促進學生數學高階思維發展的變式教學路徑架構*

00080 華東師范大學第一附屬初級中學 李建華

數學是思維的體操，高階思維是數學核心素養的重要內容.“思維著的教學活動決定著學習的質量.因此必須重視人的思維教育，對于數學教育而言，思維教育日益處于核心地位”[1].但是，縱觀目前的數學課堂，仍然存在學生數學思維僵化，尤其是學生的高階思維還沒有得到充分發展的現象.究其原因，主要是部分教師的灌輸式教學使學生的思維缺乏適應性，在教學過程中過分強調套路和模式，減少了學生思索問題的機會，導致學生在很大程度上只是通過套用模式和模仿解決問題，機械地使用教材(例如教材中反映概念的圖形通常以標準形式呈現，忽略了標準圖形的特殊性和有限性)，容易形成機械記憶.

實踐證明，變式教學是數學教學的一種重要方法.通過創建“含英咀華、披沙揀金、循序漸進、‘小題大做’”的變式訓練，可以指導學生以驅動性問題為線索，從多個方向、多個角度加以思考，并引導學生通過現象把握數學及其學習本質.它能優化學生思維結構，是提升思維品質的利器，并且易于滲透到日常數學教學中，是與教學無縫銜接的一種有效方法.

1 變式教學及其對高階思維培養的價值

1.1 變式教學的內涵解讀

《中國教育百科全書》把“變式”界定為“從各個不同的角度抓住事物的主要特殊屬性，概括出事物的一般屬性的思維方式”[2].在數學教學中，“變式”是指相對于一種固定范式的變化形式，即不斷改變問題情境或改變思維角度的變化模式，使事物的非本質屬性在保持事物本質不變的前提下不斷遷移，在數學教材中具體表現為數學思維結果.

“變式教學”是運用變式原理突出學科的概念、規律和本質特征的教學，是一種指向高階思維培養的教學策略.它是重要的數學教學思想，也是思維訓練的重要途徑.它要求數學課程開發和教學實施通過不同性質和類別的變式展示知識發生、發展和形成的完整認知過程，凸顯思維過程.通過運用不同的知識和方法，從不同的角度、不同的層次、不同的情境、不同的背景對數學問題進行變式研究，有意識地引導學生從“變化”現象中發現“不變”的本質，從“不變”中尋求“變化”規律，培養數學學科核心素養.它有助于培養學生透過現象認識數學問題本質的批判型思維，以及求異、思變的創新型思維.

1.2 數學高階思維——一種復雜思維

高階思維是一個相對的概念.目前，關于高階思維的定義在學術和實踐領域尚無普遍共識，但是從現有文獻中可以找到高階思維的一些共同特征，即高階思維是一種復雜思維，不是預先給定的程序，具有多種解決方案、多種標準，是一種基于情境的、充滿不確定性且過程復雜的問題解決過程，需要付出更多的努力，高階思維的結果往往具有建設性的意義.發展高階思維是當今社會對人才培養提出的新要求，是學生未來適應社會所必備的能力，也即學生發展的核心素養.

數學高階思維，指學生在數學學習領域所表現出的高認知水平和認知能力，是一種指向元認知的思維方式.基于文獻研究和課堂實踐，筆者發現，數學高階思維是面對教師提供的數學學習任務，學生在數學學習活動中為完成任務提出的學習要求所表現出來的高水平心智活動，突出表現為策略型思維、批判型思維、創新型思維.

1.3 變式教學和數學高階思維培養的內在契合性

研究表明，數學高階思維通常構思于復雜的問題情境中，在問題分析和解決活動中發展，可以通過有效的、基于情境的訓練來實現.而變式教學是數學教學的重要教學理念，可以作為幫助學生鞏固數學基礎、形成數學能力、提高思維品質的最直接最有效的訓練方式.

一方面，變式教學能有效地培養學生的數學批判型思維和創新型思維.數學學習中的思維方式通常分為收斂思維和發散思維.收斂思維是深入理解數學概念、全面把握數學知識體系的重要思維方式，也是數學批判型思維的重要組成部分.在數學變式教學中，主要通過“一題多問”或“多題歸一”的辯證過程，凸顯思維發展歷程，引導學生將新問題與已解決的同類問題聯系起來，比較和識別其特點，將新問題轉化為舊問題，或運用解決舊問題的經驗方法，培養學生的收斂思維.發散思維不局限于一種方式或一種理解，而是傾向于多方向延伸，通過多維度思考各種可能的解決問題方法，屬于創造型思維.在數學變式教學中，主要通過“一題多解”或“一題多變”促進學生思維多向拓展，引導學生從不同角度思考問題，尋求最佳解決方案，培養學生發散思維.變式教學可以整合“收斂”和“發散”兩種相反的思維模式的優勢，培養學生的批判型思維和創新型思維，促進學生思維結構的不斷完善、優化.

另一方面，變式教學可以使學生在判斷、比較和選擇各種變式時發展自己的策略型思維.它鼓勵學生使用多種方法和策略來解決真實問題，學生需要結合具體的問題情況，發掘潛在條件，提出一些假設和解決問題的路徑，并從眾多解決方案中選擇更佳、更簡單的方法以及最有效的路徑和步驟等.這一過程是學生運用策略型思維的體現.

簡而言之，變式教學是學生高階思維發生的助推器，順應了學生思維發展規律和新時期數學核心素養培養的新趨勢.

2 指向學生數學高階思維發展的變式教學的路徑

數學高階思維的發展需要高階學習的支持.高階學習是要求學習者運用數學高階思維的學習活動.實踐表明，“一題多解”“多題歸一”“一題多問”“一題多變”等變式訓練方法有利于學生數學高階思維的發展.基于此，筆者對數學高階思維培養的變式教學發展路徑展開了積極探索.

2.1 從“一維”走向“多維”:讓策略型思維在變式教學中架構

策略型思維是指學生在學習數學概念、定理、公式或解決數學問題的過程中進行提煉、變通、優選或遷移的行為.它具有抽象性、多樣性、擇優性和遷移性的典型特征，屬于數學高階思維范疇.

2.1.1 一題多解，拓廣思路

在教學中，面對同一素材來源，引導學生非常規、全面、多角度地思考問題，探索不同的解決方法.例如，在講解例題時，不局限于教材中已有的解決方案，引導學生探索其他解決方案，克服靜態孤立的思維習慣，實現方法的靈活變通和優選優化.

案例1列方程解應用題(一題多解)

例題請用三種方法解答下面的實際情境應用題.

某電腦公司2021年的各項經營收入中，經營電腦配件的收入為800萬元，占全年經營總收入的40%．該公司預計2023年經營總收入要達到2880萬元，且計劃從2021年到2023年，每年經營總收入的年增長率相同，問2022年預計經營總收入為多少萬元?

如何求解這道實際情境數學應用題？首先，逐句讀題，厘清題中涉及的量及它們之間的關系.通過審讀發現本題主要條件有三句話，根據這三句話可得到的數量關系為“三個相等關系”，具體如下.

①2021年電腦配件收入800萬元÷40%=2021年全年經營總收入.

②2023年經營總收入=2880萬元.

③2021年—2022年的年經營總收入增長率=2022年—2023年的年經營總收入增長率.

然后，選擇其中的一個相等關系進行“轉譯”，并根據轉譯相等關系時出現的未知量設未知數，列出方程求解.根據這三個相等關系，依次可以列出三個不同的方程解答該實際情境數學應用題，具體如下.

方法1：利用相等關系①

答：該電腦公司2022年預計經營總收入為2400萬元.

方法2：利用相等關系②

解法2：設該電腦公司每年經營總收入的年增長率為x，根據題意，得(800÷40%)(1+x)2=2880，解得x1=0.2，x2=-2.2(不合題意，舍去).故將x=0.2代入(800÷40%)(1+x)得(800÷40%)(1+0.2)=2400(萬元).

答：該電腦公司2022年預計經營總收入為2400萬元.

方法3：利用相等關系③

解法3：設該電腦公司2022年預計經營總收入為x萬元，根據題意，得x2=(800÷40%)×2880，解得x1=2400，x2=-2400(不合題意，舍去).

答：該電腦公司2022年預計經營總收入為2400萬元.

在學生自主探索的過程中，教師要主動巡視指導，提供必要的支架和幫助，鼓勵學生以不同的方式進行探索和嘗試,并根據學生的具體情況及時進行調控.同時，教師向學生展示各種方法，進行適當點撥.

2.1.2 多題歸一，透“表”求“里”

學生解決數學問題的實踐中存在許多同一類型問題，因此，可以使用相同的思維方式或方法來解決問題，即多題歸一或一法多用.在解決問題的過程中，為強化一種解決問題的方法，可以將不同內容的練習有機地整合在一起，編成一組，引導學生觀察和對比，讓學生明確問題實質，用同樣的方法解決問題.此外，教材中的許多例題(習題)在解法上是相同的，復習時可以將其歸為一類，引導學生用同樣的方法解決問題，使學生不沉迷于表面現象，而是透“表”求“里”，自覺認識同一問題的本質，然后提煉出規律、方法，比較分類，由一個問題認識一個類別.

案例2解直角三角形的應用(多題歸一)

例題某市正在對城區河段進行區域性景觀打造，某施工單位需要測得某河段的寬度，如圖1-1，測量員先在河對岸岸邊取一點A，再沿河邊取兩點B，C，在B處測得點A在北偏東30°方向上，在點C處測得點A在西北方向上，量得BC長為200米.求小河的寬度(結果保留根號).

圖1-1

其實例題與變式題是“形異質同”的兩個問題，因為它們的基本結構是相同的，其實質都是“已知兩個銳角α，β和一邊長m(如圖1-3所示)，求高x”.它們均可利用解直角三角形的方法，列出形式完全相同的方程求解，即在例題與變式題中，若分別設小河的寬度、居民樓與大廈的距離為x，則根據題意所列出的方程分別是xcot60°+xcot45°=200(例題)，xcot53°+xcot42°=80(變式).

圖1-2圖1-3

2.1.3 設計題組，應變思索

設計由淺到深的變式題組，根據建構主義思想，引導學生進行巧妙轉換.學生在由易到難的探究中，通過觀察比較、把握特點，提高舉一反三、觸類旁通的能力，即綜合思維品質.

通過變式教學，可以有效地指導學生從多個知識領域和知識的各個方面進行廣泛聯想，多角度、多層次、多維觀察和思考.在廣泛尋求解決方案和全面研究問題的過程中，有利于學生保持多維思維，探索新的最優狀態，從而不斷地培養和完善其策略型思維.

2.2 從“應答”走向“質疑”：讓批判型思維在變式教學中喚醒

批判型思維是指在數學學習活動中，學習者自覺地對自己或別人的思維過程和結果進行辨別分析、自我評價和自我調整的一種思維品質[3].通常，學習者表現出質疑、求異或聚合的行為，具有質疑性、解構性和建構性的典型特征，屬于數學高階思維.

2.2.1 變式舉例，辨析質疑

在數學教學中，運用變形設疑，有意識地設置陷阱，引導學生運用已有知識進行辨別和比較，提高其識別能力.例如，在數學概念教學中，學生通常基于已有的視覺形象和感性經驗，通過合理的抽象，建立相應數學概念的形式化定義.然而，由于視覺形象和經驗的具體性和特殊性，在概念理解上容易產生偏差和片面性，因此，教師應通過正、反兩方面的是非辨析或變式舉例等，幫助學生完成從具體思維到抽象思維的過渡，引導學生在辨析中深入理解、全面思考，在思辨中闡明概念的本質特征.

案例3一元一次方程的概念(辨析舉例)

在得出了一元一次方程的概念后，教師設計了如下例題與變式題.

例題判斷下列式子是不是一元一次方程，為什么？

(1)7x+5=9；(2)2x+7；(3)2x2-4x=5；

(4)2y+3=-6； (5)x-7y=5；(6)2a>9．

變式1請與同桌互相舉出一元一次方程的例子，并互相進行評價.

變式2設計一道以“2019年進博會”為實際背景的可列出一元一次方程的應用題，并進行交流.

本例的六個式子中，有的不是方程，有的雖是方程但未知數的個數多于1或未知數的指數大于1.通過概念辨析，可以幫助學生鞏固一元一次方程的概念，掌握概念的本質.變式1和變式2都是開放式問題，能使學生敞開思路，充分發揮想象力和創造力.本例采取小組合作方式，小組間的交流也可以培養學生的合作意識.

2.2.2 一題多問，評價反思

在數學教學中采用一題多問，引導學生在已有知識或經驗的基礎上對問題、解法、觀點、思考過程等主動提出疑問.教師引導學生對思考過程、所涉及的知識、解決問題的方法和策略以及得到的結果進行反思，增強質疑求異的自覺性，有利于學生吸取教訓，調整錯誤的思維結構，鼓勵學生調節自己的行為，改善認知結構，并提高數學思維品質.

案例4探索圖表的規律(一題多問)

例題如圖2所示是某年某月的日歷，根據該日歷回答下面的問題.

圖2

(1)日歷圖灰色方框中的九個數字之和與該方框正中間的數有什么關系？

(2)這個關系對其他這樣的方框成立嗎？你能用代數式表示這個關系嗎？

九個數之和為90，是正中間數10的9倍，學生可能得出其他關系，可讓學生再找幾個方框檢驗自己得出的規律是否成立.若用a表示中間的數，這九個數的和等于9a.

(3)此關系對任何一個月的日歷都成立嗎？為什么？

(4)你還能發現這樣的方框中九個數之間的其他關系嗎？用代數式表示.

小問(3)、小問(4)通過符號表示數，學生體會符號運算可以驗證所發現的規律.

(5)你還能提出哪些問題？

比解決問題更高明的是提出問題，鼓勵學生提出問題，并與同伴互相交流評價.

通過變式教學，有效地引導學生有目的、有意識地對已有的數學表達式、數學思維過程和結果進行分析、判斷、推理、解釋和調整，從而加深學生對知識的理解，提高思維靈活性.對因果關系、問題解決方法、錯誤根源、分類總結等進行不同方面、不同層次的思維過程評價、分析和總結，有利于學生的思維始終處于反思質疑、自覺調控的最佳狀態，不斷培養和提高學生的批判型思維.

2.3 從“摹擬”走向“創新”：讓創造型思維在變式教學中催生

創造型思維是指在解決問題時，學習者調動已有的數學知識和經驗以及相應資源而獲得獨特、新穎、有意義的處理方法或者結果的一種思維品質[4].主要表征為學生對問題的延伸、發散或生成具有發展性、發散性或生成性的典型特征，屬于數學高階思維.

2.3.1 一題多變，標新立異

在數學教學中，通過對例題(習題)的多角度、多方向的探索，如條件變化、結論探索、引申擴展、推廣應用等，激活學生的主體作用，讓學生積極參與學習研究過程，并借助探索和發現，培養其發現新知識、總結新方法和新規律的能力，達到舉一反三、觸類旁通、凝練系統思維結構的目標.

案例5三角形的外角及其性質(一題多變)

例題如圖3-1，在△ABC中，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，如果∠A=60°，試求∠DBC+∠ECB的大小.

變式1如圖3-2，在△ABC中，BP，CP分別平分外角∠DBC，∠ECB，∠P與∠A有怎樣的數量關系?為什么?

變式2如圖3-3，在四邊形ABCD中，BP，CP分別平分外角∠EBC，∠FCB，∠P與∠A+∠D有怎樣的數量關系?為什么?

變式3如圖3-4，在五邊形ABCDE中，BP，CP分別平分外角∠NBC，∠MCB，∠P與∠A+∠D+∠E有怎樣的數量關系?為什么?

圖3-1圖3-2

圖3-3圖3-4

2.3.2 不循常規，尋求變異

在數學教學中，通過比較直接與間接、正向與反向、封閉與開放在各種情況下的變化和形式，引導學生尋找其中蘊含的內在關系，逐步提煉數學的精粹，建構體系化的思維結構，促進學生思維品質的不斷優化.非歐幾何的誕生告訴我們，順推不行時，考慮逆推；不能直接求解時，想辦法通過間接求解；原命題研究完后，再研究逆命題；在探索可能性出現困難時，考慮探索不可能性.數學教學的結果表明，許多學生學習水平較低的重要原因之一是逆向思維能力較弱，這主要表現在對公式、定理的簡單認識和死板套用，缺乏創造力、觀察力、分析能力和開拓精神.學生從正向思維向逆向思維快速、自然地轉變，是數學能力增強的標志.因此，在數學教學中，要加強對學生逆向思維的訓練，強化反證法價值，引導學生敢于“反其道而思之”，從反面進行深入探究，促進學生發展創新型思維.

案例6數學綜合實踐活動(不循常規)

例題(1)閱讀材料:商品條形碼是商品的“身份證”.我國使用EAN條碼，常見的為13位，即EAN-13條碼.它是由12位數字和校驗碼構成的，分別代表國家代碼、廠商代碼、產品代碼和校驗碼(如圖4-1所示).其中，校驗碼用來校驗前12位數字代碼的正確性，校驗碼的編制是按照特定算法得來的，其算法如圖4-2所示.

圖4-1

圖4-2

(2)小組實踐:某校數學課外活動興趣小組按照下面的五個步驟編制校驗碼.

步驟1 計算前12位數字中偶數位數字的和a.如a=9+1+3+5+7+9=34.

步驟2 計算前12位數字中奇數位數字的和b.如b=6+0+2+4+6+8=26.

步驟3 計算3a與b的和c.如3a+b=3×34+26=128.

步驟4 取大于或等于c的最小整數d，且10|d.如d=130.

步驟5 計算d與c的差，就是校驗碼X，即X=130-128=2.

(3)問題解決:某一商品的校驗碼被陰影遮擋(如圖4-3所示)，你能夠依據上面的信息求出該條形碼的校驗碼嗎？

變式1如圖4-4，某商品條形碼中的某個數字看不清楚了，你能夠依據所學習的知識判別這個數字嗎？

變式2假如某商品的條形碼“6919■21■23459”中被陰影遮擋住的兩個數字的和為5，你可以利用已有的信息判斷出這兩個數字嗎？

圖4-3圖4-4

解法1：按照從左到右的順序，設被遮擋的數字分別為x與5-x.a=9+9+2+(5-x)+3+5=33-x，b=6+1+x+1+2+4=14+x，c=3a+b=3(33-x)+(14+x)=113-2x，又因為0≤x≤5，所以0≤2x≤10.故103≤c≤113.當103≤c≤110時，d=110，即110-(113-2x)=9，解得x=6(不合題意，舍去).當110

答：按照從左到右的順序，這兩個數字分別是1和4.

解法2：按照從左到右的順序，設被遮擋的數字分別為x與5-x.a=9+9+2+(5-x)+3+5=33-x，b=6+1+x+1+2+4=14+x，c=3a+b=3(33-x)+(14+x)=113-2x，e=9，由e=d-c可以得到d=c+e=122-2x.又因為0≤x≤5，所以0≤2x≤10.故112≤122-2x≤122.因為122-2x還需要是10的倍數，所以122-2x=120.解得x=1.當x=1時，5-x=4.

答：按照從左到右的順序，這兩個數字分別是1和4.

解法3：按照從左到右的順序，設被遮擋的數字分別為x與5-x.a=9+9+2+(5-x)+3+5=33-x，b=6+1+x+1+2+4=14+x，c=3a+b=3(33-x)+(14+x)=113-2x，由e=d-c，得c=d-e.又因為d是10的倍數，e=9，所以c的個位數字為1，故3-2x=1，或13-2x=1.解得x=1或x=6(不合題意，舍去).當x=1時，5-x=4.

答：按照從左到右的順序，這兩個數字分別是1和4.

變式3請提出一個數學問題，并與同學互相評價、交流.

通過變式教學，可以有效地引導學生打破常規或經驗，擺脫思維的束縛，靈活改變思維方向，提出多種解決問題的方法.引導學生多角度、多渠道、多方式地思考，用不同的方法解決同一問題，為學生提供各種機會，克服負遷移，有利于學生保持發散、延伸、生成和發展的最佳狀態，不斷培養和提高學生的創造型思維.

3 變式教學培養學生數學高階思維應注意的問題

變式教學是中國數學教育的傳統和特色，其用于培養學生數學高階思維，也是行之有效的教學手段和方法.但是，基于學生數學高階思維培養的變式教學需要精心設計，把握“量”和“度”，不是“多多益善”，不能“為了變而變”，而是要追求質量的提高，“變”就是“不變”.

3.1 培養數學高階思維要與具體的變式內容相結合

在課堂教學中，學生數學高階思維的培養要與具體的數學內容相結合，將變式教學內容作為學生數學高階思維培養的載體.對于不同的學習內容，其變式教學的重點、培養學生數學高階思維的側重點也應該不同.例如，在概念教學的過程中，對“概念”變式處理的著力點是加強學生對概念的理解，突出概念的本質，使學生對概念形成更周詳、更深刻的理解，從而培養學生的批判型思維；在習題教學中，對“例題”變式處理的關鍵是加強數學思想方法的滲透，拓展思維，讓學生從模仿解法到自己創新解法，從而培養學生的創造型思維；在復習課教學中，對“題組”變式處理的重點是加強知識和方法的橫、縱向比較，讓學生在分析比較中進行歸類，并且形成最適合自己的解題方法，從而培養學生的策略型思維.

通過變式推演，歸納概括更高水平的概念內涵，形成數學學科大概念，這是培養數學學科核心素養的重要手段.

3.2 掌控好變式教學的量，給學生足夠的思考空間

培養學生數學高階思維的變式教學，要把握變化的“密度”和“廣度”.課堂時間有限，為了讓學生的思維逐步走向深入，變式教學的次數不宜過多，不能為了變式而變式，這就“稀釋”了問題的本質，阻礙了思維的展開.

對于同一變式問題，要給學生足夠的時間進行思考.不論是通過引導學生多角度地思考問題，探索不同的解決方法，并從不同解法中提煉出一般規律、方法，以架構學生的策略型思維；還是運用變形設疑，引導學生對問題解決的過程與結果進行評價和反思，以培養學生的批判型思維；抑或是讓學生在變式過程中發現新知識、總結新方法和新規律，以催生學生的創新型思維.這些思維的展開與深入，都需要給學生足夠的時間，將同一變式問題研究透徹，讓變式教學問題成為培養學生數學高階思維的載體.將“導”和“引”，歸納和演繹有機整合，提高學生數學思維品質，促進思考問題方法的多元化.

3.3 培養學生數學高階思維的變式教學要有學習進階梯度

培養學生數學高階思維的變式教學，要注意變式的“梯度”和“深度”，雖然變式教學最終指向學生數學高階思維的培養，但應以基礎知識作為階梯，不能忽視學生基礎知識、原理的掌握，從學生知識和思維的“最近發展區”出發，實現學生思維不斷發展.這就需要變式教學能夠由淺入深地展開，有效地激活學生的思維，不斷促進學生思維的螺旋式提升，引導學生向更深層次發展自己的認識.利用最近發展區和支架理論，幫扶有度，提高學生數學學習的積極性和成就感.

總之，在教學中培養學生的數學高階思維，教師是關鍵.教師要積極更新觀念，提高數學素養、辯證思維水平，強化問題意識教學，教學方法和策略主動求新求變.教師要不斷鼓勵學生積極參與數學學習活動，無論是在行動上還是在思想上，都要通過各種形式架構策略型思維、喚醒批判型思維、催生創造型思維，促進學生數學思維水平的不斷進階.