和抵消衍射效應引起的環形孔徑；通過使用單點金剛石切削（SPDT，Single Point Diamond Turning）制造具有最小重復堵塞的同心環形非球面反射器，使多個表面自對準[7-11]。

1.2 幾何光學

圖2（b）描述了一個薄同心多反射透鏡透鏡的簡化設計幾何形狀，將焦距為F的薄近軸透鏡與在第一次反射時使用單一的薄（近軸）動力反射鏡的模糊同心多反射透鏡版本進行了比較。有了這種簡化的薄反射器幾何形狀，任意甚至多次反射（2、4、6等），我們可以檢查并且聯系重要的幾何參數：FOV、孔徑、焦距、直徑、厚度和反射次數。

圖2（b）中所示的同心多反射透鏡透鏡的焦距為：F=NT/ns，其中F為焦距，N為反射次數，T為透鏡的厚度，ns為介質的折射率。對于小的FOV，我們發現為了避免光暈的損失，環形孔徑的寬度受到第二反射器最外層斜射線位置的限制。這個條件允許我們將孔徑的大小表示為其他幾何參數的函數為：

其中，w為環形孔徑的寬度，D為直徑。對于FOV大于公式 （2.2）和四次或更多的反射：

我們發現孔徑的寬度不再限制在第二個反射鏡，而是在第二個到最后一個反射鏡，假設圖像平面被設計為與同心多反射透鏡的背面密切接觸。對于這些較大的FOV值，環空的寬度由

方程（3）中w=0的值決定了孔徑尺寸趨于零時可能的最大FOV。圖3顯示了使用方程（1）和（3）的w與FOV的圖，一旦滿足方程（2）的FOV，就可以看到孔徑尺寸急劇下降到零。

對于常用的雙反射器方案N=2，在方程（2）（最大FOV）的FOV處，孔徑將減小為零，僅方程（1）就足以描述參數之間的關系。

方程（1）到（3）表明，隨著數量或反射數（N）、焦距（F）或厚度（T）的增加，最大FOV減小。此外，隨著FOV的增加，環形孔徑的尺寸，w必須減小，以防止環形反射器的重疊。最后，隨著直徑的增加，FOV和w都增加。這最后一點是很重要的，因為它表明，我們需要一個擴大的直徑，以適應一些反射到一個具有合理的FOV和孔徑的薄透鏡設計。隨著直徑的增大和幾次反射，我們可以期望非常大的表面功率，Φ，和表面“功”，Φ y，其中y是在第一個反射器上偏離光軸的光線高度。這種大的表面工作將出現顯著的像差，必須加以糾正。為了做到這一點，同心多反射鏡頭的每個后續反射都可以用于像差校正或擴展系統的焦距。由于需要的表面功率和嚴重的系統約束，而如今考慮的這些表面是基于非球面的。非球面表面對公差產生額外的困難，但可以很容易地用SPDT制造。

1.3 物理光學

高度遮擋的環形孔徑的衍射效應很重要，因為微型投影設備的理想遮擋比（定義為遮擋的直徑除以外徑的直徑）的同心多反射透鏡設計超過0.7。對于給定的直徑和焦距，環形孔徑將非相干點擴散函數（PSF）中的光功率從中心峰值移動到側瓣；降低中空間頻率非相干調制傳遞函數（MTF）。環形孔徑的非相干點分布函數（PSF，point spread function）可以用公式（4）解析表示：

無論遮擋率如何，最大可分辨空間頻率都保持不變，但較大的遮擋率顯著降低了MTF的中空間頻率值。因此，由于它對圖像對比度[12]的影響，在反射望遠鏡中通常是不可接受的。所以在考慮同心多反射透鏡設計中，可以接受高度模糊的MTF的形式，因為我們的直徑被放大，以糾正中空間頻率的低對比度。

而對于信噪比有限的圖像傳感器，與未遮擋鏡頭相比，降低的非相干MTF也降低了未處理的圖像對比度。為了匹配沒有處理的對比度，必須增加同心多反射透鏡的直徑，以將總信號功率提高到所有感興趣的空間頻率下的未遮擋透鏡的值。為了直接和更清楚地比較模糊和不模糊的透鏡，檢查非相干MTF作為相對能量收集作為空間頻率的函數的表示是有用的。考慮由[13]以下的公式（5）給出的非相干MTF的定義。

這里MTF的定義以通常的形式表示為瞳孔面積歸一化的瞳孔的自相關。去除歸一化因子，或歸一化到一個比較相機，允許不同大小和形狀的孔徑直接比較的孔徑衍射有限的相對能量收集與空間頻率。

1.4 分辨率和光收集

微型傳統鏡頭的分辨率通常很差，因為焦距減小，而像素和陣列大小卻沒有類似的減小。對于微型投影，當物理尺寸限制限制了投影光學的焦距時，這些最小像素大小限制了可實現的分辨率。同心多反射的方法可以使得在使用時有更長的有效焦距（EFL），而不增加光道（從第一個表面到圖像傳感器的物理長度）。這允許更大的放大和增加的角度分辨率由像素采樣間距。

除了延長焦距外，薄同心多反射方法還擴大了相機的直徑，增加了收集光圈面積。這個擴大的孔徑區域允許小的F/#s和高的相對照明度，即使有很大的遮擋。為了比較同心多反射透鏡的光圈與傳統的不被遮擋的圓形透鏡的光圈，我們可以將同心多反射鏡頭的有效孔徑定義為：

其中，D是模糊透鏡的外徑，o是模糊比，Deff是與同心多反射透鏡相同孔徑面積的未模糊圓光圈的直徑。

1.5 弧形切片

傳統的折射透鏡通常采用可調節的虹膜來阻止透鏡孔圈，以增加DOF或減少成像系統收集的光量。使用一個離軸孔徑掩模也可以達到類似的效果。在考慮同心多反射設計時，通過分割如圖4（a）所示的不對稱的孔徑部分，實現了方便的離軸孔徑掩模。這種光圈的減少可以顯著增加同心多反射鏡頭的DOF，由于光圈面積的減少，在靈敏度上進行權衡。弧形切片孔徑也提供了一種進一步減小同心多反射透鏡體積的方便方法，因為可以去除透鏡體積的相當一部分。通過以這種方式對同心多反射鏡頭進行弧切設計，我們可以制作一個超緊湊、大放大、大景深的投影，用于各種應用，包括緊湊型便攜式設備投影。下面就從DOF擴展、物理光學、光收集和弧截面同心多反射透鏡的體積來分析。

1.5.1 增加了聚焦深度和景深。使用圖4中所示的參數和幾何形狀，可以檢查弧形截面孔徑的聚焦深度和DOF值。假設可接受的角度模糊β；或可接受模糊斑大小，B[14]。對于小角度模糊，這兩個值關聯為：

其中，D是孔徑的直徑。

從圖4（a）可以看出，弧截面孔徑的x方向寬度，Dx與全孔徑對稱孔徑的直徑D和弧截面角θ有關：

從圖4（b）可以看出，xz平面上的弧形截面透鏡（如圖所繪制的）的幾何形狀與任意直徑和焦距的傳統不被遮擋透鏡相似。從類似的三角形：

其中，δ是偏離焦距（遠離鏡頭，δout，或者朝向鏡頭，δin），F是鏡頭焦距（鏡頭聚焦在無窮遠）。在β和B，允許偏離焦點是：

假設δ＜＜F或B＜＜D方程（10）可以簡化為：

忽略通過焦點圖像的轉移來確定聚焦的深度，與焦點的偏離是：

如前所述，在大多數設計中出現的模糊比將從全孔徑父設計中固定下來。通常會選擇弧截面角，以盡可能大的孔徑增加DOF到理想的水平。在大多數情況下，聚焦深度和DOF將受到弧形截面角（所繪制的x方向）的限制，而不是模糊度（y方向）。因此，在大多數情況下，聚焦深度和DOF將分別由方程（12）和（13）決定。

通過聚焦圖像偏移可以用y方向偏離聚焦δy來描述。對圖4（c）的分析得到：

S是圖像的位移，δ是偏離焦點的方向。在這里，δ是決定一個指定的離焦的圖像位移量的變量。

1.5.2 所需的孔徑和體積。弧形截面同心多反射設計的有效孔徑直徑可以描述為：

其中，D為全孔徑對稱透鏡的直徑，D1為圖像平面的直徑，T為透鏡的厚度。使用公式（19）和一系列同心多反射設計的典型值，通過去除弧形切片同心多反射透鏡的未使用體積，可以發現體積減小了3倍到11倍。因此，這種方法對于不僅需要同心多反射鏡頭的薄形式，但也需要最小的體積也就是最大的緊湊性以及拓寬的DOF。

2 結束語

本文介紹了超薄、超緊湊可見光成像系統中同心多反射透鏡理論基礎。筆者首先討論了薄同心多反射鏡頭的基本原理。這包括對薄環形幾何和孔徑的幾何和物理光學的考慮，然后是對全光圈同心多反射透鏡設計的光收集和體積的分析。我們已經表明，鏡頭大小可以按比例使用標準化非相干調制傳遞函數匹配清晰光圈鏡頭的空間頻率響應，并表明，對于所應用成像設備做適度FOV要求，同心多反射鏡頭能夠提供一個有效的方法來大幅減少光學跟蹤[15]。此外，還考慮到弧形切面從而對同心多反射鏡頭有相應的修改，是增加景深和減少同心多反射鏡頭設計體積的有效方法，從而在接近中等的物體距離上增加緊湊度和功能。總之，同心多反射透鏡和成像系統，如本文中所述，有潛力應用于微型的成像儀，其中長焦距必須包含在一個有限的軌道內。展望未來，固體填充的同心多反射鏡頭更適用于廉價的大規模生產，使用玻璃成型工藝，以及設計額外的表面，來幫助在裝配過程中對齊。同心多反射鏡頭的設計對于低重量、低成本和微型便于攜帶的各類成像設備應用都具有特別的吸引力。