基于數學抽象的“裂項法”教學設計探析*

俞文銳

(福建省福清華僑中學 350300)

數學抽象是數學的基本思想，是數學的本質特征的一種反應，也是形成數學學科理性思維的基礎，數學抽象貫穿于概念公式的產生、發展、應用的過程中．[1]如何在數學教學過程中培養學生的數學抽象核心素養呢？這需要教師把握問題的數學本質，結合數學抽象的特點，創設有序多級的問題情境引導學生主動思考，逐步提高抽象概括能力，積累從具體到抽象的基本活動經驗，形成良好的思考問題的習慣，靈活運用數學抽象的思維方式思考新問題、解決新問題．下面以“裂項法”教學為例，探究如何培養和發展學生的數學抽象核心素養．

對于這個問題，多數教師采用如下解法：

那么裂項法求和的思維起點是什么？教師要如何創設問題情境來讓學生自然地接受這一裂項求和的過程呢？

1 數學情境，感知“裂項”背景

情境1 若已知數列{an}的前n項和Sn，那么數列{an}的通項an(n>1)與數列{Sn}的通項之間存在什么樣的聯系？

情境2 等差數列{an}的首項為a1，公差為d，令bn=d，那么數列{bn}的每一項d與數列{an}的通項an之間存在什么樣的聯系？數列{bn}的前n項和能否用等差數列{an}的項表示？

師生活動：(1)根據等差數列的定義，可得d=an-an-1，則數列{bn}的每一項d可以“裂成”數列通項{an}前后兩項之差的形式：d=a2-a1，d=a3-a2，…,d=an+1-an．

(2)數列{bn}的前n項和Tn=nd=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an+1-an)=an+1-a1．

評析：數學抽象的過程必須遵循循序漸進的原則，要明晰學生的認知結構和最近發展區，可以確定等差數列的公差、通項等相關概念，以及任意數列{an}的通項與其前n項和Sn之間的關系是“裂項法”抽象的原型．教學應當引導學生在抽象原型的基礎上進行數學抽象，從而獲得裂項的本質特征．

2 數學探究，抽象“裂項”特征

提高裂項本質特征出現的頻率，從而引起學生對“升冪裂項”和“構造函數裂項”這一特征的關注，使這一特征獨立于任何問題情境，并且每一次特征的出現都具有一種優勢聯結．

問題1已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=2n，你能求出an嗎？你能把數列{an}裂成新數列{bn}的前后兩項之差嗎？你能從函數的角度予以解釋嗎？

師生活動：因為數列{an}的前n項和為Sn,Sn=2n，當n=1時,代入可得S1=a1=2，而由an=Sn-Sn-1,代入可得an=2n-2(n-1)=2，當n=1時上式也成立．綜上可知，an=2．如果我們變換角度觀察，可以發現2=2n-2(n-1)．

從數列角度看，常數列{an}的每一項“2”都可以裂成新數列{2(n-1)}的前后兩項之差，令bn=2(n-1)，則an=2=bn+1-bn．

數列是特殊的函數，從函數的觀點看，令f(x)=2(x-1)，則an=2=f(n+1)-f(n)，即{an}的每一項“2”都可以裂成一次函數f(x)=2(x-1)的兩個函數值f(n+1)與f(n)的差．

問題2已知數列{an}的前n項和為Sn，且Sn=n2+2n，你能求出an嗎？你能把數列{an}裂成新數列{bn}的前后兩項之差嗎？你能從函數的角度予以解釋嗎？

師生活動：因為數列{an}的前n項和為Sn,Sn=n2+2n,當n=1時,代入可得S1=a1=12+2=3，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1，當n=1時上式也成立．綜上，可知an=2n+1， 如果我們變換角度觀察，可以發現：2n+1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]．

從數列角度看,{an}的每一項“2n+1”都可以裂成新數列{(n-1)2+2(n-1)}的前后兩項之差，令bn=(n-1)2+2(n-1)，則an=2n+1=bn+1-bn．

從函數的觀點看,令f(x)=(x-1)2+2(x-1)=x2-1，則an=2n+1=f(n+1)-f(n)，即{an}的每一項“2n+1”都可以裂成二次函數f(x)=x2-1的兩個函數值f(n+1)與f(n)的差．

問題3已知數列{an}的前n項和Sn=2n+1-2，你能求出an嗎？你能把數列{an}裂成新數列{bn}的前后兩項之差嗎？你能從函數的角度予以解釋嗎？

師生活動：因為an=Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)，所以an=(2n+1-2)-(2n-2)=2n．檢驗當n=1時，a1=S1=2，故an=2n．

如果我們變換角度觀察，可以發現2n=(2n+1-2)-(2n-2)，簡化得2n=2n+1-2n，從數列角度看，{an}的每一項“2n”都可以裂成新數列{2n}的前后兩項之差，令bn=2n，則an=2n=bn+1-bn．

從函數的觀點看,令f(x)=2x，則an=2n=f(n+1)-f(n)，即{an}的每一項“2n”都可以裂成指數型函數f(x)=2x的兩個函數值f(n+1)與f(n)的差．

評析：能否從“裂項法”抽象物的原型中發現并抽取裂項法的本質屬性，是教師能否培養和提高學生數學抽象核心素養的關鍵．我們可以采用突出“特征”法，提高“特征”出現次數，通過對問題情境的變化，讓學生發現變化的背景中不變的東西，就是我們要抽象的“特征”．

3 數學體悟，概括“裂項”公式

運用數學符號表征指導裂項法的教學，引導學生將裂項的本質屬性轉化為公式的形式．

從特殊到一般的抽象概括，把裂項的本質特征升冪裂項和構造函數裂項，一步一步抽象出來．

我們可以把常見的數列{an}裂成新數列{bn}的前后兩項之差，并且從函數的角度予以解釋．

結論1 數列角度：A=An-A(n-1)，A=(An+B)-[A(n-1)+B],bn=A(n-1)+B．

函數的觀點：令f(x)=A(x-1)或f(x)=A(x-1)+B，則A=f(n+1)-f(n)，bn=f(n)．

函數的觀點：令f(x)=k(n-1)2+t(n-1)，則An+B=f(n+1)-f(n)，bn=f(n)．

評析：將數列納入函數體系中，從函數的角度研究數列，充分體現了新課標所倡導的大背景大框架大思路的研究方法，用數學符號表達是數學抽象的重要環節，能夠提高學生用數學的語言表達世界的能力．從具體的問題情境中抽象出了裂項的思路和方法，并用數學符號(公式)予以表示，在這一過程中，學生累積了從具體背景中抽象出數學概念的活動經驗．從結論1～3我們發現可以通過升冪進行裂項，可以通過一次函數、二次函數、指數型函數構造新數列，提煉出了解決一類裂項問題的基本方法，同時理解了裂項所蘊含的數學思想：升冪裂項和構造函數裂項．根據滿意原則可以認為學生達到數學抽象素養水平二的要求．

4 數學內化，辨析“裂項”內涵

新的概念獲得后學生掌握得還不牢固，需要創設新的問題情境強化概念，使其認知結構能夠同化或順應升冪裂項和構造函數裂項．

問題5設數列{an}滿足a1=1，an=2n·(2n-1)，求數列{an}的前n項和Sn．

證明：an=Sn-Sn-1=2n·(2n-1)．

猜想：Sn-Sn-1=(2n-1)·2n=(An2+Bn+C)2n+1-[A(n-1)2+B(n-1)+C]2n=(An2+Bn+C)2n+1-[A(n-1)2+B(n-1)+C]2n=[An2+(2A+B)n+C+B-A]2n，A=0，B=2，C=-3．

an=(2n-3)2n+1-[2(n-1)-3]2n，令bn= [2(n-1)-3]2n，則Sn=(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-a3)+…+(bn+1-bn)=bn+1-b1=(2n-3)2n+1+6．

結論5 (pn+q)·Cn=(An+B)Cn+1-[A(n-1)+B]Cn=[(AC-A)n+BC+A-B]Cn，其中AC-A=p,BC+A-C=q．

5 數學應用，深化“裂項”應用

通過應用不斷提升學生的數學抽象能力，可以鍛煉學生綜合運用數學知識分析問題、解決問題的能力，培養和發展數學核心素養．

問題6求數列{n3·2n}的前n項和.

通過運用裂項相消法，能夠輕松解決這類數列求和問題,避開了利用錯位相減法求和的復雜計算,顯得思路清晰明了．

問題7已知數列{an}的通項公式為an=n3，求其前n項和Sn.

利用常規的數列前n項和的求和方法無法奏效,但是利用升冪裂項的思想，可以輕松化解難題．

數學抽象核心素養培養的五個環節是創設情境，感知“裂項”背景；數學探究，抽象“裂項”特征；數學體悟，概括“裂項”公式；數學內化，辨析“裂項”內涵；數學應用，深化“裂項”應用．這五個環節，環環相扣構建了一個完整的抽象體系，對培養和發展學生數學核心素養具有一定的實踐指導意義．