慢讀 細讀 回讀
——新高考數學閱讀試題的教學思考

許家釗

(蘇州大學附屬中學 215006)

1 數學閱讀試題的教學現狀

分析近年來的數學高考試題不難發現，情境試題明顯增多，閱讀量增大．這樣設置的目的是讓學生通過閱讀提升數學學科素養，感悟數學思想方法，形成科學的數學思維，把握數學的本質．而現實情況是這一部分試題得分率較低，如2021年新高考Ⅱ卷的“衛星導航系統”、2021年新高考Ⅰ卷的“民間剪紙藝術”、2019年全國Ⅰ卷的“斷臂維納斯”等新情境試題讓不少優秀學生折戟，主要有兩方面的原因．

一是教師不重視．教師對數學閱讀的理解不夠深刻，沒有形成數學也需要閱讀的意識．課堂上，數學教師往往只注意邏輯推理的嚴密性、演算步驟的正確性、解題方法的恰當性，而忽略了引導學生理解數學語言，缺乏對數學語言的推敲琢磨．有些教師甚至認為，數學閱讀費時費力，在提高學生成績方面效果不明顯，直接把數學閱讀砍掉了．即便有部分教師認識到數學閱讀的重要性，也只是停留在要求學生讀讀教材，以及對概念、公式和定理的圈圈畫畫上，這種閱讀方式并不能提高學生的數學閱讀理解能力．

二是學生不重視．學生潛意識里是輕視數學閱讀的，他們眼中的閱讀似乎只有語文、英語等學科才有，對于數學只要會做題就行了．對于布置的預習作業，很多學生一目十行，簡單地過一遍，草草了事，既沒有設定閱讀任務，也沒有設定完成的目標，只對教材中重要結論感興趣，不能領悟其字里行間所蘊含的數學思想．

2 數學閱讀試題的教學思考

筆者認為，數學閱讀試題的教學可分為三個環節，即慢讀、細讀與回讀．所謂慢讀是指第一遍通讀試題后，理解試題的大意，條件是什么、求什么、涉及數學課本里什么章節、可轉化為什么樣的數學問題，慢讀可采用“一問一答”的方式進行，文章有舉例說明；細讀是指在慢讀之后，在題中提取關鍵信息和所需數據，明確該數學問題的已知條件、所求問題需要哪些條件、采用什么計算方法、可否優化等；回讀是指試題基本得到解決后，再回到試題當中，查看有無信息遺漏、有無隱含條件未使用、所求結果是否符合實際背景等．

例1(2021年新高考Ⅱ卷第4題)北斗三號全球衛星導航系統是我國航天事業的重要成果．在衛星導航系統中，地球靜止同步衛星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為36 000 km(軌道高度是指衛星到地球表面的距離)．將地球看作是一個球心為O，半徑r為6 400 km的球，其上點A的緯度是指OA與赤道平面所成角的度數．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛星點的緯度最大值為α，記衛星信號覆蓋地球表面的表面積為S=2πr2(1-cosα)(單位：km2)，則S占地球表面積的百分比約為( ).

慢讀 問1：地球上一點A的維度是怎么定義的？試題表明是指線面所成角，是指直線OA與赤道平面的所成角，如圖1，即∠AOB．問2：衛星的軌道高度是指什么？記衛星中心G與地球球心O的連線段與地球表面交于B點，那么軌道高度指的就是線段BG的長，如圖2．問3：地球上能觀測到衛星點的區域在哪里？過衛星點作地球表面的切線束，這些切點連起來形成一個小圓，這個小圓所包裹的地球表面都可以觀測到衛星．問4：在這些觀測點中維度最大的點在哪里？是小圓包裹的地球表面到赤道面距離最大的地方，如圖3．

圖1 圖2

圖3 圖4

回讀 衛星信號覆蓋地球表面的表面積S=2πr2(1-cosα)是試題直接給出的，它與地球表面積的比值只與α有關，客觀情況確實如此，衛星覆蓋的地球表面可以類比成直線與圓相切所得的曲線段．

評注 本題涉及交叉學科，與地理學科相融合，解開神秘之面紗后，本質依然是數學中的基本問題，涉及直線與圓相切，直角三角形中的余弦以及球的表面積．借助于衛星導航系統的實際背景，考查學生數學閱讀、繪圖、轉化、類比、降維等數學基本思想和方法的掌握情況，是一道優秀試題．

例2(2020課標全國Ⅱ卷第4題)如圖5，北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環，向外每環依次增加9塊.下一層的第一環比上一層的最后一環多9塊，向外每環依次也增加9塊.已知每層環數相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)( ).

圖5

A.3 699塊 B.3 474塊

C.3 402塊 D.3 339塊

慢讀 問1：場所被分為上、中、下三層，每一層的扇面形石板情況如何？上層的第一環是9塊扇面形石板，第二環增加9塊，是18塊，這便形成了首項為9、公差為9的等差數列．問2：項數是多少？現在并不清楚，可以繼續分析試題．問3：中層情況如何？也是等差數列．首項是多少？首項是上層最后一項再加上9塊，說明上、中、下三層整個恰好構成了等差數列．問4：求什么？三層共有多少塊石板，也就是求所有石板的總和，即求等差數列所有項的和，首項和公差都是9，現在只缺少項數．問5：題中還有什么條件？題中后段出現了重要條件“每層環數相同，下層比中層多729塊”，使用好這個條件，便可以解決這個問題．

總體來看，在全球開放獲取運動中歐洲更為積極和激進。法國、英國和荷蘭等十一個國家的基金會聯手推出激進的開放獲取計劃，要求從2020年起，所有公共資金資助的研究成果即時進入開放獲取模式，任何人都可以下載、翻譯或再利用。根據該計劃，研究成果必須立即而不是延遲開放［8］。 該計劃被稱為 Plan-S'計劃，于 2018年9月對外發布，其創建者羅伯特·斯米茨（Robert-Jan Smits）要求學術出版社改變商業模式，其效果要達到像歐盟取消境內移動電話漫游費那樣［9］，由各國政府將此作為一項公共惠民政策與商業機構聯合推動。Plan-S'計劃的具體內容體現在如下幾個方面［5］：

回讀 本題實質是將等差數列27項等距離分成3段，每段9項，揭示的數學問題是比較容易的．

評注 本題以實際背景考查等差數列求和知識，所需的條件均蘊含于試題當中，需要考生通過閱讀理解題意，提取重要數據，轉化成數學問題，感悟數學與現實之間的關聯．

慢讀 問1：每一次對折有幾種方式？兩種方式，可以橫向對折，也可以豎向對折，故第一次對折可以得到兩種規格，學生有生活常識，容易理解．問2：試題已經告知對折兩次，出現三種規格，為什么？因為將第一次橫向對折之后的矩形再進行縱向對折，與將第一次豎向對折之后的矩形再橫向對折所得圖形相同，如圖6，故而得到三種規格，這是一個非常重要的發現．問3：第三次對折結果如何？得到四種規格，如此，可知一般規律了.問4：對折4次可以得到幾種規格？自然就是5了，解決了本題第一空的問題．

圖6

細讀 第1次對折，得到兩種規格，分別是 6×20，12×10，所以S1=2×120；

第2次對折，得到三種規格，分別是3×20，6×10，12×5，所以S2=3×60；

第3次對折，得到四種規格，分別是1.5×20， 3×10，6×5，12×2.5，所以S3=4×30．

回讀 每一次對折之后，每一種規格的面積都是原來的一半，規格的總數會增加一個，也就是說每次對折之后得到的所有規格總面積是一個等差數列乘以等比數列的形式，如此便恍然大悟，本題原來是用錯位相減法．

評注 本題以生活常識為背景，考查對實際背景的閱讀理解、繪圖、運算求解以及轉化等數學能力及應用意識，試題的本質是考查數列求和中的錯位相減法.教學過程中，教師除加強引導閱讀之外，對不熟悉的數列問題，還應引導學生先進行列舉，逐步摸索規律，進而進行一般化處理，積累從具體到抽象的活動經驗，體會從特殊到一般的數學思想方法．

A．8π B．6π C．9π D．5π

圖7 圖8

細讀1 根據題目條件畫出的圖形，我們發現該圖形有明顯的對稱性，故取BC中點O，連結AO,DO，如圖8．此時，我們發現BC⊥平面AOD，所以平面AOD⊥平面BCD，因此，要作出A在平面BCD的射影，只需在平面AOD中作出OD的垂線即可．

主要解題過程1 如圖9，取BC中點O，連結AO,DO，在平面AOD中，過A作AH⊥OD，交OD于點H．

圖9

因為O為BC中點，AB=AC，DB=DC，所以OD⊥BC，OA⊥BC， 又因為OD∩OA=O，OD,OA?平面AOD，所以BC⊥平面AOD， 又因為AH?平面AOD，所以AH⊥BC．

細讀2 尋找幾何體外接球球心的一般方法：確定幾何體兩個面的外接圓的圓心，并分別過這兩個圓心作出垂直于這個面的垂線，兩條垂線的交點即為球心．

回讀 事實上，本題可以總結為一類特殊的模型——翻折模型，由一個等腰直角三角形繞著斜邊旋轉一定角度得到的三棱錐，其外接球球心位于斜邊的中點．此外，翻折模型的題設往往會出現兩個全

圖10

評注 本題屬于三棱錐的外接球問題，這類問題常見的模型有三種：模型一，有一條側棱垂直于底面的三棱錐的外接球，通常是把它補成直三棱柱，利用勾股定理就可以輕松求解；模型二，正三棱錐的外接球，通常用兩次勾股定理便可以搞定；模型三，一般三棱錐的外接球，通常需要找球心．而本題，由于兩個側面是等腰直角三角形，它的球心便是斜邊中點，屬于模型三的特殊情形．

3 結語

閱讀作為數學基本素養之一，是學生獲取信息和知識的重要途徑，在高中數學的教學過程中，有計劃地培養學生的閱讀能力，有利于學生數學思維、邏輯分析能力的提升，可以促進學生綜合能力的發展．教師重視對學生數學閱讀能力的培養，不能簡單地表現在增加情境題的數量上，關鍵要落實到課堂．教師應根據高考的要求、教材的特點、學生的實際，整合一些本源性、比較性、生成性資源，編寫集知識性、方法性、趣味性于一體的閱讀材料或情境性問題供學生閱讀和思考，并以此創設閱讀情境，提煉數學問題．每個學期，教師都應專門開設幾節讀題指導課，通過慢讀、細讀和回讀，引導學生體會考點，引領本質的揭示、方法的遷移和模型的構建．