二階非齊次線性微分方程解的增長性

徐曉妍，肖麗鵬

(江西師范大學數學與統計學院，江西 南昌 330022)

1 引言和結果

在本文中將使用亞純函數值分布理論中的標準符號{1，2},使用σ(f)表示亞純函數f(z)的增長級,定義為

考慮微分方程

f''+e-zf'+Q(z)f=0

解的增長級，其中Q(z)是一個有限級整函數。

Gundersen對于Q(z)是一個超越整函數的情況證明了

定理A[3]若Q(z)是一個超越整函數σ(Q)≠1， 那么方程f''+e-zf'+Q(z)f=0的所有非零解都是無窮級的。

那么在這種情況下就產生了一個問題，方程f''+P(z)f'+Q(z)f=0的系數滿足什么條件時，方程解的增長級才是無窮呢？陳宗煊研究了方程f''+A1(z)eazf'+A0(z)ebzf=0解的增長性，得到了

定理B[4]設Aj(z)(?0)是整函數且σ(Aj)<1，(j=0，1)，a，b為復常數且滿足ab≠0和a=cb(c>1)，那么方程

f''+A1(z)eazf'+A0(z)ebzf=0

的所有非零解都是無窮級的。

同時他還提出

定理C[4]假設a，b是非零復常數且a≠b，Q(z)是非常數多項式或Q(z)=h(z)ebz，h(z)是非零多項式。那么方程f''+eazf'+Q(z)f=0的每個非零解f都是無窮級的且σ2(f)=1。

在得到了定理B的結果后，陳宗煊研究了方程f''+(A1(z)eaz+D1)f'+(A0(z)ebz+D0)f=0解的增長性，得到了

定理D[4]設Aj(z)(?0)，Dj(z)，(j=0，1)是整函數且σ(Aj)<1，σ(Dj)<1，a，b為復常數且滿足ab≠0且arga≠argb或a=cb(0

的所有非零解都是無窮級的。

以上結果都是針對一些齊次線性微分方程得到的，那么當方程為非齊次線性微分方程時，在什么條件下方程的解均為無窮級呢?王珺在[5]中給出以下結果。

定理E[5]設Aj(z)(?0)，(j=0，1)，H是整函數且σ(Aj)<1，σ(H)<1，a，b為復常數且滿足ab≠0和a≠b，那么方程

f''+A1(z)eazf'+A0(z)ebzf=H(z)

的所有非零解都是無窮級的。

f''+(A1(z)eaz+D1)f'+(A0(z)ebz+D0)f=H(z)

的所有非零解都是無窮級的。

用多項式去替代定理E和定理F中的az和bz，方程系數滿足什么條件時，方程解的增長級均為無窮呢?本文研究了這個問題并得到了以下結果。

定理1設Ak(z)(?0)，(k=0，1)，H是整函數，m(≥1)為整數且σ(Ak)

f''+A1(z)eP(z)f'+A0(z)eQ(z)f=H(z)

(1.1)

的所有非零解都是無窮級的。

f''+(A1(z)eP(z)+D1)f'+(A0(z)eQ(z)+D0)f=H(z)

(1.2)

的所有非零解都是無窮級的。

2 證明定理所需引理

引理2.1[6]g(z)是有限級整函數，用νg(r)表示g的中心指標，則有

引理2.2[7]設n≥2，fj(z)(j=1，…，n)是亞純函數，gj(z)(j=1，…，n)是整函數滿足

(ⅱ)當1≤j≤k≤n時，gj(z)-gk(z)不是一個常數;

(ⅲ)E?(1，∞)是對數測度為有限的集合，當1≤j≤n，1≤h≤k≤n時，T(r，fj)=o(T(r，egh-gk))，(r→∞，r?E)，那么fj(z)≡0(j=1，…，n)。

(2.1)

e-5πM(r，f)1-C(σ，ζ)≤|f(reiθ)|

(2.2)

(2.3)

引理2.6[9]設P(z)=(α+iβ)zn+…(α，β是實數，|α|+|β|≠0)為多項式且次數n≥1。A(z)(≡0)為整函數且σ(A)0，存在一個集合H1?[0，2π)，其線測度為零，使得對任意θ∈[0，2π)(H1∪H2)，存在常數R>0，當|z|=r>R時，有

(ⅰ)若δ(P，θ)>0， 則

exp{(1-ε)δ(P，θ)rn}<|g(reiθ)|

(2.4)

(ⅱ) 若δ(P，θ)<0， 則

exp{(1+ε)δ(P，θ)rn}<|g(reiθ)|

(2.5)

其中H2={θ:θ∈[0，2π)，δ(P，θ)=0}為有限集。

引理2.7[10]設f(z)是超越亞純函數且σ(f)=σ<∞，H={(k1，j1)，…，(kq，jq)}是由不同整數對組成的有限集，且滿足ki>ji≥0(i=1，2，…，q)，又設ε>0是任意給定的常數，則

(ⅰ)存在零測度集E1?[0，2π)，滿足若φ∈[0，2π)E1，則存在常數R0=R0(φ)>1滿足對所有的argz=φ和|z|≥R0的z及對所有(k，j)∈H都有

(2.6)

(ⅱ)存在對數測度為有限的集合E2?(1，∞)，使得對滿足|z|?E2∪[0，1]的所有z以及對所有(k，j)∈H仍有(2.6)成立。

(ⅲ)存在測度為有限的集合E3?[0，∞)使得對滿足|z|?E3的所有z以及對所有(k，j)∈H都有

(2.7)

成立。

3 定理1的證明

假設f(z)是方程(1.1)的非零解且σ(f)<∞，我們可以斷言σ(f)≥m。若σ(f)

(3.1)

(3.2)

成立。根據中心指標的定義知，當r→∞時，νf(r)→∞。由引理2.1知，當r充分大時，有

νf(r)≤rσ(f)+1

(3.3)

由引理2.7中的(ⅱ)知，對所有z滿足|z|=r?E2∪[0，1]，其中E2是一個對數測度有限的集合，有

(3.4)

(3.5)

e-5πM(r，f)1-C≤|f(reiθ)|

(3.6)

下面我們將分3種情形討論。

情形1若δ(P，θ0)>0，由δ(P，θ)的連續性知，對充分大的n有

(3.7)

結合引理2.6中的(2.4)知，對充分大的n有

(3.8)

由(3.1)可以得到

(3.9)

下面把情形1分成3種子情形討論。

情形1.1設θ0滿足η=δ(Q-P，θ0)>0，由δ(Q-P，θ)連續性可知，對充分大的n有

同理由引理2.6對充分大的n有

(3.10)

把(3.2)，(3.3)和(3.5)代入(3.9)中，對充分大的n有

(3.11)

結合(3.8)得

(3.12)

由(3.3)，(3.10)和(3.11)有，

矛盾。

情形1.2設θ0滿足η=δ(Q-P，θ0)<0，由δ(Q-P，θ)連續性和引理2.6知，對充分大的n有

(3.13)

可以注意到此時仍有(3.11)和(3.12)成立，由(3.11)-(3.13)可知，當n→∞時有

即有

這說明當n→∞時，vf(rn)→0，矛盾。

η=δ(Q-P，θ)>0，

η=δ(Q-P，θ)<0，

和

(3.14)

成立。由引理2.5的證明過程，易知M(rn，f)≥

(3.15)

取l0充分小，由δ(P，θ)的連續性有δ(P，θ0*)>0，那么就有

(3.16)

把(3.4)和(3.15)代入(3.9)中可得，

再結合(3.14)和(3.16)可以得到，

矛盾。

(3.17)

由(3.1)知當n→∞時，

(3.18)

仍把情形2分成3種子情形說明。

(3.19)

將(3.2)，(3.4)，(3.5)和(3.17)代入(3.18)中得

(3.20)

再由(3.4)和(3.19)知，

矛盾。

(3.21)

由(3.18)得，當n→∞時，有

把(3.2)，(3.4)，(3.5)，(3.17)，(3.21)代入上式中，當n→∞時，有

這說明當n→∞時，νf(rn)→0，矛盾。

對于充分大的n，

矛盾。

情形3若δ(P，θ0)=0， 此時再對δ(Q，θ0)的情況進行討論。

矛盾。

情形3.2若δ(Q，θ0)<0，由引理2.6中δ(P，θ)的定義，當P(z)=(α+iβ)zm+…時可以定義

由于am≠0，則δ'(P，θ0)≠0，取點列{zn'=rneiθn'}滿足0<|θn'-θn|0說明對一個合適的l0有

(3.22)

由引理2.6即可知，對充分大的n有

(3.23)

(3.24)

由(3.4)，(3.15)，(3.22)-(3.24)知，

上是任意取的，對充分大的rn，由上式可以得到，

(3.25)

其中η1(θ)=(1-2ε)δ'(P，θ)，η2(θ)=(1-2ε)δ(P，θ)。

對所有的θ∈(θ0，θ0+l0)都有δ(P，θ)>0，因此有

(3.26)

用logf(rneiθ0)來表示對數函數logf(rneiθ)的主值即0≤arglogf(z)≤2π，由于

當rn充分大時，由上式得

log|f(rneiθ)|+2π≥|logf(rneiθ)|≥

即有log|f(rneiθ)|≥log|f(rneiθ0)|-4π-ξ(rn，θ)

(3.27)

exp{-(1-2ε)δ(P，θn*)rn}

(3.28)

矛盾。

當c<0時，取足夠小的l0使得當θ∈(θ0，θ0+l0)或θ∈(θ0-l0，θ0)時，有δ(Q，θ)<0<δ(P，θ)類似于情形3.2，有(3.25)，(3.27)，(3.28)成立。Wiman-Valiron理論知，當n→∞時，νf(rn)→0，矛盾。

當00和δ(P，θ)>0，類似于情形1.3的方法，可得矛盾。

當c>1時，取足夠小的l0使得當θ∈(θ0，θ0+l0)或θ∈(θ0-l0，θ0)時，有δ(Q-P，θ)<0<δ(P，θ)成立，并且當θn'∈(θ0，θ0+l0)或(θ0-l0，θ0)時，對點列{zn'=rneiθn'}有(3.15)成立。由(3.1)得

類似于情形3.2，有(3.25)，(3.27)成立。同樣當n→∞時，νf(rn)→0，矛盾。

定理1證畢。

4 定理2的證明

假設f是方程(1.2)的非零解且σ(f)<∞，我們可以斷言σ(f)≥m。若σ(f)

(4.1)

令σ=max{σ(D0)，σ(D1)}

Dj(z)≤exp{rσ+ε}，(j=0，1)

(4.2)

情形1若δ(Q，θ0)<0<δ(P，θ0)由引理2.6和δ(P，θ)與δ(Q，θ)的連續性，當n充分大時有

(4.3)

和

(4.4)

由(4.1)得

(4.5)

由(4.2)-(4.4)知，當n充分大時有

和

將(3.2)，(3.4)，(3.5)代入(4.5)中，當n充分大時，有

這說明當n→∞時，νf(rn)→0，矛盾。

情形2若δ(P，θ0)<0<δ(Q，θ0)，由引理2.6和δ(P，θ)與δ(Q，θ)的連續性，當n充分大時，有

(4.6)

和

(4.7)

由(4.1)即有

(4.8)

結合(4.2)，(4.6)，(4.7)知當n充分大時，有

和

定理2證畢。