分類討論思想在高中數學解題中的有效應用方法探究

唐 焱

(貴州師范大學附屬中學 貴州 貴陽 550001)

引言

在高校數學的課堂實踐中,分類討論的思路早已獲得了普遍的運用,分類討論的運用對提高數學課堂效果有很大的助益。這種教學思路是根據數學教學內容的特點和差異性,將數學知識點進行逐一劃分為不同的教學思路[1]。對于每個學生來說,可以用分類討論的思想來區分不能用同一個思路所解決的數學難題，讓每個人都能學會獨立學習和思考數學知識，鍛煉他們分析數學教學內容的能力、思維能力和解決問題的能力。隨著高中數學教學目標改革的不斷發展，運用分類討論的方法解決問題已成為當前教學發展的一種趨勢。分析分類討論思維在問題解決教學中的應用，旨在探索其最有效的應用模式，使其成為提高高中數學問題解決效率的重要途徑之一，進而提高學生對于分類討論思維模式的運用。這一教學理念在高中數學教學中的應用已成為當前高等院校教學模式研究的重點。

1.分類討論思想概論

1.1 分類思想的定義。對于數學結論，每個數學結論都有自己成立所必須的條件。對于數學的教學方法而言，不同問題的教學方法也有一定的適用范圍。在現在很多的數學問題中，其實是很難從問題的表面獲取直接結果的，而且很多時候一些問題的結論并不能被統一的形式所概括，然而如果一些未知的地方用字母來替代，或者已知的變量用字母代替就會讓整個數學問題變得更加容易理解。這幾方面的問題表明，如果將現有的一些問題進行有效的劃分和區別，并根據問題的實際需要將復雜而難理解的問題轉化成幾個比較小的問題來解決，這樣就可以讓難題迎刃而解。實際上，這種根據不同情況進行分類，然后逐一研究和解決的數學思想在專業術語上都被稱為分類討論的思想[2]。

1.2 分類標準。為了更好地對數學難題進行分類的前提，就是必須要掌握良好的分類方法進而遵守一定的分類規則，因為客觀事物在很多地方是存在緊密的聯系的，進而使對其進行分類過程中產生多種分類方式，然后我們根據不同事務的標準對其進行靈活的分類。一般而言，分類是一種非常客觀的事物，是一個從現象到本質的過程，并從表面逐漸深入。然而對數學本身的含義出發去聯系其更深層次的意義會讓學生在學習高中數學的過程中變得更加的容易。

2.高中數學教學過程中融入分類討論思想的優勢

2.1 降低學生學習難度。高中數學的內容本身其實是具有很大難度的，因為它不僅需要學生具備中小學時期所積累的數學知識作為基礎，還需要學生在學習基礎內容的同時增加一定的難度，這樣的學習模式可以讓學生在面對較難理解的問題時可以變得更加的自如。從現在很多的教學實踐中我們可以看到很多學生在面對一些比較難解決的問題時都會下意識的放棄思考，因為這樣的難題會讓他們逐漸失去學習的興趣，甚至放棄學習的目標。然而，在分類討論思維模式的幫助下，他們可以將數學問題從難化簡，進而在分類討論的模式過程中逐步找到解決難題最簡單的方法。這樣的解題模式可以極大的提高學生對于學習的自信心，也可以進一步的培養學生的數學思維和對于難點問題的解決能力，這樣的模式非常的有利于學生在未來數學學習中的發展[3]。

2.2 培養學生優良的學習習慣和解題能力。在學習過程中，學生養成良好的學習習慣和解決問題的能力，這對他們以后的數學學習非常重要。雖然一般的數學內容看似在不斷變化，但你會發現它其實就是簡單數學知識的綜合，只要用分類討論的思路去反映和理解答案，數學的題目和內容就被分解了,通過簡單的方法逐漸發現問題的本質，并隨著這種思維和學習方法的逐步擴散，可以讓學生養成良好的學習習慣，從而在以后的學習過程中，科學、靈活地運用該技巧，進而強化數學學習能力，進而達到教育目標。

3.高中數學解題中應用分類討論思想的重要性分析

3.1 調動學生的學習積極性，進而引導他們將分類討論思想應用到學習中。在高中數學教學實踐中，教師們所必須重視的,是要通過對自身教學方法的變革來調動學生對于數學的學習興趣,從而極大的充分地調動了學生對于進行數學學習的興趣與熱情。由于現階段很多學生對學習的欲望,大多源自于升學的壓力以及繁瑣的習題任務,所以教師在當前也都承擔了相同的壓力與課程的任務。也因此一旦教學方法枯燥乏味,就很容易使學生覺得疲勞,從而大大降低了教學的有效性。所以,不管從實現課堂任務的有效性,還是適應新課標變革的要求來看,在高中數學課堂實際中,教師們都應該充分引入相對應的問題分析和探究理念,以提高學習者們解題的實效性。同時,通過將這一思維方法滲透到課堂教學當中,也可以使學習者們充分地認識到這些解題思路及其應用的精彩之處。例如教師在介紹模塊序列中的有關知識點時,往往因為對這個知識點很難把握,很抽象。學生很難理解。如果在整個課堂過程中,老師能夠在課堂上很有意義地導入了分類討論的思路,對順序知識的有關話題加以說明,使有關知識點對學生而言更加直觀,使學生們可以高效地掌握其在數學難題中的正確使用,進而充分地調動了他們的學習積極性。這樣的課堂教學過程，不僅提高了教學效率，也達到了提高學生學習效果和質量的目的。

3.2 注意知識點的結合，化陌生為熟悉。數學是高年級學生最重要的學習科目之一，學習它不僅困難，而且還必須要能夠靈活地掌握相對應解決問題的思維模式，而且，為了防止知識的理論和概念發生重大變化，如果教師在學生接觸一個新主題知識之前需要對其進行稍作修改，這樣就可以更為合理的引入對知識的新理解，進而為學生能夠建立知識結構提供幫助，進而降低學生對于陌生知識的學習程度，這將使學生能夠在解決問題的過程中快速掌握新知識的關鍵要素。通過已經知道的知識和對已知數據和本課題條件之間的精確定位，就可以運用已知的知識來解決較難的數學問題[4]。

3.3 注重引導，真正掌握分類討論思想的要義。在高中數學教學實踐中，教師的角色是班級的“統帥”。所采用的教學方法將有效影響學生的學習質量和學習效率。所以,在課堂教學中,教師應合理利用分類討論的方式,運用相似的知識點指導學生認識和掌握課本中的知識點,并把所學知識點運用于現實的問題處理中,以便訓練學生運用分析和處理數學問題的能力,正確地發現數學問題的要點,從而得出問題的正確回答方法。在當前的課堂教學中,當出現典型問題時,老師也可引入分類討論的方式,讓學生合理利用這些方式學習一些問題,從而增進學生對此類問題處理思路的認識與把握,使學生通過切實地認識這種方式在解題過程中掌握了數學的基本意義。如此,學生就能夠完全了解數學知識的實質,從而可以了解同一知識點的解題的基本思路,并針對幾個不同類別的知識點，選擇合理的討論方式。

4.在高中數學教學中分類討論思想的有效應用

4.1 應用于函數問題的解題思路。函數問題是在數學學習過程中的一個難題,由于函數本來是一種可變特征,提高了學生解題的困難度[5]。當函數的取值改變時,相應的結論也就會改變。所以,當學生和老師在運用分類思維時,不但要對函數本身加以深入分析,而且還要對有關參數加以科學合理的探討,這將有利于學生和老師直接發現數學問題中的關鍵點,從而進一步提升了學生在數學題上的求解速度。所以,學生在探究用分類法思維處理函數問題的基本思路時,就必須重視對函數參數的分析探討等步驟,以便使學生對函數問題的各個方面都加以更深層次的探究,從而有效的改善了學生的解題思路與模式。

分類討論是一個重要的數學解思路，在高中數學研究過程中，運用分類思想解決問題，既可以幫助自己解決思維問題，又可以促進數學思維的發展，因此，在數學函數的學習中，能夠有效的利用分組討論解決問題是一種切實可行的方法，但在運用分類思想解決高中函數問題時，必須明確函數本身的不同定義和局限性，因此，必須根據函數的概念來討論函數的分類問題，以確保解決方案的準確性，例如，在解決“對數函數和指數函數”問題時，必須弄清對數函數的概念，“假設00且≠1,比較|loga(1-x)|和|loga(1+x)|的大小”，在考慮對該函數進行分類前先明確，什么是“對數函數”和“指數函數”的概念，它們之間的關系是什么，如何將指數函數轉換為對數函數，這樣就可以進一步討論范圍X，最終得到的答案。因此，在討論高中數學函數分類的解決方案時，學生必須根據功能概念考慮分類。

4.2 根據函數圖像進行分類討論。函數在中學功能的研究中，圖像的性質始終是一個不可分割的主題，它提出了圖像性質的問題，也成為近年來高校自主命題的熱點話題，在解決這類數學問題的，需要通過分類討論問題的思想來求解整個難題過程中的圖像，同時考慮對稱軸等關鍵信息，并通過確定對稱軸和圖像交叉點的位置進行討論，就能夠很高效地解決。例如,“在平面坐標系中,若曲線y2=2X,點a(a,0)是曲線上的一個移動點,從曲線點到點a的最近距離是f(a)。試著找出該函數的分解公式。”當解決這種函數問題時,人們首先要作的事便是在紙張上描繪草圖,并用分類探討澄清了a點和函數方程之間的關系,而同時,由于這個函數是基于x軸對稱的,在整個分類討論過程中,只有通過討論大于一或小于一的函數中的二個方面,人們才能確定最后的答案。由此,可以發現,分類討論是保證函數中全部問題都解決完成的關鍵方法,也因此可以有效防止更多求解困難和缺解問題的產生,而利用函數圖形進行分類探討又是解決高中數學函數分類探討問題的主要方法,而在這個過程中,,能否合理地繪制出相對應的圖形也是分類討論的前提條件。

4.3 概率中的應用。與初中相比，高中數學是一個新的篇章，對學生的數學思維提出了更高的要求。這就要求教師要注重引導學生教學，幫助學生掌握各種解決問題的思路和方法，提高學生學習的有效性。在概率問題中運用討論性思維是學生學習數學的重要途徑，可以引導學生的發散性思維。在這方面，它適用于概率數學的知識，即學生在解決問題時，應從實質性問題入手，結合層次思維進行理性分析，從而得出問題的算法。在這個過程中，教師首先要引導學生養成認真閱讀問題的習慣，并能結合已知條件對問題進行分類；二是運用分類思維對課題進行全面研究，完成一些假設性思維；最后，采用正確的分類方法得到問題的算法，從而強化解決問題的思路，得到正確的答案。通過在概率問題中運用問題解決的思想，不僅可以促進學生解決問題，而且可以增強學生的思維能力，從而有效地形成數學思維。

4.4 將分類討論思想應用于數列解題教學中。分類討論的思想是指高中數學解題時，一個任務可以包含不同的情境，學生要關注關鍵因素，明確變量的范圍和可能的發展趨勢，分析不同的情境，最后得出結果。數列作為高中數學教學的重要組成部分，在解題教學和訓練中具有豐富的討論思路，特別是對于一些數列循環題和與比例數列和有關的問題，使用分類討論法更為合適。例如，在數列問題中，教師可以對教學方式進行適當的調整，讓學生運用分類思想解決實際數學問題，加強對數值級數的理解和分類思想的應用。例如：假設等比序列中的公共比率是a，序列的前n項和Sn>0，其中n=1,2,3…，那么a的最終值范圍是什么？在這個問題中，問題中已知的條件沒有指定a的范圍，因此學生無法直接獲得有效信息。那么教師可以引導學生運用分類討論的思想，在回答問題的過程中充分考慮a=1和a≠1兩種不同的情況，從而確定a的最終取值范圍，學生可以運用發散思維來充分考慮序列問題中的各種可能性，這有利于保持數學學科的準確性。

4.5 將分類討論思想應用于不等式解題教學中。不等式也是高中數學教學的重要組成部分，能夠鍛煉學生的邏輯和計算思維，在高中生的學習中發揮著非常重要作用。如果教師能將分類討論的思想融入到不等式相關的問題中去，就能夠積極引導學生更有效、更準確地解決不等式相關的問題，進而有效的培養學生嚴謹的數學精神。因此，教師可以有意識地引導學生在問題解決教學中運用分類討論的思想。例如，在不等式相關問題的教學中，教師可能會問：“知道K/n，不等式的整數解集(m，N)是什么？”│ M│ N│ < K“，？在這種不等式的問題中，學生不能用常規的計算方法得出最終的結果，然而運用分類討論的思想可以有效的解決這一問題，老師可以讓學生以k為參數，進一步使用其他與k相關的參數時，當k分別被設置為1、3和4等不同的數時，得出相對應的結果，然后根據結果推導出對應的解題規律。

5.結束語

綜上所述，在現階段的高中數學中還存在著非常多學生一時半會難以理解的難題和知識點，學生在處理這類問題時必然會遇到難處，因此我們高中的數學教育改革需要做出相對應的調整。隨著我國高中數學新課程改革的不斷深入，如何讓問題最好的得到解決也成為了高中數學教學改革中的重要組成部分。在高中數學問題處理過程中合理使用分類討論法,一方面有助于提升問題處理的速度與準確率,另一方面還可以提高學生對數學課程的學習積極性。所以對于現階段的高中數學教師應當充分意識到實施分類討論思想的重要性，并將這樣的解題思想和數學的難題進行緊密的聯系，從而讓學生能夠形成自己的解題模式，進而有效的提高數學解題素養。