挖掘錯題價值 培養數學素養
——以有理數運算的復習課為例

201200 上海市五三中學 戴嘯天

數學運算是數學最基本的活動之一，貫穿整個義務教育階段，也是數學核心素養之一.《義務教育數學課程標準(2011年版)》提出應注重發展學生的運算能力，主要是指“能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力”，“培養運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題”[1].有理數運算作為初中數學學習的起始，不僅是對小學運算能力的提升和擴展，更是后續學習整式運算及方程的基石.

筆者以滬教版六年級數學教材第五章“有理數”章節為案例，遵從課標標準及素質教育要求，充分發揮學生在學習中的主體地位，為學生搭建錯題展示教學情境，采取解決問題的模式激發學生主動尋找解題錯因，并進行錯誤原因分析[2]，綜合運用錯題資源構建合理的教學策略，激發學生學習的主動性，培養學生有理數的運算能力、加深對數學算理的理解以及對知識的探索、研究意識，在這一過程中完成對學生數學核心素養的培養.

一、 案例背景

義務教育中的不同階段對運算能力提出了各不相同的具體要求.小學階段的相關學習作為有理數學習的基礎和入門，初中階段則比較完整和系統地學習有理數的運算和運算律，此部分內容奠定了初中數學學習的基調，并影響著后續內容的學習效果.(如表1所示)

表1

滬教版七年級數學教材第五章設置了“有理數”章節，與小學階段相比，該知識點的教學過程是更加系統和螺旋式上升的.

根據多年的教學經驗，筆者發現學生在學習有理數混合運算時通常會遇到以下困難.

一是符號辨別不清.中學階段引入了負數的概念，一些學生對符號的理解不深入，運算基礎薄弱，運算過程中常常會出現符號辨識不清、符號意識不強的問題.

二是對有理數運算法則、運算律的概念理解不深入、不全面.學生在運算過程中會出現概念混淆、記憶不清楚和法則錯誤使用等情況，導致計算結果錯誤.

三是基礎不牢導致綜合運算能力不強.在初中有理數運算中，為了鍛煉學生的綜合運算能力，有些題目中會綜合引入多種運算，以此來檢驗學生對運算法則的掌握情況和概念的理解程度.運算基礎薄弱、綜合運算能力不強的學生會產生運算順序混淆的現象，學生需正確理解概念和使用正確的運算法則，這樣才能保證計算結果的正確性.

四是如何根據所求算式結構的特點尋求合理簡潔的運算途徑解決問題.

在此次錯題教學中，筆者針對以上問題設計了預設實踐策略.課前，學生分組繪制有理數數學小報，梳理知識結構.課上，交流反思日記，明確法則符號；自糾錯誤，合作歸納錯因.利用學生的錯題開展教學直觀而有效，既調動了學生的學習主動性，讓學生主動發現問題并解決問題，又加深了對問題、易錯點的理解，提升了教學效果，培養了學生解決問題的能力.

二、 教學過程

第一模塊：通過設計小報梳理知識結構

1．學生整理作業展示：有理數數學小報.

2．復習有理數運算的法則及運算律，師生共同完成思維導圖.

第二模塊：反思日記，明確法則符號

學生活動以2人小組競賽的方式進行簡單計算，強調有理數運算要關注符號.

第三模塊：錯題情境搭建，小組合作探討、歸納錯因

學生錯誤1

=-210-70-10

=-290

錯因分析：學生在利用乘法分配律時，應先確定符號再運算.因此，將-210與后面三個數相乘時，可以直接確定符號.

學生錯誤2

分析錯因：除法不具有分配律，不能按照乘法分配律的方法進行求解.

學生錯誤3

錯因分析：學生容易忽略或不注意運算順序.同級運算應按照從左到右的順序依次計算.

針對練習4下列計算有沒有錯誤？錯在哪里？應如何改正？

步驟1首先讓學生獨立思考，用紅筆找出錯誤之處，并提供依據改正錯誤，尋找發生錯誤的原因.

步驟2學生在小組內交流錯誤產生的原因，組長匯總記錄，并進行組外交流.

步驟3結合針對練習1到針對練習4的解題經驗，提出自己的運算建議.

錯因分析：(1)混合運算按順序進行.(2)弄清運算對象，未辨明底數；除法中應算出除數，不能用分配律.

第四模塊：編題練習準確靈活計算

各小組組長抽取課前編制的題目，之后各小組進行競賽，出題組長巡視并批改．

三、 實踐反思

(一)教學結構層次分明，環環相扣

1.設計小報、思維導圖完成對知識的梳理

在學生對知識的學習、理解中，需要通過不斷復習、重復練習來加深理解和加強記憶，在進入錯題情境之前，教師先讓學生以設計小報的方式復習、梳理有理數計算規則和各種運算律，之后教師引導學生一起完成思維導圖，讓知識在頭腦中進行系統化、結構化總結，形成知識的整體結構.(如圖1所示)

圖1

這是對小學數學運算的繼承與發展，也是初中代數運算的鋪墊與準備，更是大單元視角下打通小學、初中對數學運算的統一認識.

2.合理運用錯題資源，加深學生對知識的理解

錯題是非常有用的教學資源，通過對錯題進行分析，學生不僅可以發現自己產生錯誤的原因，也能幫助教師進行及時的教學改進.教學過程中，充分有效地使用錯題資源可以幫助學生更好地理解、獲取知識，大幅降低解題錯誤的概率.(如圖2所示)

圖2 錯題分析三部曲流程圖

通過在三位學生的錯題案例中改變、添加括號，使其轉變為新的、難度更高的題目，學生對比每道錯題改編前后的解題，自己發現解題錯誤原因，加深對有理數運算法則和運算律的應用實踐，加深對數學算法的理解，讓更多學生不再犯同樣的錯誤.

(二)教學情境中的教師過程引導與過程評價

1.過程引導

數學錯題情境教學中，學生作為學習主體，教師作為教學情境的搭建者和教學過程的引導者，要起到在把握整體教學基礎上適當引導的作用[3]，如為培養學生思維的多向性和靈活性，教師在學生完成對一道題的解答后，可適當通過“同學們還有別的解法嗎？”“這一步是否還有更好的解法？”“你覺得這種解法是最直接的嗎？”“誰還有更簡單的解題方法？”等問題來啟發和引導學生，鼓勵學生發表不同的見解，培養學生的發散思維.教師對學生的評價與激勵、學生自我評價都基于教學標準，真正關注學生“學會了什么”.

另外，教師利用錯題資源創設特定教學情境，讓學生去尋找錯誤、認識錯誤并改正錯誤，學生作為學習的主體主動完成對知識的“知錯、認錯以及改錯”過程，這是對知識的一種創造性學習和獲取，這一過程培養了學生的科學素養，加深了學生對知識的理解和記憶.

2.過程評價

學生在教學情境中自主探索知識時，可能會感到暫時的迷茫和沒有方向，教師要在過程中及時關注學生對知識的理解進展，并在學生取得階段性小成果后及時給予正面評價.教師適時給予的恰當評價不僅是對學生已完成任務的認可，更可以增強學生的自信心，使學生信心滿滿地投入到下一步的知識探索進程中.

(三)反思

有理數運算的復習旨在讓學生真正理解算理，這是教師需要研究的問題.學生運算中最大的障礙依舊是“符號”和“括號”的問題.這雖然是老生常談的問題，但如何將相關錯誤降到最低是教師所要研究的.單純總結學生易錯的原因還遠遠不夠，教師應提煉出更為核心的內容.即便學生順利完成了計算題，建議教師還要追問“為什么這樣算”“還可以怎么算”等，讓學生真正理解算理，檢查運算的正確性，

體會優算.在錯題資源利用方面，學生嘗試通過修改題目，將運算的錯誤結果改為正確的，這凸顯了運算順序及括號的重要性，促進學生對算理的進一步理解，提升學生反思的能力，解題思路也更開闊靈活，大大提升了課堂教學的趣味性.

四、 教學總結

從家庭作業的反饋結果來看，經過錯題情境教學后，學生計算題的正確率大大提高了，特別是課堂上被舉例的典型錯題類型，基本沒有再出錯的情況.雖然目前仍有個別學生計算的準確率較低，但與開展本節課教學之前相比，也有了一定程度的提高.結果顯示，錯題情境教學課堂效果良好.

本次教學活動實現了三個價值.第一，有理數一章是初中學習的起始.有理數運算作為核心能力起到了承上啟下的作用，也是重要的數學能力之一.第二，基于課程標準對于有理數運算的診斷結果缺乏理想的評價，學生給出的評價大多為“馬虎了”，或是過度關注正確與否.第三，在“雙減”背景下，探究學生如何通過診斷評價學會正確評價自己，樹立自信心，激發內驅力.

利用錯題解析幫助學生加深對知識的理解是一種逆向思維教學方式，即通過對錯題的分析和探討更好加深學生對關鍵知識點的理解和應用[4]，并能夠大幅度降低解題的出錯率.唐春雨在文獻中提出了培養學生良好學習習慣的“知錯、認錯、改錯”三步驟[5].所謂“知錯”就是學生通過自查能發現錯誤的點在哪里；“認錯”指的是分析錯誤產生的原因，是對概念理解不到位還是混淆概念等；“改錯”是去弄清楚錯誤怎么改正.學生對知識的獲取是一個循環往復、螺旋式上升的過程，過程中對知識的理解從膚淺到深刻，對知識的應用從機械到靈活，其中都存在出錯環節，找到錯誤并且能改正錯誤就完成了對知識的獲取，也就是對知識進行自我再創造的過程，是學習的必經環節.筆者以錯題為案例搭建教學情境，與唐春雨提出的“知錯、認錯、改錯”良好學習習慣不謀而合，符合學生的學習發展規律.

另外，錯題情境教學或培養“知錯、認錯、改錯”良好習慣能充分發揮學生對學習的主動性，體現學生在學習中的主體作用[6]，在獲取知識的過程中培養了學生分析解決問題的能力，促進了對數學核心素養的培養.數學運算是解決數學問題的基本手段，這體現了數學運算的學科價值.通過運算促進數學思維發展，學生形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求學的科學精神，彰顯了數學運算的教育價值.