日本數學“綜合與實踐”活動的設置經驗及其啟示
——基于日本2021版《新數學》教材中“自由研究活動”的分析*

常海斌

(渤海大學數學科學學院 121013)

李 健

(人民教育出版社課程教材研究所 100081)

1 引言

隨著數學課程改革的持續推進和創新教育的不斷發展，傳統的教學模式已經難以滿足社會對于創新型人才的需求，數學教育急需回應時代發展的需要．綜合與實踐活動作為培養學生綜合素質的跨學科實踐性課程[1]，被視作發展學生探究能力、培養學生創新意識的有效途徑．我國一直高度重視學生創新能力和探究意識的培養，并將綜合與實踐活動作為義務教育階段數學課程的四大主線之一．然而，綜合與實踐活動在具體設置過程中面臨諸多困境，如課程內容簡化、去知識化、預設活動方式單一等[2,3]，設置高質量的綜合與實踐活動成為時下值得關注的一項重要課題．

教材作為貫徹課程標準和承載課程理念的物質載體，是師生開展綜合與實踐活動的主要資源．日本是傳統的數學教育強國，在數學教材編寫方面擁有許多值得借鑒的經驗．日本文部科學省于2017年頒布了《初中數學學習指導要領》，并于2021年4月1日開始實施．東京書籍株式會社依據《初中數學學習指導要領》編寫了《新數學》系列教材，教材中的“自由研究活動”是培養學生實踐創新能力的重要切入點，展現出初中數學綜合與實踐活動的日本樣態．本文將以日本2021版《新數學》教材中的“自由研究活動”為研究對象，并基于該活動的主題選擇、活動方式、研究報告三個方面展開分析，以期為我國初中數學課程中綜合與實踐活動的設置提供日本經驗．

2 自由研究活動的主題選擇

在自由研究活動的主題選擇方面，《新數學》系列教材不僅重視一般性研究活動，而且關注跨學科研究活動．具體而言，在“縱向”的一般性研究活動與“橫向”的跨學科研究活動下，可以細分為七類主題，各主題下屬23個自由研究活動，見表1．

表1 自由研究活動的主題選擇與活動名稱

2.1 一般性研究活動

按照活動是否與現實生活相關聯，將一般性研究活動劃分為“數學內部研究”和“數學與生活”兩類．

“數學內部研究”主題下的活動主要指基于數學課程內容自身，或對數學課程內容進一步拓展和加深而形成的探究性活動；“數學與生活”主題下的活動則主要指與現實生活關聯密切但不涉及其他學科知識的探究性活動．

在日本初中課程標準規定的數與式、圖形、函數、數據的活用這四個知識板塊中[4]，《新數學》系列教材共設置了10個一般性研究活動，其中“數學內部研究”主題下的研究活動8個，“數學與生活”主題下的研究活動2個．例如《如何移動圓周角》這一活動，該活動是在學生學習了圓周角定理后，要求學生利用GeoGebra進一步探究圓的性質，屬于數學內部研究活動；而函數版塊中的《瞬時速度》這一活動則以“坐過山車”為情境，引導學生利用二次函數解決生活實際問題，不涉及其他學科知識的運用，屬于“數學與生活”主題下的研究活動．

2.2 跨學科研究活動

按照教材中的劃分，所有跨學科研究活動被劃分到“數學與歷史”“數學與語言”“數學與科學技術”“數學與美術”“數學與保健體育”五個類別當中．

“數學與歷史”主題下的活動主要指數學史視角下的自由研究活動．法國數學家帕斯卡于1654年首次將二項式系數表稱為“算法三角形”，并對其性質進行了系統研究[5]，該主題下的《帕斯卡三角形》這一活動就是以算法三角形為線索，進而引導學生從不同方向觀察算法三角形，使學生探究算法三角形的各行數列與(a+b)2,(a+b)3展開式中各項系數的關系．“數學與語言”主要指數學與其他語言結合而成的自由研究活動．例如《試著讀盲文》這一活動，學生需要經歷歸納推理等活動，方可發現盲文的內部特征和認知規律，展現出數學與其他語言間的聯系．“數學與科學技術”主要指數學與技術以及數學與物理、地理、化學等自然學科相結合而成的自由研究活動．例如在解決《思考汽車的死角》這一活動中的問題時，就需要運用物理學中的反射角知識，體現出數學與科學技術間的聯系．“數學與美術”主要指將藝術作品作為數學的應用載體的自由研究活動．例如《挑戰埃舍爾》以荷蘭著名畫家埃舍爾的作品為研究對象，使學生體會“平移”“旋轉”“對稱”等變換形式在繪畫中的應用．“數學與保健體育”主要指與體育及身體保健有關的自由研究活動．《高爾夫球得分的表示方法》就是該主題下的典型案例，該活動將高爾夫比賽中高于標準桿的成績記為正數、低于標準桿的成績記為負數，學生以此為線索，進行“有理數加減法”的探究．

整體而言，這五類跨學科研究活動既是對數學課程內容自身的鞏固與加深，也是數學在其他學科的廣泛滲透應用的深刻體現，對于學生綜合素質的提升具有重要意義．

3 自由研究活動的活動方式

活動方式即完成自由研究活動所運用的方法和手段[6]．通過對《新數學》系列教材中的23個自由研究活動進行分析，對具有類似特征的活動進行歸類，可以將教材中預設的活動方式劃分為數學探究型、文獻查閱型、動手操作型三類．

3.1 數學探究型

數學探究型活動，主要指需先將研究活動抽象為數學問題(若無需數學抽象，則省略該步驟)，進而利用歸納、類比、聯想等數學思想方法就能直接完成的自由研究活動．例如《使用圖表思考》這一自由研究活動(圖1)：

圖1

思考下面的問題，嘗試創造出新的問題，并利用方程或圖表來思考和解決問題．

弟弟從家出發去了學校，4 min后，哥哥從家出發去追弟弟，假設弟弟的行走速度為50 m/min，哥哥的行走速度為70 m/min，那么哥哥從家走幾分鐘后能追上弟弟？

探究1 把原題中的“4 min后”改為“2 min后”，哥哥從家出發幾分鐘能追上弟弟呢？

探究2 把原題中的“4 min后”改為“7 min后”，哥哥要在距離家700 m的地方追上弟弟，那哥哥應該以什么速度行走？

探究3 自己創造問題思考一下吧！

該自由研究活動以貼近學生現實生活的“上學”為線索創設情境，將“追擊相遇”問題以圖表的形式呈現．學生要想解決該問題，需先明確圖中兩條直線交點的意義，進而將目標問題轉化為求解兩直線的交點．在探究1中，哥哥出發的時間改變，但速度不變，學生需以(2,0)為起點畫出哥哥此時的行走示意圖，進而找到兩條直線此時的交點橫坐標；在探究2中，哥哥的出發時間更改為了7 min后，由于要求兩人在700 m處相遇，且弟弟到達700 m處的時間已知，故哥哥追趕弟弟的路程和時間都已知，速度顯然可求．該活動的探究主要涉及數形結合、化歸等數學思想方法的運用，屬于數學探究型活動．

3.2 文獻查閱型

3.3 動手操作型

動手操作型活動，主要指需要學生進行數學實驗操作(既包括物理世界的實踐操作，也包括虛擬世界的信息技術應用)才能完成的自由研究活動．例如《四邊形的變身》這一自由研究活動(圖2)：

圖2

無論什么樣的四邊形，通過裁剪方式的改變都可以變成平行四邊形，怎么剪最好呢？

探究1 思考一下，怎樣剪四邊形才是最好的？另外，確認剪完后的四邊形能否重新組合成為平行四邊形？

探究2 試著想一下，像探究1那樣剪四邊形并重新組合后，變成平行四邊形的原因吧．

探究3 要變成長方形，應如何剪四邊形呢？

這一活動是在學生已有的平行四邊形相關知識經驗的基礎上設置的．學生要想完成該活動，需先動手嘗試剪裁四邊形，在不斷嘗試的過程中發現規律，即對任意四邊形進行裁剪，得到四個小四邊形，以裁剪所形成的四個角為頂角將四個小四邊形進行重新組合就能構造成一個平行四邊形．該活動既加深了學生對于平行四邊形知識的理解，又將知識應用于具體的實踐操作中，是數學理論與實踐操作相結合的典型案例．

4 自由研究活動的研究報告

《新數學》系列教材在自由研究活動中設置了“撰寫研究報告”這一欄目，要求學生選擇感興趣的課題，嘗試把自己對于該課題的思考和探究過程以文字、圖表和公式等形式總結成報告，并規定了研究報告撰寫的基本要求和基本構成要素．其中，基本要求包括：(1)簡要易懂地說明自己是如何思考的；(2)在研究報告中使用圖、表、公式等容易讓讀者理解的方式呈現．研究報告的基本構成要素見表2．

表2 研究報告的基本構成要素

由表2可知，“動機與目的”重在引導學生回憶發現問題、提出問題的過程，在整個自由研究活動中起引領作用；“方法”與“結果”是對活動所應用的知識與方法的反思過程；而“考察”與“感想”則有助于培養學生的學習態度和情感等元認知體驗．通過撰寫研究報告，學生可以從多個角度對活動過程進行剖析和反思，這一過程對于學生元認知水平的提升具有重要意義．

5 啟示

通過對日本《新數學》系列教材中自由研究活動的主題選擇、活動方式、研究報告的歸納與分析，從中總結出綜合與實踐活動設置的日本經驗．基于此，為我國綜合與實踐活動的設置提出以下三條建議．

5.1 同時關注“縱向”與“橫向”類研究選題，開拓學生數學視野

通過綜合與實踐活動的開展拓寬學生的數學視野，引導學生多層次、多角度地認識數學，這是綜合與實踐活動的應有之義．選題是設置綜合與實踐活動的起始環節，主題類型的豐富性能夠開拓學生的數學視野．在選題過程中，教師不僅可關注一般性研究活動，還可設置與歷史、語言、美術、保健體育、科學技術等學科相融合的跨學科研究活動．一般性研究活動有利于促進學生數學視野的“縱向”發展，是解決活動內容去知識化和表層化實踐的有效途徑．而跨學科研究活動的設置則體現了數學的廣泛應用性，重在促進學生數學視野的“橫向”延伸．這樣的活動主題設置對于學生體會數學應用價值、開拓數學視野具有重要意義．

5.2 重視探究、寫作、動手等多元化活動方式，促進學生的高階思維發展

高階思維是一種綜合性思維，常發生在元認知、問題解決、應用與創造性活動中[7]，包括批判性思維、創造性思維、問題解決能力和自我監控能力等．活動方式是學生思維的外部表現，多元化的活動方式對于學生的高階思維發展具有重要意義．教師在預設綜合與實踐活動的活動方式時，可以參考自由研究活動的活動方式進行設置．首先，數學探究型活動的設置應對學生的數學抽象能力提出一定要求，還應在活動的探究過程中發展學生的邏輯推理能力．在設置文獻查閱型活動時，教師要著重培養學生收集、整理、歸納、分析信息的能力，要引導學生針對目標問題進行文獻的整理與分析，并將認知結構中的相關知識經驗進行遷移與整合．在設置動手操作型活動時，應注重學生親身參與動手操作，活動要具有一定的開放性，給學生更多的主動權，在學生的主動探索中培養學生的創造性思維．總之，在綜合與實踐活動的教學過程中，教師要有意識地預設多元化的活動方式供學生選擇，這將有助于學生高階思維的發展．

5.3 注重活動后研究報告撰寫任務的設置，提高學生元認知水平

研究表明，對學生的反思能力進行針對性的培訓后，學生的數學元認知水平有顯著提高[8]，而撰寫研究報告就是開展反思性學習的有效手段．自由研究活動規定了撰寫研究報告的基本范式，由“動機與目的”“方法”“結果”“考察”和“感想”五個基本要素組成．在綜合與實踐活動完成后，教師可以基于綜合與實踐活動的具體特征，參考日本教材中的研究報告撰寫范式，引導學生對活動的發現、提出、研究方法、研究結果以及活動所運用的知識等進行反思與評價．學生依據該范式對活動過程進行剖析，將自身的探究過程顯性化，這可以使學生有意識地調節其認知加工過程，在對數學活動的不斷反思中提高自身的數學元認知水平．