“任意角”概念不同引入方式的比較研究

孫信玲

(江蘇省南京市建鄴高級中學 210019)

教師普遍認為“任意角”這一節的內容難度不大，在教學中很容易處理．在初中，學生學習過“角”的概念，是0°～360°范圍的角．教師通過生活情境的引入，讓學生感受現實生活中隨處可見超過0°～360°范圍的角，比如跳水中的“翻騰三周半”、體操中的“前空翻轉體720°”、車輪旋轉兩圈等．然后教師逐一介紹關于角的概念的相關規定，包括角的定義、角的始邊與終邊、角的正負、終邊相同的角等，于是完成了角的擴充．

然而，“任意角”這一節作為《三角函數》這個章節的章首課，擔負重要的功能，在大單元視域下，將這節課與全章內容聯系，可以發揮其更大的作用．同時，“任意角”作為一節概念課，是“角的概念”的擴充，知識點比較多且散，應具有其合適的教學規律與方法．

1 三種不同的“任意角”概念的引入方式

在本學期的南京市公開課中，開設的三節課設計了不同的概念引入方式，筆者參與了研究過程，也進行了學習思考，現將三種不同的概念引入方式記錄與分析如下．

1.1 教學設計A

問題1在初中階段我們學習過角，它是如何定義的？你認識哪些角？

設計意圖在初中階段，角的定義是：具有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角．這個公共端點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的兩條邊．這是角的靜態定義．初中教材中也介紹了角的動態定義：角也可以看成是一條射線繞著它的端點旋轉到另一個位置所成的圖形．學生已經學習過的角是銳角、直角、鈍角、平角、周角，角的范圍是0°～360°．這既是復習舊知，也是為角的擴充作準備．需要說明的是，高中教師往往認為初中只講了角的靜態定義，高中的重點是將角的概念推廣到“旋轉成角”以及擴大范圍．其實在初中已經介紹了角的動態定義，高中推廣的是角的旋轉量和旋轉方向．

問題2(1)游樂園中的摩天輪旋轉了兩周半，如何用角度來量化“兩周半”？

(2)假如你的時鐘快了30 min，現在要校正，需將分針怎樣旋轉？如果慢了30 min，又該如何校正？

設計意圖感受旋轉量和旋轉方向與之前所學的不同．摩天輪旋轉兩周半，是旋轉了900°，這個度數超出了以前角的范圍，角不夠用了，說明了擴充角的必要性．時鐘快了30 min，需要將分針逆時針旋轉180°，慢了30 min，需要順時針旋轉180°，通過旋轉分針體現了角的動態定義中的“旋轉”，也區別了角的方向．

問題3實際生活中這些角與初中所學的角有所不同，這些角的不同體現在哪幾個方面？你能舉一些實際生活中的角的例子嗎？

設計意圖與之前所學的角相比較，一方面，遇到了超過360°的角；另一方面，同樣是180°的角，旋轉方向不同作用不同．通過歸納，得出角的旋轉量和旋轉方向與之前所學不同，這就產生了擴充角的必要性．通過舉例，進一步感受實際生活中存在超過360°的角，以及不同的旋轉方向帶來不同含義的角．

1.2 教學設計B

問題1日出日落，寒來暑往……自然界有許多“按一定規律周而復始”的現象，稱為周期現象．你們還能舉出一些周期現象的例子嗎？

設計意圖“任意角”是《三角函數》這一章的章首課，三角函數是刻畫周期現象的函數模型．讓學生通過舉例感受自然界存在許多周期現象，如一周七天的變化，一年四季的更替，摩天輪轉動時與水平方向的夾角、距離地面的高度等．而已經學習過的函數模型都不能用來刻畫這種現象，于是有研究新的函數模型的必要．

問題2刻畫周期現象最常見的模型是圓周運動．若點P在以點O為圓心、r為半徑的圓周上運動，哪些量是周而復始的？

設計意圖研究周期運動，就先研究它的典型代表——圓周運動．帶領學生經歷數學抽象的過程，將圓周運動抽象為圓O上一點P的運動．在這一過程中，周而復始運動、具有周期性的量有OP與水平方向的夾角、點P的橫坐標與縱坐標等．

問題3你能刻畫圓周上一點P的位置嗎？

設計意圖可以用點P的坐標來刻畫，這個方法學生最容易想到，建立平面直角坐標系可以準確地表示點P的位置，那么就需要討論如何建系更合適．這也為后續將角都統一在同一個平面直角坐標系內研究提供了可能．在半徑r確定的情況下，點P的位置還可以用射線OP轉過的角度或弧長來刻畫，這種表示方法也為后續學習“弧度制”作了準備．問題3將《三角函數》這一章要學習的知識有機整合在一起，是對單元教學內容進行整體設計．

問題4如圖1，點P1，P2，P3從水平位置A起轉過的角分別是多少度？如何區別它們？

圖1

設計意圖從圖形上看，∠AOP1=30°，∠AOP2=30°，∠AOP3=30°，但三個點從水平位置起轉動的角度和方向不同，這說明我們需要引入新的概念來區別它們．幾何畫板動畫顯示，點P1與點P3相差一圈，出現了超過360°的角；點P1與點P2的運動方向不同，需要引入正角與負角的概念加以區別．這就是擴充角的必要性．

1.3 教學設計C

問題1如圖2，摩天輪的半徑r為40 m，圓心O距離地面的高度為48 m，摩天輪做逆時針勻速轉動，每8 min轉一圈．摩天輪上點P的起始位置在最低點處．(1)請用一個量來刻畫 1 min后點P的位置．

圖2

設計意圖摩天輪的運動作為例子在這一章的教材中多次出現，貫穿始終．這是一個很典型的周期運動的案例，其中有許多素材與角、三角函數相關聯．刻畫點P的位置有多種方法，可以培養學生的數學抽象核心素養．點P的位置可以用轉過的角度表示；可以用轉過的弧長表示；可以用點P距離地面的高度表示；還可以以圓心O為原點、水平方向為x軸建立平面直角坐標系，用點P的坐標刻畫．其中，選擇角度刻畫更直觀，點明本節課首先研究角．

(2)1 min后、2 min后、3 min后、4 min后、 8 min后，OP從起始位置所轉過的角分別是多少度？

設計意圖感受“旋轉成角”，并復習初中所學過的銳角、直角、鈍角、平角、周角的概念．

(3)9 min后、16 min后，OP從起始位置所轉過的角又分別是多少度？

設計意圖轉過的角分別是405°和720°，遇到了超出0°～360°范圍的角，引起了認知沖突，初中所學的角不夠用了，需要推廣．

圖3

問題2摩天輪的半徑r為40 m，圓心O距離地面的高度為 48 m，摩天輪做勻速轉動，每8 min轉一圈．摩天輪上點P的起始位置所對應的半徑與地面平行．當摩天輪轉動2 min后，求點P離地面的高度．

設計意圖由于沒有規定旋轉方向，轉動 2 min后，點P可能運動到最高點，也可能運動到最低點．相同的起始位置、相同的旋轉量和不同的旋轉方向，得到的角不同．

問題3你能再舉一些生活中由于旋轉方向不同而角的含義不同的例子嗎？

設計意圖通過舉例，進一步感受角與旋轉方向有關．比如擰緊螺帽和擰松螺帽、前滾翻和后滾翻等．

2 三種引入方式的比較分析

2.1 共性

這三種引入環節的教學設計都圍繞學生對角的認知沖突展開，充分展現了對角進行推廣的必要性；都以問題串的形式呈現，層層遞進，每個問題都是學生思維的階梯；都與生活實際相聯系，都通過學生舉例的方式將抽象的概念具體化，從而深化對任意角的理解．

2.2 銳角與立意的不同

教學設計A立足于概念產生的必然性，也就是“為什么角的概念要推廣”．教師從摩天輪旋轉兩周半、校準時鐘等豐富的生活實例出發，讓學生充分感受“角不夠用”，再通過比較歸納得出角的概念在旋轉量和旋轉方向上都需要推廣．

知識推廣的原則是必要性和可行性．類比數系的擴充，每一次都是數不夠用了，于是引入新的數，解決在原有數集中某種運算不能進行的問題．角的概念的擴充，是角不夠用了，于是擴大角的范圍和規定角的方向，從而解決初中所學的角在現實世界中不夠用的問題．

教學設計B立足于大單元教學思想，把一個小節的內容融入整章去通盤考慮．《三角函數》這一章研究的是周期現象，問題1就從這里出發，先請學生舉例，感受自然界和生活中的周期現象．問題2將周期運動抽象為圓周上一點的運動，問題3研究圓周上點的位置．在這些問題的研究過程中，雖然沒有立即推廣角的概念，卻在圍繞半徑、角、弧長、坐標等對象展開，而這些將是本章的重要研究對象，為后續研究作了準備，體現了章首課應有的作用．

數學大單元教學是對知識結構、方法體系和數學思想的整體性教學，是數學教學設計與核心素養的有效對接．一方面，“教前顧后”，為后面的學習開一扇窗、播一粒種，讓它在那兒慢慢推開一扇門、萌出一顆芽．另一方面，“學后想前”，引導學生把學習過程中習得的方法遷移到新的問題中，使他們通過主動類比、形成結構并內化為數學學科的核心素養與關鍵能力．

教學設計C立足于課時整體設計，對核心內容“再建構”，對核心素養“重落實”．整節課用摩天輪的問題將任意角的概念串起來，在引入部分，對摩天輪轉過角度的研究使學生感受旋轉成角、產生角不夠用的沖突，對摩天輪距地面高度的研究使學生直觀感受旋轉方向對角的影響．在本節課的后續內容中，教師還通過研究摩天輪轉到相同位置時轉過的角之間的關系來研究終邊相同的角的表示方法．本節課行云流水，概念在同一個情境中自然流淌生成．

通過對核心概念的重組和再建構，可以將概念課中比較零散的概念串起來，使概念之間有序、有關聯，使整節課有主線．而在有些課堂中，我們看到，學生被教師設計好的一個又一個情境牽著走，雖然也得到了概念，但不能更直接地感受到概念發生發展的過程．對于概念比較零碎的課，比如向量的概念、復數的概念等，都可以采用這個辦法．

3 教學啟示

3.1 研究章引言，上好起始課

教材的每一章都有章引言，是對本章所涉及的知識和思想方法的介紹，也是這一章的統領．在教學中，這個部分常常被忽視．而教師認真研究章引言，有助于深入理解教材，理解這部分的內容、結構和思想方法，可以說，章引言在教學中發揮著“導游圖”的作用．

《三角函數》這章的章引言介紹了周期現象，然而之前所學的函數模型無法刻畫周期現象，所以提出問題“用什么樣的數學模型來刻畫周期運動？”這就使得研究三角函數成為必然，而研究三角函數，首先就要研究角．研究圓周上一點的運動，用不同的量描述同一事物，那么它們之間必然有聯系．這就為后續擴充角、引入弧度制、建立三角函數奠定了基礎．

“任意角”是《三角函數》一章的起始課，站在整個章節的角度來設計本節課，是建立在課程標準、核心內容、基本學情的深度分析基礎上的“再建構”，可以更好地體現推廣任意角的作用，教學設計B正是這么建構的．當然，章引言只是引言，涉及到的內容跨度較大，不需要面面俱到，也不宜過分深入，其全部內容隨著章節學習的深入而推進展開．

3.2 抓住生長點，引入新概念

在新概念的引入過程中，要關注學生的認知發展水平和已有的知識經驗，找準知識生長的起點．本節課的生長點有小學對角的認識、初中學習過的角的概念、實際生活中的需要、數系擴充的體驗等，這些都是先行組織者，都為角的擴充奠定了基礎．在此基礎上發展新概念是自然而然的，也是必然合理的．

教學設計A和教學設計C都抓住任意角的生長點，引導學生親歷新概念的發生發展過程，自然適切．引導學生積極主動地參與學習是落實學科核心素養的關鍵．如果概念憑空而來，如果僅僅只是規定，學生不可能主動參與學習，核心素養就不可能落地．

3.3 設計好問題，指向有效性

學習發生的基本條件是產生學習需要，教師的一個重要任務就是提出有效的問題，創設學習發生的條件，激發學習需要．我們在聽課中，常常聽到指向不明確的問題、學生無法回答的問題、細碎隨意的問題等．這樣的問題不僅不能促進學生思考，反而會阻礙學習的發生．

在這三種引入部分的教學設計中，教師都設計了有效的問題串．問題指向明確，把問題問在學生的最近發展區里，讓學生既熟悉又陌生，開始積極思考．問題分層遞進，一步一步地揭示知識本質，引導學生由淺入深地思考．問題包含方法，在解決問題的同時也教給學生研究問題的方法路徑．