“以生為本”的“學問思辨行”高效課堂教學
——“立體幾何中的最值問題”教學案例及反思*

王小青 (江蘇省如皋中學 266500)

1 問題的提出——“學問思辨行”高效課堂的解讀

“學問思辨行”，其名稱出處于《禮記·中庸》(第20章)：“博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之……果能此道矣，雖愚必明，雖柔必強.”其含義是說：廣泛地學習，詳細地詢問，謹慎地思考，明白地分辨，堅定地踐行……果真能夠按照此法而行，即使愚笨也一定能夠變得聰明，即使柔弱也一定能夠變得強大．

課堂教學應經歷學、問、思、辨、行五個環節，組織教學突出“以生為本”，使五環中的每一環都既有傳承，更有創新；五個環節既互相獨立，又互相聯系，且環環相扣，逐環深入；先知后行，知行合一，循環遞升．

2 問題的解決――教學案例解讀

2.1 “立體幾何中的最值問題”的背景

學情分析 這是一節高三微專題復習課，上課對象是江蘇省四星級高中選修物理、化學、生物的學生，學生基礎較好，思維活躍，有較強的表達能力．

教學內容分析 課程標準指出，立體幾何的教學要遵循從整體到局部，從具體到抽象的原則，幫助學生認識空間幾何體的結構特征，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能，能用向量方法解決空間距離問題和夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序．

2.2 “立體幾何中的最值問題”教學設計簡案

學習目標 會用長度、角度、坐標等數量刻畫運動的點、線、面，會用運動的觀點解決立體幾何中的角、距離、體積等的最值問題；通過對動點、動直線、動平面的探究，體會數形結合、函數與方程等思想方法在立體幾何中的應用，提升觀察、發現、提出、分析和解決問題的能力．

學習過程

學自主研學，橫向發展

如圖1，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，點O為線段BD的中點，設點P在線段CC1上．

圖1

(1)求異面直線OP與BB1所成角的正切值的最小值；

(2)求直線OP與平面A1BD所成角的正弦值的最小值和最大值．

問質疑問難，合作探究

問1：你是如何解決上述問題的？你有什么收獲與困惑？

問2：上述問題中為什么會有最值？如何求最值？

問3：你還能提出新問題并解決它嗎？

思深思熟慮，縱向開掘

思1：把自己提出的問題寫下來并解決它，再解決小組內其他同學提出的問題．

辨窮理明辨，點撥啟悟

辨1：如何解決動點影響下的最值問題？

辨2：還有哪些因素可以影響目標的最值？

行學以致用，遷移生成

行1：課堂總結.

通過本節課的學習你會解決哪些問題？有哪些收獲體會？

行2：鏈接高考.

如圖2，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．

圖2

(1)證明：l⊥平面PDC；

(2)已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．

2.3 “立體幾何中的最值問題”教學過程分析

2.3.1學：自主研學，橫向發展

教學過程投影學生例1的解答．請同學們自主閱讀投影上的解答，對比分析，再次完善自己的解答，并思考“問”中的問1和問2．

設計說明(1)提前發給學生課前自學．(2)教師批閱時發現大多數學生完成得較好，有傳統方法和空間向量法.求解空間異面直線所成的角和直線與平面所成的角，學生已經掌握了求解角的基本方法，基本了解刻畫動點的方法，從線段長度和點的坐標入手，表示目標角的最值，但是不少學生在求最值時遇到了困難．另外，大多數學生選擇的是空間向量法，對傳統方法有一種抗拒感．(3)學生自主訂正完善，找出存在的問題，獨立思考，小組討論，進入第二個環節“問”．

2.3.2問：質疑問難，合作探究

教學過程(1)學生獨立思考5分鐘．(2)學生點評投影儀展示的解答，總結解題思路及其書寫的細節，然后介紹自己用傳統法求解的思路．(3)教師追問：上述問題中為什么會有最值？如何求最值？其他同學有沒有需要補充的？有沒有困惑需要解答？(4)生生互問：總結得出動點影響了目標的最值，可以轉化為一元函數求最值，或者利用圖形的幾何性質求最值．(5)師生一起總結：運動的元素——動點；刻畫的方式——動點的坐標；影響的目標——空間角；目標的最值——一元函數求最值/數形結合求最值．

設計說明(1)對于例1的求解方法，學生存在兩類困惑——傳統方法與空間向量法的選擇和最值問題的處理．教師不是把批閱試卷中發現的問題拋給學生，而是讓學生通過獨立思考，小組合作探究，自己發現問題，提出問題的解決方案，通過生生互問、教師追問等方式讓學生自主建構解決此類問題的基本方法．(2)學生掌握了基本方法后，特別期待這些基本方法能否用于解決其他問題，在此基礎上，教師引導學生自己提出新問題并解決，此時學生探究欲望強烈，積極深入地思考，進入第三個環節“思”．

2.3.3思：深思熟慮，縱向開掘

教學過程(1)在學生獨立思考的基礎上，小組討論，合作學習，并將小組中研究的問題展示到黑板上．(2)學生針對圖1展示的問題有：二面角D1-OP-D的余弦值；二面角D1-PB-C的余弦值；OP+PD1的最小值；A1到OP距離的最小值；P到面ABD距離的最小值；BD1和OP距離的最小值；三棱錐P-A1BD體積的最大值；三棱錐P-A1BD外接球半徑的取值范圍和內切球半徑的取值范圍；若點P在B1C1上運動，求OP與面A1BD所成角的余弦值．(3)教師追問：同學們是怎么想到提出這些問題的？(4)生生互動：分享思考問題的角度，從空間角，空間距離，幾何體的體積、表面積、側面積，幾何體的外接球和內切球的半徑等度量關系探究最值問題，也可以變化動點的位置來影響目標最值，比如將點P改為在線段B1C1上運動；追問是怎么想到將點P移到線段B1C1上運動？小組代表分享思考的角度，點P在線段CC1上運動時，由正方體的對稱性，用圖形研究比較簡單，當點P變換到線段B1C1上運動時，就不可以利用圖形對稱性求最值，這時候作圖又有難度，應該優先用建立坐標系的方法求解；要探究四面體內切球的半徑的最值，某個小組不會解，就讓其他小組分享解決問題的方法，利用內切球的性質，用等體積法，球心與四面體的每個面構成四個小三棱錐，這四個小三棱錐的體積之和等于原來四面體的體積．

設計說明(1)通過學生自主探究，小組合作，學生經歷了發現問題、提出問題、分析并解決問題的過程，可以解決空間角，空間距離，空間幾何體的表面積、體積，內切球與外接球等相關問題，會將目標最值問題轉化為求函數最值，利用圖形的幾何性質求解．

在教學過程中教師再點撥，提出兩個問題．

思2：若動點P在正方形BCC1B1內(包括邊界)運動，且D1P∥平面A1BD，則BP的最小值為．

學生獨立思考后可以發現，動點P是用線面平行的位置關系和距離的度量關系來刻畫的．

設計說明通過這兩道思考題的解決，學生解決最值問題的面更寬了，影響最值問題的動點不僅可以用度量關系(長度、角度、距離等)刻畫，還可以從位置關系探尋動點的軌跡進而求目標的最值．學生經歷了發現、探索、追問、完善等過程，進一步厘清了基本概念和基本方法，積累了基本活動經驗，提升了數學思維能力．此時，讓學生再靜下心來回顧剛才解決問題的過程，反思感悟，進入下一個環節“辨”．

2.3.4辨：窮理明辨，點撥啟悟

教學過程(1)學生感悟提升，影響立體幾何中目標最值的因素可以有很多，我們可以利用動點的坐標、線段的長度、動點的軌跡等求目標的最值．(2)師生共同進行課堂總結：運動的元素——動點、動直線、動平面；刻畫的方式——動點的坐標、線段的長度、動點的軌跡；影響的目標——空間角、空間距離、表面積、體積；目標的最值——一元函數求最值/數形結合求最值．(3)教師追問：那你覺得空間內，除了動點可以影響目標的最值，還有其他的元素影響目標的最值嗎？學生完善：還可以是運動的直線、運動的平面等等．(4)進一步提出問題：類比今天課上研究的動點影響下的最值問題去探究動直線、動平面影響下的最值問題．

設計說明通過靜心獨立思考、辨析、分析、研讀等，學生總結解決問題的基本方法，進一步提出問題，為課后進一步學習思考和下節課的學習指明方向．

2.3.5行：學以致用，遷移生成

課堂檢測，及時反饋．

3 問題的思考——教學反思

3.1 “以生為本”高效課堂的起點是“學”

學即是博學，博學是在科學的教學目標指引下的自主研學與獨自學習．課堂教學操作上，教師提前制定計劃和學習目標，準備學習的文本材料或問題．新授課教學中，學是在課堂上進行，約5～10分鐘，對于基礎年級的復習課或習題課、高三的復習課，都是將學習內容提前給學生，課堂上再給學生2～3分鐘的時間熟悉完善，準備交流．學習方式由勤學、學會到善學，再到在教師目標和計劃引領下的會學．“學”的目的是掌握必備知識，體現基礎性，力求50%的學生通過自學掌握50%的知識．學生通過“學”的解決，體會立體幾何中最值問題的常見求解策略．

3.2 “以生為本”高效課堂的呈現是“問”

問即是審問，是在充分博學基礎上的高質量的自問、互問與合作探究．課堂教學操作方面，教師要提前將學生分為4人一組，為每個小組選好組長．課堂教學中，首先全體學生在各自的小組內審問或善問．此環節的操作方式為自問、互問、小組合作．常見的問題有：我解決了哪些問題？真正解決了嗎？有沒有更簡便的解法？我還有哪些問題沒有解決？小組合作探究后，還有什么問題沒有解決？“問”的目的是落實關鍵能力，體現基礎性，力求70%的學生解決70%的問題．通過學生自問、生生互問、師生互問、教師追問等方式，讓學生掌握立體幾何中最值問題的求解策略．

3.3 “以生為本”高效課堂的深入是“思”

思即是慎思，是在質疑、合作前提下的多維思考與深度領悟．課堂操作上，一是教師讓組長將各小組的問題進行匯總，二是教師要根據課堂教學內容提前預設．課堂教學中，讓各小組展示問題，然后讓學生慎思、深思、參悟．此環節的操作方式為學生獨立思考，深思已解決的問題、慎思未解決的以及新產生的有價值的問題．“思”的目的是提升關鍵能力，體現綜合性，力求80%的學生解決80%的問題．學生在上述問題解決的基礎上，結合已經學過的立體幾何中的度量關系，提出新問題，思考并解決問題，將知識和方法在寬度和廣度上延伸．

3.4 “以生為本”高效課堂的關鍵是“辨”

辨即是明辨，是立足于展示與點評基礎上的思維碰撞與爭鳴．明辨、辨明，疑惑越辨越清，思想越辨越深，真理越辨越明．課堂操作中，教師要選擇部分學生的成果進行投影，讓學生展示成果，總結提煉方法，其他小組學生提問、質疑，全體學生在課堂上爭辯、分辨、再存疑．此環節的操作方式為小組內生辯，或者班級內部生辯或師辯.讓真知獲得認同，將課堂推向深入，讓思維引入活水，使素養得到提升．“辨”的目的是落實學科素養，體現創新性，力求90%的學生解決90%的問題．學生展示后，通過追問學生為什么想到提出這些問題？提出這些問題時的思考角度有哪些？又是如何解決這些問題的？在學生與學生、教師與學生的互辯中，引領學生拓展思維．

3.5 “以生為本”的高效課堂的指向是“行”

行即是篤行，是立足于檢測反饋基礎上核心價值的落實與踐行．課堂操作中，教師提前根據教學內容設計檢測問題．課堂教學中，總結和當堂檢測．此環節的操作方式為學生獨立總結或解決問題．問題一是來自教師課前預設；二是課堂上學生在“問”的環節未解決的1～2個問題．在時間上做到課上與課后融為一體．“行”的目的是落實核心價值，體現應用性，力求95%的學生掌握95%的問題．在上述問題解決的基礎上，學生再反思立體幾何中的最值問題，掌握基本方法，進一步有更深層次的認識．

“學問思辨行”高效課堂模型是傳承和發展傳統教學思想、回歸教學本真的一種教學模式，堅持以學生為中心、教師為主導、問題串為載體，充分體現了新課標的教育思想與新高考評價的核心理念，是一種科學高效的課堂教學模型．