初中數學教科書中折紙活動的對比研究
——以大陸人教版和臺灣康軒版為例

朱佳威

(華東師范大學教師教育學院 200062)

張 雪

(杭州師范大學經亨頤教育學院 310018)

1 折紙活動在初中數學教學中的重要性

學生從初中開始系統地學習幾何知識，但對初中生來講，幾何圖形的性質與變換是相當抽象的，其可直接利用的資源和工具也不多，而折紙活動操作簡單又有趣，恰好符合初中生的認知規律和年齡特征.我國《義務教育數學課程標準(2011年版)》的總目標提出“通過義務教育階段的學習，學生能夠獲得適應社會生活和進一步發展所需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗”，并提出“感悟數學思想，積累數學活動的經驗”[1]的建議.在一定程度上，折紙內容豐富了幾何知識的呈現形態，幫助學生化解了幾何學習中的痛點和難點，使其在掌握基礎知識和基本技能的基礎上，能夠進一步收獲數學活動經驗.常文武指出：通過數學折紙的任務驅動方式可以有效培養學生創造力，折紙對學生創造力的激發尤其在于通過操作和想象來促進發散思維，加強知識、觀念的新聯結、新組合.[2]茍述珍通過個案分析得出結論：折紙能夠促進學生的幾何思維水平，對差生效果更為顯著[3].由此可見，折紙在初中數學教學實踐中有著非常重要的作用.

2 研究設計

2.1 研究對象與問題

大陸和臺灣同宗同源、同文同語，擁有共同的文化傳統，兩者對于學生數學知識的理解、數學思維的訓練、數學核心素養的培育等方面呈現出相同或相近的趨勢[4].本研究選取的大陸教材是2013年教育部審定的人民教育出版社的初中數學教材(簡稱“人教版”).人教版是大陸應用十分廣泛的主流教科書之一,具有基礎性、豐富性和開放性的特點.選取的臺灣教材是康軒文教事業出版社的初中數學教材(簡稱“康軒版”).康軒版在臺灣當地使用范圍最廣、時間最長[5].本文主要回答以下三個問題：(1)大陸和臺灣教材折紙活動的分布情況、活動目的各有什么特點？(2)這些特點的差異所隱含的教學理念差異是什么？(3)這些教學理念的差異對教學實踐有哪些影響？本文試圖發掘兩種數學教科書的編寫特點，進而對中國大陸的數學教科書編寫和教師教學提供一定參考.

本文所界定的折紙所采用的紙張為正方形、長方形、三角形和圓面四種紙張.一般折疊過程中，不允許使用剪刀或膠水，但在涉及立體圖形的活動中，必要時可使用剪刀剪出所需紙張的形狀，再進行折疊.

2.2 研究方法

本文采用內容分析法對人教版、康軒版初中數學教材進行具體內容的分析，主要對教材中折紙活動進行探尋，尋求兩套數學教材在折紙活動內容上的特征，并從分布情況、活動目的兩個維度對大陸和臺灣教材中折紙活動進行比較分析，呈現兩套數學教材編寫的異同.

3 研究結果

3.1 分布情況對比

3.1.1折紙活動的分布

人教版教材總計29個章節，折紙出現了28處：七年級上冊7處；七年級下冊2處；八年級上冊7處；八年級下冊8處；九年級上冊1處；九年級下冊3處.

康軒版教材總計22個章節，折紙共出現20處：七上1處，八下16處，九上3處，其余分冊均未出現，具體分布情況如表1.

從表1可知，人教版教科書折紙活動出現總次數與密度均高于康軒版，且康軒版教科書的折紙活動分布較為集中，主要出現在八年級下冊的三角形的基本性質、幾何圖形與尺規作圖兩個章節.用統計軟件SPSS20.0進行Fisher精確檢驗，也得出其有極其顯著的差異(χ2=19.371，p<0.01).

表1 人教版、康軒版折紙活動教材分冊分布情況表

3.1.2折紙活動所在章節分布

在初中階段，折紙多被用來探究數學圖形結構之間的共性與區別，多被應用于幾何領域.兩版本教材的折紙活動章節分布如表2：

表2 人教版、康軒版折紙活動所在章節分布表

由表2可見，兩版本教材的不同處在于人教版將折紙活動安排在立體幾何領域，通過折紙來溝通二維與三維圖形，而康軒版教材雖然有立體幾何有關內容，但折紙內容未涉及立體幾何領域.

相同的是兩地教科書中折紙活動多應用于平面幾何領域，尤其是幾何圖形認識、軸對稱、三角形、平行四邊形等章節.在教學過程中把折紙作為一種教學的輔助手段，通過折紙去觀察、探究、驗證某個幾何結論.在代數領域均出現一次折紙活動，可見折紙有溝通幾何與代數的作用.具體代數內容如下：

大陸人教版數學教材在14.1“整式的乘法”的復習題部分設置了這樣一道折紙習題：“如圖1，有一張長方形紙板，在它的四周各角切去一個同樣的正方形，然后將四周突出部分折起，制成一個高為a的長方體形狀的無蓋紙盒.如果紙盒的容積為4a2b，底面長方形的一邊長為b(b<4a)，求長方形紙板的長和寬.”此問題在設置上不僅實現了“二維”平面向“三維”空間的過渡，并且溝通了幾何與代數，借助折紙問題幫助學生復習整式的乘法.

臺灣康軒版數學教材在七上“數學悅讀”欄目介紹了“報紙的奧秘”，對應教材“指數律”與“科學記號”.通過漫畫的形式富有趣味性地呈現出“將報紙折疊30次后的高度與珠穆朗瑪峰的高度進行對比”這一內容.并通過這一欄目讓學生了解到“指數的運算”與“科學計數法”在生活中的廣泛應用性.對學生來說，這部分內容可讀性強，文中拋出的問題“一張報紙能對折幾次？”充分地調動起學生的積極性，文末呈現“只能折8次”的結論也激起了學生自己動手驗證的強烈好奇心.

3.1.3折紙活動欄目分布

折紙活動在不同版本教材中出現的欄目不同，其所表現的作用也不盡相同.其出現的位置可以分為以下三類：第一類，呈現在正文中，多利用折紙引入概念、性質和定理或直觀感知幾何變換，如軸對稱、旋轉、平移等，讓學生參與到概念的形成中來；第二類，呈現在例題或習題中，以折紙作為問題情境的試題鞏固知識；第三類，章節末作為拓展閱讀或數學活動的折紙活動.統計結果如表3：

表3 人教版、康軒版折紙活動出現欄目分布情況表

兩版教材中折紙活動出現欄目有顯著差異(Fisher精確檢驗，χ2=7.315，p<0.05),人教版教材較少在正文中使用折紙活動，多出現在習題與章節末作為數學活動.而康軒版教材多將折紙活動安排在正文中以引出概念，折紙題相對較少.如同樣有關“大邊對大角、大角對大邊”的折紙活動，人教版教材將其作為習題出現，而康軒版教材則將其作為概念引入的方式出現在正文中.

3.2 活動目的對比

3.2.1通過折紙來講授新知的比較

通過折紙來講授新知識在人教版教材中并不常用,只出現3處，而康軒版則出現了9次，具體內容對比見表4：

表4 人教版、康軒版折紙活動講授新知對比表

折紙活動很適用于幾何新知識的教學，因為其具有顯著的直觀性.幾何中的點、線、面等基礎概念，又或是垂直、平分、重合等基本關系都可以在折紙中體現.但在人教版教科書中，卻鮮見用折紙來講授新知，康軒版教材的折紙內容在新知教學上分量較重.值得注意的是，康軒版教材在利用折紙探究三角形內角和問題上，沒有嚴格的證明，使這一內容缺乏嚴謹性.如果只通過量一量、剪一剪、拼一拼就得出三角形的內角和是180°，缺乏理論證明，不利于學生思維品質的提升[6].

3.2.2通過折紙來鞏固知識的比較

以折紙為背景的題目，在人教版教材中總計16題，康軒版為7題.戴再平按照題目的外在特征將習題分成三類:求解題、證明題或說明題、變換題或求作題[7].結合教材及習題分類，將折紙習題按求解題、說明題、制作題進行分類，統計結果如圖2所示.

從圖2可以看出人教版教材中的折紙習題類型豐富且多樣，既有某一圖形的制作類題目，如利用正方形折出三棱錐，也有常規的求解題及說明題.在目的上，有的題目側重于考查幾何變換，也有的側重考查空間想象及動手能力.而康軒版教材題目則均為說明題，并且全部分布于“剪出線對稱”這一主題，內容相對單調且集中，題型也比較一致.如下題：

承例7，若依照圖3指示對折兩次，剪下三角形后，剩下的紙張展開是下列哪一個圖形？

答：.

3.2.3折紙作為拓展活動或拓展閱讀的比較

人教版教材安排了九處與折紙有關的拓展活動，既有數學內部的探究活動，如利用折紙折出過一點的平行線；也有和現實生活結合的綜合活動，如制作筆筒、包裝盒，等等，這些活動與學生的日常活動是直接相關的，是能夠直接激活學生知覺的素材.這些活動是教材編寫者為學習者精心編寫設計的，符合學生的認知規律且有利于學生的學習.但有關研究表明：雖然教師比較認可在教材中設置“閱讀與思考”等欄目，但是從教師對欄目的了解程度來看，教師的研究力度普遍不高，該欄目的教學價值與教學作用還未得到全面的重視[8].

康軒版教材安排了四處與折紙有關的拓展閱讀，分別是“利用折紙制作正三角形”“64=65？”“報紙的奧秘”“相似嗎？”這些內容可讀性非常強，首先內容本身就能引起學生的閱讀興趣，其次又配有插畫，使得整個內容呈現非常生動.

人教版拓展欄目上的折紙活動更強調讓學生自己動手操作，而康軒版在拓展欄目上則側重利用折紙有關問題來引起學生的學習興趣，側重于對某些問題的解答.但相同的是兩版教材的折紙內容都與生活緊密相連，體現了數學在實際生活中的應用.

4 結論與教學啟示

總的來說，人教版教材體現的理念是“在折紙中體驗數學”，而康軒版教材則是“將折紙融入數學”[9].當前，數學活動經驗的研究是一個熱點問題[10].數學概念涵蓋數學定義、公式、定理等，是數學學習的基礎.數學本身嚴肅的學科特征，使得在教學實踐中，學生在數學概念學習環節的課堂體驗普遍不好，降低了教學效率[11].在人教版教材編寫的基礎上，吸收臺灣數學教材的編寫優點，在概念教學時加入數學活動值得借鑒.近年來，出現了不少以折紙為背景的中考、高考題，使得折紙活動改頭換面以題目的形式和學生見面.在日常教學中，教師就要讓學生積累折紙的數學活動經驗.在折紙教學活動中，教師必須要有一定的把控能力.要讓學生明白教學不是為折紙而折紙，而要給學生營造一個手、腦并用的操作環境.另一方面，教師也要適當放手，否則將不能達到培養學生發散思維、提高學生探究能力的目的[12]，這對教師的教學設計提出了更高的要求.另一方面，臺灣教科書在每冊書后設置了附件，以供學生剪下作為教學使用，同時在書的右下角還設置了翻頁動畫來展示勾股定理的動態證明過程，這樣的安排使教科書變得更為充實有趣，不僅將教科書作為知識的載體，更豐富了數學教學活動的資源，值得借鑒.

對于教師教學來說，雖然折紙在呈現概念時有一定優勢，但并不是唯一的手段.教科書不是知識的唯一載體，而是一扇窗，可以通往外面的旖旎風光.教師可以設置其他多樣化的教學活動來幫助學生理解概念，如在圓的周長教學時，就可以讓學生利用“線測法”或“滾動法”自己測量圓的周長.作為教師要充分考慮數學活動的主體性、直觀性、過程性、合作性、開放性等優勢，根據教學內容和學生實際，有目的地多設計一些好的數學活動，依托于這些數學活動，有效促進學生基本活動經驗的積累.長此以往，學生自然能形成數學直觀，提升抽象概括等能力[13].