以問題設(shè)計為手段 發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)
——以“兩角和與差的余弦公式”教學(xué)為例

王 燕 (江蘇省梁豐高級中學(xué) 215600)

新一輪課程改革以培養(yǎng)學(xué)生“核心素養(yǎng)”為目標(biāo)，普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所設(shè)定的核心素養(yǎng)的本質(zhì)就是抽象、推理、模型．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析．基于“四基”的數(shù)學(xué)教學(xué)就是基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué)．[1]這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn)．?dāng)?shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維思考世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界．

隨著課程改革的深入，廣大教師的教學(xué)理念也發(fā)生了重大轉(zhuǎn)變，學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也隨之轉(zhuǎn)變．教師與學(xué)生在課堂上的角色也在不斷地發(fā)生變化．教師從單純的知識傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)者、課程的開發(fā)者和研究者．學(xué)生也從學(xué)習(xí)上的接受者轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)活動的參與者、問題的研究者和學(xué)習(xí)者．

一堂高效的數(shù)學(xué)課，首先應(yīng)該基于對教學(xué)目標(biāo)的準(zhǔn)確定位，在課堂教學(xué)中基于目標(biāo)分步驟實施教學(xué)計劃.在教學(xué)實踐中，重要的是教給學(xué)生研究問題的方法，讓學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，從而使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)得以落實．課堂教學(xué)設(shè)計是課堂成功與否的關(guān)鍵，設(shè)計的成功與否在于能否吸引學(xué)生融入到課堂中去．本文以“兩角和與差的余弦公式”的教學(xué)設(shè)計為例，談?wù)勗跀?shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計中，如何滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)．

1 回顧舊知，引出問題

我們在必修四第二章《平面向量》中，學(xué)習(xí)了向量的概念及表示、向量的運算和坐標(biāo)表示，以及向量的數(shù)量積．?dāng)?shù)量積公式a·b=|a||b|cosθ(其中θ為向量a,b的夾角)，另外a=(x1,y1),b=(x2,y2)，a·b=x1x2+y1y2．

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生從聯(lián)系與變換的角度自然地提出接近研究水平的問題，增強學(xué)生的問題意識．不直接提出先研究cos(α-β)，是為了使探究更真實、更自然．

2 解決問題，意義建構(gòu)

2.1 大膽嘗試，合理猜想

問題3如何用角α,β的正弦、余弦值來表示cos(α-β)呢？如果沒有特別說明，α,β都表示任意角．同學(xué)們第一反應(yīng)這個結(jié)果可能是什么？

如果有學(xué)生提出cos(α-β)=cosα-cosβ．

師：既然是猜想，那就根據(jù)我們所學(xué)的知識來驗證這個猜想是否成立．當(dāng)a=60°,β=30°時，同學(xué)們動手算一算，等式兩邊相等嗎？

師：我們再取一組角α=120°,β=60°，通過驗證，我們可以得出這樣的結(jié)論，對角α,β，cos(α-β)≠cosα-cosβ．下面讓我們先討論α,β,α-β都是銳角的情況．

設(shè)計意圖進(jìn)一步強化學(xué)生的猜想與探究意識，同時讓學(xué)生感受或?qū)W會思維受阻時如何“拐彎”，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)．

問題4怎樣用α,β的三角函數(shù)來表示cos(α-β)？

引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造如圖1所示的直角三角形，并用割、補的方法得到cos(α-β)=OM=OB+BM=OAcosα+APsinα=cosβcosα+sinβsinα．

圖1

設(shè)計意圖讓學(xué)生感受如何化陌生問題為熟悉問題，如何通過作輔助線，用“割補法”尋找量與量之間的聯(lián)系，利用幾何直觀發(fā)展直觀想象和邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

2.2 聯(lián)想舊知，科學(xué)證明

問題5上面這個式子是否對任意角α,β都成立？

教師借助事先設(shè)計的多媒體軟件，由學(xué)生提出任意角進(jìn)行驗證．?dāng)?shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模瑪?shù)學(xué)結(jié)論必須經(jīng)過嚴(yán)格的邏輯證明．現(xiàn)在初步結(jié)果已經(jīng)出來，目標(biāo)和方向已經(jīng)明確．請大家仔細(xì)觀察上面兩式的構(gòu)成要素和結(jié)構(gòu)特征，看看從中會得到什么樣的啟發(fā)？產(chǎn)生怎樣的聯(lián)想？或有什么新的發(fā)現(xiàn)？

問題6如何證明cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ？(學(xué)生分組討論，共同解決問題)

圖2

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個向量的夾角θ與α-β的聯(lián)系與區(qū)別，并通過觀察和討論搞清楚α-β=2kπ±θ(k∈Z)，增強學(xué)生用數(shù)形結(jié)合、分類討論的方法解決問題的意識，感受數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．

問題7從剛才我們推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程來看，大家有什么啟發(fā)和感悟？教材為什么要先提出求cos(α-β)？

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生從探究思路、數(shù)學(xué)思想方法、所用到的數(shù)學(xué)知識等方面進(jìn)行回顧與反思，強化學(xué)生的思維發(fā)展，突出向量的工具價值．

問題8我們能否利用兩角差的余弦公式得到兩角和的余弦公式？

生：在兩角差的余弦公式中，用-β代替β，可以得到cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosβcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ，所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ．

師：請同學(xué)們總結(jié)兩角和與差的余弦公式的特點．

生：(1)對任意的角α,β均成立；(2)左右兩邊的符號相反；(3)右邊三角函數(shù)排列順序是 cosαcosβ,sinαsinβ．

師：利用向量的數(shù)量積公式通過算兩次的方法，我們推導(dǎo)出了兩角差的余弦公式，通過“用 -β代替β”的換元法，我們得到了兩角和的余弦公式．今后我們可以運用這組公式來解決非特殊角的三角函數(shù)求值問題．

3 運用鞏固，培養(yǎng)能力

例1利用兩角差的余弦公式求cos 15°, cos 75°的值．

引導(dǎo)學(xué)生用15°=45°-30°和15°=60°-45°兩種方法求解．

設(shè)計意圖通過例1的講解，讓學(xué)生當(dāng)堂鞏固兩角和與差的余弦公式，感受15°角的不同拆分方式．

師：請同學(xué)們自編一個利用兩角和與差的余弦公式求解的題目，并且嘗試自己解決．

設(shè)計意圖例2的設(shè)計，主要是為了強調(diào)角的范圍對三角函數(shù)值正負(fù)的影響，同時通過本例給學(xué)生示范解答的規(guī)范性．教師在課堂上給學(xué)生適當(dāng)?shù)匿亯|、點撥、示范，指導(dǎo)學(xué)生提問的方向和思考問題的路徑．通過讓學(xué)生嘗試編寫題目，培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力．

4 回顧總結(jié)，提升認(rèn)識

本節(jié)課你有哪些收獲？學(xué)到了哪些知識？運用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生交流后歸納，教師補充完善．

設(shè)計意圖讓學(xué)生對探究的過程與思路、方法有一個清晰的認(rèn)識，進(jìn)一步達(dá)到“教思維”的目的．

圖3

5 拓展閱讀，滲透文化

無字證明：20世紀(jì)90年代末美國《數(shù)學(xué)雜志》開辟沒有文字的證明專欄，受到廣大數(shù)學(xué)愛好者的關(guān)注，圖3就是其中刊登的一個典型案例！

設(shè)計意圖通過閱讀材料的介紹，可以豐富學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)展史的認(rèn)識，拓寬學(xué)生的知識面，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時也將數(shù)學(xué)文化融入課程．

6 課后作業(yè)，鞏固延伸

(1)教材106頁，習(xí)題第1～6題；(2)試自主探究公式Sα+β，Sα-β，并加以證明．

設(shè)計意圖通過課外作業(yè)的布置，達(dá)到對課堂知識的復(fù)習(xí)鞏固和強化的目的．另外，適當(dāng)布置一些探究性的問題為下一節(jié)課作鋪墊，起到承上啟下的作用．

7 感悟反思，促進(jìn)提高

在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計中，教師以問題的提出和解決作為這堂課的出發(fā)點和歸宿地，以問題為主線的教學(xué)方式使學(xué)生始終處于主動探索的狀態(tài)，有助于有效提升課堂教學(xué)效率．每個教學(xué)環(huán)節(jié)緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成而精心設(shè)計，以問題為載體，在教師創(chuàng)設(shè)的問題情境中，每個學(xué)生都積極投入探究過程，學(xué)生在疑惑中去探索，在探索中去思考，在思考中去發(fā)現(xiàn)．教師搭建學(xué)習(xí)平臺，并給學(xué)生充分表現(xiàn)的機會，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)真正地交給學(xué)生，以實現(xiàn)學(xué)生角色的轉(zhuǎn)變．課堂上教師只是適時對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，把實踐的空間都留給學(xué)生進(jìn)行思考、探究、交流．教師樹立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程意識與教學(xué)意識，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展貫穿于數(shù)學(xué)課堂的全過程．

高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，引導(dǎo)學(xué)生會學(xué)數(shù)學(xué)、會用數(shù)學(xué)．問題是推動學(xué)生自主探究的主要動力，啟發(fā)學(xué)生的問題意識是生態(tài)課堂的重要部分，問題意識是思維的起點．美國教育家布魯巴克認(rèn)為：最精湛的教學(xué)藝術(shù)，遵循的最高準(zhǔn)則，就是學(xué)生自己提出問題．愛因斯坦指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要．”教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)置問題固然能使教學(xué)按照既定方向進(jìn)行，但是學(xué)生獲得的僅僅是數(shù)學(xué)上或是實驗上的技術(shù)，而讓學(xué)生提出新的問題，發(fā)現(xiàn)新的可能性，卻可以喚醒學(xué)生的想象力，讓學(xué)生不再缺席“提問”這一科學(xué)探究中最重要的一環(huán)．本節(jié)課在講完例2之后，教師通過讓學(xué)生自己編題這一環(huán)節(jié)，給學(xué)生搭建平臺，引導(dǎo)學(xué)生自主提問．體現(xiàn)了教師在教學(xué)中落實“四基”，培養(yǎng)“四能”，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展．

本節(jié)課教師從學(xué)生的學(xué)情出發(fā)，站在學(xué)生的角度去探索問題，給學(xué)生提供更多探索新知的機會，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，為學(xué)生思維能力的提升搭建平臺．教師是學(xué)生自主探究的引導(dǎo)者、組織者，當(dāng)然教師在教學(xué)中的引導(dǎo)作用必須以確定學(xué)生主體地位為前提．在教學(xué)的每個環(huán)節(jié)，都應(yīng)通過啟迪和引導(dǎo)，使學(xué)生參與到分析知識的形成過程中去，從而使學(xué)生思維能力得到有效的培養(yǎng)和開發(fā)，我們的課堂教學(xué)效益才會在更大的范圍內(nèi)、更深的層次上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，才能保證數(shù)學(xué)教學(xué)始終在新的理念指導(dǎo)下獲得預(yù)期的教學(xué)效果，才能實現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)．