基于壓電換能器的液滴驅動模型研究

陳弘安，梁 威

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院, 上海 201620)

0 引言

隨著智能汽車的發展，車身上搭載了越來越多的視覺傳感器，但雨天行車時傳感器表面經常會附著雨滴，導致采集的數據失真或錯誤，造成巨大的安全隱患。汽車上采用的除水方式一般包括雨刷器、電加熱及涂抹疏水涂層等，由于裝置體積大，清除時間長及清除效果不理想等原因，在傳感器表面未得到應用。壓電器件具有成本低，小型化及結構靈活多變等優點，適用于車輛傳感器表面除水的場景。

焦曉陽等[1]和王文成等[2]都曾提出利用壓電振子作為驅動源的除雨裝置，并對壓電振子的物理特性進行了探究。姜立標等[3]提出了一種基于微流驅動效應的玻璃振動除水技術。近年來研究[4-7]表明，利用壓電換能器在非壓電基板上激發蘭姆波可驅動液滴在基板上運動。這種蘭姆波微流控技術的應用，為車輛傳感器表面的除水提供了新的解決方案。

本文基于蘭姆波微流控技術，提出了一種利用壓電換能器激發蘭姆波來驅動液滴運動的裝置，并建立了壓電換能器和固體基板的二維有限元模型，使用多物理場仿真平臺COMSOL Multiphysics 對壓電振子的激發頻率及蘭姆波在固體基板中的傳播特性做了分析，最后通過實驗驗證該模型在實踐中的可行性。

1 理論基礎

1.1 蘭姆波驅動模型

圖1為壓電換能器激發蘭姆波驅動液滴運動模型。對壓電振子施加交變電壓，通過其逆壓電效應[8](見圖1中I區域)將高頻電信號轉換為自身同頻率的機械振動，從而在玻璃基板中激發出蘭姆波。蘭姆波在平板中傳播存在不同的模態[9]，可分為對稱和反對稱兩種類型(見圖1中Ⅱ區域)。在蘭姆波沿基板表面傳播的路徑上放置液滴，當蘭姆波傳播到固-液接觸面的瞬時，由于其在固體和液體中傳播的速度不匹配，將轉變成漏蘭姆波(Leaky Lamb wave)[10]衍射進入液體(見圖1中Ⅲ區域)。所攜帶的能量沿θR的方向耦合到液體中轉化成動能，從而在液滴中產生聲流效應[11-13]。其中，θR可由Snell定律求得：

θR=arcsin(vf/vs)

(1)

式中vf、vs分別為蘭姆波在液體中和固體基板中的傳播速度。

圖1 壓電換能器激勵蘭姆波驅動液滴運動原理

大多數聲表面波器件通常以LiNbO3材料作為壓電基板[14]，本文研究的蘭姆波驅動模型可應用在不同材料的非壓電基板上，主要以玻璃平板作為應用對象。蘭姆波在玻璃基板中的傳播速度vs-glass=2 400 m/s，聲表面波在LiNbO3中的傳播速度vs-LiNbO3=3 994 m/s，聲波在水中的傳播速度vf=1 480 m/s。根據式(1)可得，蘭姆波在驅動液滴時能量的衍射角θR-Lamb≈38°，聲表面波的能量衍射角θR-SAW≈22°。

由于θR-Lamb>θR-SAW，蘭姆波驅動的液滴與聲表面波驅動的液滴相比，由聲流效應產生的聲流力在平行板面方向上分量的比值較大，即蘭姆波驅動模型對于驅動液滴在基板表面水平運動具有更大的效能。

1.2 板中的蘭姆波

蘭姆波(即導波)是一種在板或殼上下表面間傳播的聲表面波。對蘭姆波在板中傳播特性的分析可從波動方程展開：

(2)

(3)

φ=[A1sin(py)+A2cos(py)]ei(kx-ωt)

(4)

ψ=[B1sin(qy)+B2cos(qy)]ei(kx-ωt)

(5)

式中k=ω/c為波數。根據邊界條件和應力關系得到4個積分常數A1、A2、B1、B2，p、q分別為

(6)

(7)

對于上下表面的無應力自由邊界條件，特征方程可用Rayleigh-Lamb方程表示為

(8)

式中d為板厚的1/2。當j=+1時表示對稱型(S 模式)；j=-1時表示反對稱型(A模式)。由于式(6)、(7)中p和q取決于角頻率ω，因此,特征值ki將隨著激勵頻率而變化，根據式ci=ω/ki，相應的波速ci也會隨著頻率變化。由此可知，蘭姆波在板上的傳播會發生頻散，其相速度取決于頻率f和d的乘積fd。在給定的fd下，對于Rayleigh-Lamb方程的每個解都可找到相應的蘭姆波模態和相速度。

1.3 蘭姆波的激勵

壓電效應的產生源自晶體結構自身的各向異性和極化作用，壓電材料的本構方程反映了晶體中電學參數(D、E)和力學參數(T、S)間的耦合關系。其中，應力-電荷型本構方程為

T=cES-eTE

(9)

D=eS+εSE

(10)

式中：T為應力；S為應變；D為電位移；E為電場強度;c,ε分別為材料的剛度系數和介電常數;cE,εS分別對應材料在電場強度恒定時剛度系數和應變恒定時介電系數;e為材料的壓電耦合系數;eT為e的轉置。

在該模型中，壓電振子通過粘合劑與基板間強耦合，結構模型如圖2所示。由Giurgiutiu[15]的研究可知，基板中的蘭姆波主要依靠粘結層的剪切應力激勵。

圖2 壓電振子在板中激勵蘭姆波的結構模型

粘結層中傳遞的界面剪切應力可由雙曲線函數表示：

(11)

其中，相對剛度系數φ為

(12)

剪切滯后參數Γ影響粘結層傳遞應變ε的效率，定義：

(13)

式中：Ea為基板的彈性模量；Ep為壓電振子的彈性模量；hp為壓電振子的厚度；h0為粘結層的厚度；a為壓電振子的半長；G0為粘結層的剪切模量；α為板厚度上的應力、應變和位移分布，會隨著頻率的改變而改變，依據Euler-Bernoulli假設，通常取α=4。界面的剪切力分布由Γ、a控制。當粘結層很薄、很硬時，剪切力沿界面的分布變化顯著，載荷主要集中在壓電振子的兩端，剪切力的表達式可假設為理想狀態下的銷力模型(Pin force model)：

τ(x)=aτ0[δ(x-a)-δ(x+a)]

(14)

式中δ(x)為Dirac函數。由此可知，剪切應力的強度和分布取決于壓電振子結構的相對變形。

2 有限元仿真

2.1 幾何模型和材料參數

圖3為在COMSOL Multiphysics仿真軟件中建立的二維有限元分析模型。仿真建模參考實際物理參數，各個結構域的幾何參數和材料參數如表1所示。對于壓電材料，定義其剛度系數矩陣cE為

(15)

耦合系數矩陣e為

(16)

介電常數矩陣εS為

(17)

圖3 壓電振子和平板的二維有限元分析模型

表1 幾何參數和材料參數

2.2 壓電振子特征模態

2.2.1 邊界條件

壓電振子作為能量轉換源，其振動模態、諧振頻率直接影響蘭姆波在板中的激發。因此，本文首先對自由邊界條件下的壓電振子單獨進行特征頻率分析和頻率響應分析。本文研究的壓電振子是一個由電極層-壓電層-電極層組成的復合結構，由于材料屬性決定了電極層的電導率比壓電層高幾個數量級，電極層幾乎為等電勢區域，其電特性對壓電換能器的壓電效應無顯著的影響。主要的機電耦合僅由壓電層表現出來，因此，在壓電層中同時求解靜電方程和結構方程，在電極層中只求解結構方程。

如圖3所示，壓電振子的外邊界面(Ω1、Ω2、Ω3、Ω4)設為自由邊界條件，且設定界面的初始位移場和結構速度場均為0。此外，給定結構損耗因子和介電損耗因子分別為0.001和0.01，損耗因子結合了壓電材料中的機械損耗和電損耗。在靜電方程中將壓電振子上邊界(Ω1)設置為終端電壓，電壓幅值為100 V，設下邊界(Ω3)接地。

2.2.2 仿真結果

圖4為對壓電振子在自由邊界條件下進行特征模態分析得到的壓電振子前4階的特征模態。圖中，壓電振子的形變是以一定比例放大的結果，顏色的深淺表示位移大小，顏色越深代表數值越大。此外，各階模態的固有頻率如表2所示，其中虛部表示為由結構損耗和極化損耗引起的阻尼的測度。

圖4 壓電振子的前4階特征模態

表2 壓電振子前4階特征模態的固有頻率

運用COMSOL Multiphysics仿真軟件在包含前4個特征頻率的區間范圍內進行頻域分析，目的是計算圍繞壓電振子4個最低特征頻率范圍的導納。設掃頻區間為(400 kHz，1 300 kHz)，得到導納頻率響應曲線如圖5所示。在該頻率區間內，分別得到導納的峰值和谷值，對應于壓電振子的諧振頻率和反諧振頻率。峰值點出現在第二階模態的特征頻率850 kHz附近，導納大即阻抗小，此時流過壓電振子的電流最大，壓電振子的逆壓電效應最顯著，機械振動的幅度也最大。

圖5 壓電振子輸入導納隨激勵頻率響應曲線

利用軟件的二維截線法計算自由邊界條件下壓電振子外界面的位移場，前4階模態在x分量上的位移場如圖6所示。前4階模態在y分量的位移場如圖7所示。由圖6、7可看出，第二階模態的位移場遠大于其他模態。第二階模態的特征頻率850 kHz為該壓電振子的諧振頻率，當外加電信號的頻率與諧振頻率接近時，壓電振子能獲得最大的振動幅度。當壓電振子粘結在玻璃基板表面時，由蘭姆波激發原理可知，壓電振子在諧振頻率下具有較大的結構變形，貢獻較大的剪切應力，從而在玻璃基板中激發較大的蘭姆波波場以驅動液滴運動。

圖6 壓電振子前4階特征模態x分量相對位移

圖7 壓電振子前4階特征模態y分量相對位移

2.3 板中蘭姆波的模態分析

在壓電振子上施加5周期的高斯窗調制的正弦激勵信號，其表達式為

(18)

式中：V0=100 V為電壓幅值；f0為中心頻率，以壓電振子的諧振頻率850 kHz為輸入頻率；T0=1/f0為周期。調制后的激勵信號如圖8所示。

圖8 激勵信號

圖9為蘭姆波在板中傳播時出現的頻散特性。圖中，顏色深淺表示位移場的大小，紅色和藍色分別表示沿y軸正半軸的位移和y軸負半軸的位移。由圖可看出，在板中傳播時，蘭姆波出現了兩種不同的模態，對比板內質點的位移場分布，從左往右分別為A0模態和S0模態。沿著波傳播的方向，S0模態的蘭姆波分布于A0模態的前面，由此可知，S0模態的群速度大于A0模態的群速度，這與頻散曲線描述的情況一致，驗證了該仿真模型可用于探究不同模態蘭姆波在板中的傳播特性。

圖9 板中蘭姆波波場分布

由于平板上的液滴只能傳遞垂直于板面的正應力，蘭姆波傳播過程中主要通過板表面垂直分量的位移將能量耗散至液體中，從而將聲能轉化成液滴的內能和動能。A0模態的離面位移占主導，易在板表面與面外介質產生能量耗散，因此傳遞給液滴的能量大；而S0模態的面內位移占主導，垂直分量小，能量主要在板內以水平方向傳播，在固-液界面的能量損耗很小，即傳遞給液滴的能量小。結合以上分析可判定，A0模態比S0模態具有更顯著的液滴驅動效果，為此應盡量選擇激發以A0模態為主導的蘭姆波。

2.4 蘭姆波的模態選擇

蘭姆波模態選擇的方法較多，在壓電振子給定的前提下，考慮采用壓電振子陣列的方法對蘭姆波的模態進行控制。基于上文建立的有限元二維模型，本文主要考慮線性排布的陣列，結構如圖10所示。其中，m為陣元的寬度，n為壓電振子的個數，l為陣元間隔。

圖10 線性陣列壓電振子結構圖

若要求該結構下激勵的蘭姆波取得最大幅值，蘭姆波的相速度要滿足以下條件：

cp=l×f=k×fd

(19)

式中k=l/d。繪制蘭姆波在板中的相速度頻散曲線如圖11所示。圖中，斜率k是該線陣結構的激勵線，與相速度頻散曲線有一系列交點。這些交點為在對應頻厚積下所能激勵出的蘭姆波主模態，此時陣元間隔l等于主模態的波長λ。

圖11 線性陣列壓電振子相速度頻散曲線圖

綜上分析可知，在該結構下可通過兩種方法選擇蘭姆波的主模態。當l取一定值，d保持不變，k固定，此時可通過改變激發頻率的方法選擇對應的主模態。在頻厚積確定的情況下，可通過改變l的方法選擇不同的主模態。

本文由于已確定壓電振子的諧振頻率(即激發頻率)，為此采用改變壓電振子間隔的方法來實現模態選擇。已知被測平板的厚度2d=2 mm，激勵壓電振子的中心頻率為850 kHz，則可得頻厚積fd=0.85 MHz·mm。結合相速度頻散曲線，可得在該頻厚積下分別激發A0模態比S0模態所對應的激勵線k1和k2，如圖12所示。由此可知，選擇A0模態時所需陣元間隔為2.84 mm，選擇S0模態時所需陣元間隔為7.04 mm。

圖12 線性陣列壓電振子激勵線圖

運用COMSOL Multiphysics仿真軟件的域點探針功能，在平板表面添加探針(見圖3)，記錄探針在y分量上的位移信號，并對位移幅值進行歸一化處理。圖13為l=2.84 mm時記錄的位移場。圖14為l=7.04 mm時記錄的位移場。由圖可看出，在2次記錄的位移曲線中都出現了2個波包。結合圖9可知，在頻厚積為0.85 MHz·mm時，S0模態群速度比A0模態群速度快，則第一個被接收到的波包信號為S0模態，第二個波包為A0模態。由圖13可看出，S0模態波包幅值比A0模態波包幅值大，此時平板中蘭姆波以S0模態為主導，A0模態被抑制。同理可知，由圖14可看出，平板中蘭姆波以A0模態為主導，S0模態被抑制。這與最初選擇的結果一致，證明可采用改變陣元間隔的方法控制蘭姆波的激勵模態。

圖13 l=2.84 mm時探針記錄的位移場幅值

圖14 l=7.04 mm時探針記錄的位移場幅值

3 實驗驗證

為驗證仿真結果，設計了主要由蘭姆波發生設備和觀測設備構成的實驗裝置，如圖15所示。使用直流穩壓電源(ATTEN APS3005S-3D)、信號發生器(RIGOL DG1022U)和自制放大電路向壓電振子(極化鋯鈦酸鉛陶瓷，規格為4 mm×2 mm×1 mm)施加激勵信號。通過移液器(Eppendorf，量程：10～100 μL)將微升體積的液滴置于玻璃基板上，并位于蘭姆波的傳播路徑中。最后用高速攝像機(Keyence VM-600C)記錄液滴的運動。其中，壓電振子以間隔l線性排布在基板表面，用環氧樹脂作為粘結層。

圖15 蘭姆波驅動液滴運動實驗平臺

對壓電振子施加電壓幅值100 V、中心頻率850 kHz激勵信號后，由高速攝像機記錄10 μL水滴的瞬態運動，如圖16所示。由圖可看出，液滴在蘭姆波作用下，氣-液自由界面出現了劇烈的振蕩變形，并突破阻力的作用在基板表面產生了位移。以液滴的中心為觀測點，液滴在0～0.2 s內產生位移為3 mm，在0.2～0.4 s內產生位移為8 mm。液滴在蘭姆波的驅動下沿著波傳播方向做加速運動，證明了該蘭姆波驅動模型用于清除車載傳感器表面液滴的可行性。

圖16 液滴在蘭姆波驅動下的運動過程

實驗中通過調整壓電振子的間隔l，分別在板中激發S0模態和A0模態占主導的蘭姆波，并記錄不同模態主導的蘭姆波驅動下液滴的位移曲線。以10次實驗數據平均值作為最終的實驗數據記錄，如圖17所示。由圖可看出，在以A0模態主導的蘭姆波作用下，液滴具有更快的位移速度，即該模態主導下的蘭姆波對液滴的驅動效果更好，這與理論分析的結果一致。

圖17 S0、A0模態主導的蘭姆波驅動液滴的位移曲線

4 結論

本文基于蘭姆波微流控技術提出了一種利用壓電換能器激發蘭姆波來驅動液滴運動的裝置，并建立了壓電換能器和固體基板的二維有限元模型。通過仿真分析得到以下結論：

1) 對壓電振子進行特征模態分析，在前4階振動模態中第二階模態的結構相對位移遠大于其他模態。對前4階特征頻率范圍內進行掃頻分析，發現第二階模態特征頻率附近的導納最大，表現為壓電振子的諧振頻率?；谔m姆波激發理論，為獲得較大的蘭姆波波場，對蘭姆波施加的激勵信號頻率應處于其諧振頻率附近。

2) 蘭姆波在平板中傳播會出現明顯的頻散特性，不同模態的蘭姆波具有不同大小的離面位移場，A0模態的離面位移場占主導對液滴驅動效果較好。為此，提出了一種在不改變輸入頻率和功率的情況下提高液滴驅動效果的方法，即通過調整壓電陣列間隔選擇蘭姆波激發的模態為A0模態。

3) 通過壓電換能器激發蘭姆波來驅動液滴運動的實驗，驗證了該驅動模型用于傳感器表面除水的可行性，從而為該模型裝置應用于實踐提供了一定的理論依據。