基于調制帶寬轉換器的壓縮采樣寬帶數字接收機設計

楊 凡

（廣東女子職業技術學院 外語外貿學院，廣州 511450）

隨著我國信息化建設的不斷發展，城市環境無線網絡通信系統結構日趨復雜，為了適應復雜多樣的電磁環境，通信設備接收機在具備相位編碼、頻率調制等常規功能的基礎上，還逐漸加入了復合調制信號、脈沖壓縮信號以及頻率捷變等功能。然而，由于現代民用通訊設備在ADC采樣速率的提升方面遇到瓶頸，通信產業需要通過新的思路來解決高速率信號采樣與較低采樣率之間的矛盾[1-2]。因此，本研究將壓縮感知理論應用于寬帶數字接收機設計，并取得了較為理想的仿真效果。

1 壓縮感知理論概述

壓縮感知是一種通過低速ADC實現高速采樣的信號采樣方式，可基于稀疏域上的信號完成信號采集，再通過特定的重構算法來恢復信號。

1.1 稀疏模型

一般情況下，時間域上的自然信號并不具有稀疏性，因此需要將其映射至其他域中以展現出稀疏性。定義離散信號，在此基礎上可以通過正交基的基函數將其描述為：

公式（1）中，θi代表信號x在Ψi上的系數；代表的第 i列；θ=[θ1,θ2,…,θN]T設中非 0項的數量為K，若其他N-K個項的值為0且，則代表信號x在正交基Ψ上為K稀疏。由于電磁信號在一般情況下并不具有理想的稀疏性，致使投影系數出現大量非0值項，因此需要以指數衰減的形式對投影系數加以排列，并在此基礎上進行壓縮處理。

位于稀疏變換基范圍內的信號均有與其相應的稀疏度，信號的稀疏性與稀疏度成反比，信號的稀疏度越小，可壓縮性越高。因此應當盡量篩選稀疏度較低的稀疏變換基以強化信號的可壓縮性。

1.2 觀測矩陣

為了將信號投影至稀疏域內，需要事先對信號實施稀疏變換處理，由于變換后所獲取投影系數長度等同于原始信號長度，因此需要通過觀測矩陣來壓縮信號以實現對于原始信號的線性測量，該過程可描述為：

在公式（3）中，δK代表矩陣A中符合RIP性質的k階常數，觀測矩陣A在δK＜1的情況下可滿足有限等距性要求，使得投影前后的信號一一對應，進而在重構信號時取得唯一的結果。

1.3 重構算法

為了實現信號的重構，首先需要運用觀測矩陣A和觀測值y來計算出投影系數θ，并在此基礎上運用稀疏變換基Ψ和所求得的投影系數θ計算出原始信號x。為了便于分析，本次研究采用10范數將該問題描述為：

由于在通過最小10范數進行求解時會面臨非凸性和無法獲取全局最優解等方面的問題。因此，本次研究利用最小化11范數在某些條件下與最小化10范數等價的特性，將10范數轉換為11范數，即將10范數優化問題轉換為11范數優化問題，該問題可描述為：

在非凸問題轉換方面，可供選擇的凸優化算法主要有迭代閾值算法、梯度追蹤算法、內點法等，傳統算法雖然能夠實現較高的重構概率，但也需要進行大量的數據計算。因此，本次研究決定采用貪婪算法來處理重構問題，該算法在每次迭代時均能夠獲取局部最優解，并在迭代過程中逐漸逼近真實值[3-4]。貪婪算法雖然在重構性能方面稍遜于凸優化算法，然而在民用通信領域中，靈活調用運算資源、提高計算速度也是通信設備的主要需求之一，貪婪算法可有效滿足相關方面的需求[5-6]。

2 MWC壓縮采樣寬帶數字接收機結構

將接收信號定義為x[n]，MWC在獲取該信號后會自動將其劃分為相同時延、相同幅度的M路信號，測量矩陣中的偽隨機序列與M路程信號混頻并得到信號。在此基礎上，由低通濾波器對混頻輸出信號m[n]實施濾波處理進而得到信號Wm[n]，并針對Wm[n]實施MP倍抽取處理，將抽取結果發送至低速ADC完成采樣，得到采樣結果ym[k]。MWC的基本結構如圖1所示。

圖1 MWC基本結構

雷達接收信號離散時間域的表達方式如下：

在公式（6）中，η[n]代表高斯白噪聲；s[n]代表信號中真實信號；x[n]代表雷達接收到的復數離散信號。根據奈奎斯特采樣定理，采樣率，其中TNYQ代表奈奎斯特采樣周期，限制信號頻率范圍。在此基礎上對x[n]實施離散時間傅里葉變換處理，具體處理方法如下：

以MWC基本結構中的第m路為例，設為偽隨機序列的主值序列，以長度進行周期循環，中含有個元素，其中代表的一個循環周期，則序列的表達方式如下：

在公式（9）中，代表序列的離散傅里葉變換系數；l為子帶索引號，且有。混頻速率為，基帶頻譜范圍為，序列將劃分為段，各段間隔均為，各段的位置即為索引。為防止產生邊緣效應，須令，其中B為真實信號的帶寬。在此基礎上，對實施離散時間傅里葉變換處理，具體方式如下：

信號在經過混頻處理后被傳輸至低通濾波器，其頻率響應為。由于基帶頻譜范圍為，因此濾波器的截止頻率為。信號在經過濾波處理后可表示為，對其實施離散時間傅里葉變換，具體方式如下：

在公式（11）中，*代表卷積，經過低通濾波器處理的信號頻譜分量位于內，但其數據率仍為fNYQ，存在一定的冗余。因此還需要對經過濾波處理的信號Wm[n]實施采樣處理，采樣速率為，其中Ts代表采樣數據的采樣周期。令，其中MP代表抽取因子，通過低速ADC抽取來自高速ADC的信號，進而降低信號數據率，在降低數據存儲壓力的同時減少信號處理工作量。針對采樣信號ym[k]實施離散時間傅里葉變換處理，具體方式如下：

基于MWC基本結構，以矩陣的形式對分支的輸出加以描述，可得出如下關系式：

在公式（13）中，C代表MP×MP維的觀測矩陣；y（f）代表M維的列向量，第m路元素為 Ym（ej2πfTs）；z（f）代表 MP維的列向量，第 l個元素為 X（ej2πfTNYQ(f-lfp)），Pm（l）系數的表達方式如下：

M×MP維觀測矩陣的表達方式如下：

MWC壓縮采樣寬帶數字接收機的恢復有賴于列向量z（f）的稀疏性，只有在z（f）具備稀疏性的情況下，MWC才可以基于較少的支路重構信號。定義重構模型V=CU，其中C代表壓縮感知中的觀測矩陣，設該矩陣的秩為q，即MWC壓縮采樣接收機的支路數。為了在壓縮采樣信號中重構出原始信號，須保證q≥2|supp（U）|，其中|supp（U）|為U的支撐集。由于M＞2Ksp是重構復信號z（f）的必要條件，因此相比于實信號來說，復信號的頻譜減少一半；由于M＞4Ksp是重構實信號的必要條件，因此相比于實信號來說，MWC壓縮采樣寬帶數字接收機處理復信號的能力更強，其中Ksp為信號頻譜數量。各種不同類型的信號頻譜圖如圖2所示。

圖2 不同類型的信號頻譜圖

3 重構MWC壓縮采樣信號

基于MWC結構所獲取的信號模型沒有封閉的解，并且稀疏度未知，在支撐集元素基數數量無限的情況下，該模型可以看作為一個無限測量向量模型[7-8]。因此，本次研究首先通過連續有限轉換算法對采樣信號進行處理，將無限測量向量模型轉換為有限模型。連續有限轉換算的基本流程如圖3所示。

圖3 連續有限轉換算法基本流程

首先建立框架V，結合采樣信號y[k]獲得矩陣Q，具體方法如下：

在公式（17）中，（·）H代表共軛轉置。在此基礎上針對Q實施分解處理，具體方式如下：

接下來，通過貪婪匹配追蹤算法獲取信號存在的索引集合S，結合觀測矩陣和采樣信號獲取各通道在基帶中的時域波形zs[n]，具體方法如下：

在公式（19）中，（·）+代表違逆，最終所獲取重構信號的時域表達式如右：

在公式（20）中，h [n]代表理想的插值濾波器，其速率為奈奎斯特采樣率fNYQ。

4 仿真實驗

本次研究通過仿真實驗的方式對以上算法的有效性進行分析，仿真模型各項參數如下：MWC支路數量M=20路；通過Bernoulli序列生成偽隨機序列矩陣的主值序列，Bernoulli序列單個周期長度為MP=20；奈奎斯特采樣率fNYQ= 20GHz。

雷達信號各項參數如下：信號觀測時間T=120us；信噪比為20dB；采樣點數量20 400點；信號頻率fc=2 500MHz，幅度為1；壓縮采樣ADC的采樣點數。最終所得到的MWC壓縮采樣寬帶數字接收機仿真結果如圖4所求。

圖4 MWC結構仿真結果

本次研究針對基于MWC結構的壓縮采樣寬帶數字接收機進行仿真分析。其中，圖4（a）為原始信號時域圖，根據該圖可知，原始信號中含有大量噪聲；圖4（b）為原始信號頻譜圖，其譜線位于2 500 MHz和17 500 MHz附近；圖4（c）為Bernoulli序列圖，序列中的值隨機出現于[-1,1]區間范圍內；圖4（e）為重構信號與原始信號時域圖，根據該圖可知，MWC結構可以在時域上重構原始信號；圖4（f）為重構信號與原始信號頻域圖，根據該圖可知，重構信號與原始信號頻譜相同，代表基于MWC結構的壓縮采樣寬帶數字接收機在性能方面具有可行性。

5 結束語

本文基于壓縮感知的基本原理，介紹了MWC壓縮采樣寬帶數字接收機的數據處理流程，并通過連續有限轉換算法處理MWC結構所獲取的采樣信號，將無限測量向量模型信號轉換為多測量向量模型信號，并通過常規貪婪匹配算法來重構信號。經實驗研究發現，本次研究所提出的數字接收機設計方案體現出了較為理想的信號重構效果。