考慮剪力滯的波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁內力求解方法

楊美良,袁以鑫,鐘揚,樊林杰,劉陽帆

（1. 長沙理工大學 土木工程學院，長沙 410114；2. 湖南機場建設指揮部，長沙 410114）

近年來，波形鋼腹板箱梁因具有自重小、可以提高底板的有效預應力等優(yōu)勢正不斷地被應用到實際工程中。然而，現在關于波形鋼腹板箱梁的研究工作大多圍繞直線梁，對曲線梁的研究仍然存在很大不足。仝波等[1]推導了波形鋼腹板曲線箱梁（CCBG(CSWs)）的彎扭耦合計算公式，并得到了CCBG(CSWs)簡支結構的簡化求解公式；楊丙文等[2]基于力法對在恒載和活載作用下的三跨等截面連續(xù)波形鋼腹板曲線箱梁進行研究，得到了波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的邊中跨合理比值；田寶升[3]依據烏曼斯基縱向翹曲位移理論，考慮曲梁彎扭耦合影響，推導了CCBG(CSWs)簡支結構的約束扭轉控制微分方程；杜勛[4]通過能量法得到了CCBG(CSWs)簡支結構的約束扭轉微分方程，并依據伽遼金法得到該方程的求解解析式，最后通過力法提出了多跨波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的受力求解方法；劉蓓[5]基于能量變分法，考慮剪力滯、彎扭耦合以及剪切畸變等影響推導了彈性階段CCBG(CSWs)簡支結構的約束扭轉控制微分方程。在對CCBG(CSWs)簡支結構的橫截面翼板縱向位移分析中，已有研究要么忽略了剪滯效應引起的翹曲位移[4]，要么在豎向彎曲位移中忽略了豎向剪力產生的剪切變形影響[5-6]；而對于波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的研究均未考慮剪力滯的影響，且在內力分析求解過程中還是基于傳統(tǒng)力學方法，給計算帶來極大不便。筆者基于文獻[4-7]和能量法對CCBG(CSWs)一次簡支超靜定結構的約束扭轉微分方程進行補充修正，結合三彎矩法,運用該微分方程對某三跨等截面波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁進行受力性能研究，構建有限元模型檢驗理論的適用性，并將本文方法與曲桿結構力學法進行分析比較。

1 控制微分方程的建立

1.1 剪力滯引起的梁體應變能

假設CCBG(CSWs)的豎向撓度為ω，豎向剪力引起的剪切變形為θ，則橫截面的縱向位移函數μ可表示為[5,7]

式中：x軸沿橋縱向；y軸沿橋橫向；z軸沿橋豎向。

根據式(1)縱向位移函數，可得截面的彈性應變

式中：zi為梁橫截面形心距頂底板形心的間距；δ為翼緣板剪切轉角的最大差值；Ψ為截面的扭轉角；R為曲線半徑；?為剪滯翹曲位移函數[5]。

結合文獻[6,8-9]，由剪力滯引起的梁體應變能Wq為

1.2 其他應變能

根據文獻[4,10]，約束扭轉翹曲應變能Wω為

根據文獻[4,7]，腹板剪切應變能Wf為

根據文獻[4,10-11]，約束扭轉剪切應變能WT為

考慮到畸變引起的變形不參與到CCBG(CSWs)的內力求解，并且畸變引起的變形與上述5種變形相互獨立。因此，在對波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的內力求解中不考慮畸變產生的影響。

1.3 外荷載勢能

外荷載勢能W外可表示為

式中：q、m分別為豎向分布荷載和豎向分布扭矩。

1.4 總勢能

根據文獻[4-5]，結構的總勢能可表示為

1.5 補充修正的約束扭轉控制微分方程

由最小勢能原理可知：彈性體在外力作用下結構實際產生的變形是系統(tǒng)總勢能變分為零，即ΔW=0?？赏频醚a充修正的CCBG(CSWs)一次簡支超靜定結構的控制微分方程為

式中：Ec、Gc分別為混凝土的彈性模量和剪切模量；As為波形鋼腹板橫截面面積；Au為箱梁翼板剪滯翹曲面積；Iω為廣義扇形慣性矩；Iy為箱梁橫斷面對y軸的慣性矩；I1、I2分別為翼板剪滯翹曲慣性積和翼板剪滯翹曲慣性矩；Id、Iρ分別為箱梁截面抗扭慣性矩和極慣性矩；β為扭轉翹曲廣義位移；θ為波形鋼腹板剪應變；q、m分別為豎向分布荷載和分布扭矩。Ge為波形鋼腹板有效剪切模量為波形鋼腹板實際剪切模量；a、b、α為波形鋼腹板的幾何參數[12-14]，如圖1所示。

圖1 波形鋼腹板示意圖Fig. 1 Sketch of corrugated steel webs

通過伽遼金法[4,15]對約束扭轉控制微分方程求解。假設各未知位移及應變的函數為

荷載q和m可表示為

式中：l為簡支波形鋼腹板曲線梁跨徑分別為豎向荷載系數和豎向扭矩系數。

把式（10）、式（11）代到式（9）中，再利用MatLab進行求解，便可求得各未知變量。進而可求得CCBG(CSWs)一次簡支超靜定結構任意截面的內力。

2 連續(xù)曲線箱梁內力求解

采用多跨連續(xù)波形鋼腹板曲線箱梁的支座全部為抗扭支座，圖2為多跨連續(xù)平面曲線梁原結構。為了減少贅余力的個數，將波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁在各墩墩頂支點處切開，而各墩支座仍維持抗扭簡支固定，將多孔的CCBG(CSWs)一次簡支超靜定結構作為基本結構，見圖3。

圖2 原結構Fig. 2 Original structure

圖3 基本結構Fig. 3 Basic structure

為了使變換后的結構與原結構的變形最終能保持一致，在切分處的梁端變形必須能滿足變形協調條件，從而便求出各支點橫斷面的贅余彎矩。根據力法原理，取一次簡支超靜定曲線箱梁作為基本體系，且考慮到每個基本結構的單位彎矩只對相鄰梁跨的內力有影響，因此，每個典型方程都只包含3個贅余彎矩，所得典型方程為[16]

式中：δii、Δip分別為在單位荷載和已知外荷載作用下基本結構產生的位移，可通過式（13）求得。

進而再通過疊加原理便可計算出各橋跨內所有橫斷面的內力。從典型方程可以看出，與文獻[4]的傳統(tǒng)力法相比，采用三彎矩法求解波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的內力不但減少了未知荷載的數量，而且每個典型方程的柔度系數都只有3個，大大減少了計算工作量，也保證了計算過程中的準確性。

3 算例分析

3.1 有限元模型

將某三跨等截面波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁作為算例進行分析。該橋跨徑為（35 m+50 m+35 m），中軸線在半徑為110 m的圓曲線上?；炷另數装鍨镃60混凝土。波形鋼腹板為Q345C型鋼材，1600型波形。其中，波高22 cm，腹板厚12 mm，直板段寬a=43 cm，斜板段水平寬b=37 cm。箱梁橫斷面的具體尺寸可見圖4。在建模和理論計算時，采用將橫截面高度取平均值簡化為等高度的截面形式，混凝土頂、底板按照面積相等的原則等效為等厚度的截面，換算可得頂、底厚度皆為t=0.3 m。換算后的截面尺寸如圖5所示。

圖4 箱梁截面實際尺寸圖（單位：cm）Fig. 4 Actual size drawing of box girder section（Unit:cm）

圖5 箱梁截面簡化尺寸圖（單位：cm）Fig. 5 Simplified size drawing of box girder section（Unit:cm）

為了檢驗方法的適用性，利用Ansys構建算例模型。頂、底板和橫隔板選用Solid45號實體單元，其中橫隔板只在橋梁兩端設置；鋼腹板選用Shell93號殼單元。兩種單元在連接處使用同一個節(jié)點，不管二者間的相對滑移。邊界約束條件為：最左端兩個 支 點 為ux、uy、uz和roty，其 余 支 點 為ux、uz和roty。建立的模型如圖6所示。

圖6 波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁有限元模型Fig. 6 Finite element model of continuous curved box girder with corrugated steel webs

3.2 剪滯效應和剪切變形對CCBG(CSWs)簡支結構的影響

取算例的50 m主跨作為CCBG(CSWs)一次簡支超靜定結構的模型。選用公路-I級車道荷載進行加載。均布荷載為10.5 kN/m，布置于全橋；集中荷載為360 kN，布置于跨中位置處。通過將曲桿結構力學法所求內力數據及微分方程、在忽略剪滯效應和剪切變形的情況下所求內力數據以及微分方程、在考慮剪滯效應和剪切變形的情況下所求內力數據與有限元所求內力數據比較，結果見圖7。

從圖7（a）可以看出：微分方程在考慮剪滯效應和剪切變形的情況下所求彎矩結果除了在跨中中點處與有限元所求彎矩結果差別較大以外，在整個橋跨內，與另外兩種計算方法相比，所求彎矩結果更加接近有限元所求彎矩結果；并且微分方程在忽略剪滯效應和剪切變形的情況下所求彎矩結果與有限元所求彎矩結果差別最大。從圖7（b）可以看出：在整個橋跨范圍內，除了曲桿結構力學法所求扭矩結果在部分橋段內與有限元所求扭矩結果相差比較明顯以外，其余橋段內，三者所求扭矩結果幾乎一致。從圖7（c）可以看出：在整個橋跨范圍內，盡管微分方程在考慮剪滯效應和剪切變形的情況下所求剪力結果與有限元所求剪力結果差值百分比起伏比較大，但二者的剪力結果非常接近，并且3種理論所求剪力結果都與有限元所求剪力結果非常接近。

由圖7可知，剪滯效應和剪切變形對CCBG(CSWs)簡支結構的彎矩具有比較明顯的影響，但對于扭矩和剪力產生的影響比較??；對于CCBG(CSWs)簡支結構，運用補充修正的微分方程進行內力求解具有較高的精確度。

圖7 CCBG(CSWs)簡支結構內力比較Fig. 7 Comparison of internal forces of CCBG(CSWs) simply supported structures

3.3 剪滯效應和剪切變形對三跨等截面波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的影響

選用公路-I級車道荷載進行加載。均布載荷為10.5 kN/m，只布置于中跨；集中載荷為360 kN，布置于中跨跨中。為了檢驗該方法的適用性，采用該方法和曲桿結構力學法對某波形鋼腹板三跨等截面連續(xù)曲線箱梁進行內力求解，并采用MatLab編程對理論進行計算，最后將曲桿結構力學法的內力計算結果、該方法的內力計算結果分別與有限元的內力計算結果進行對比分析；忽略剪滯效應和剪切變形影響將，采用該方法所求內力計算結果與有限元所求內力計算結果進行對比分析。所得內力差值百分比見圖8。

從圖8（a）可以看出：在整個橋跨范圍內，與曲桿結構力學法所得彎矩結果相比，該方法所得彎矩結果更加接近于有限元模型所得彎矩結果；從圖8（b）、（c）可以看出：在中跨范圍內，與該方法所得扭矩和剪力結果相比，曲桿結構力學法所得扭矩和剪力結果更加接近于有限元模型所得扭矩和剪力結果，而在邊跨范圍內，正好相反。由圖8可以看出，在整個橋跨范圍內，與曲桿結構力學法所得內力結果相比，該方法所得內力結果更加接近于有限元所得內力結果。說明考慮剪滯效應和剪切變形影響，采用該方法對波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁的內力求解具有更好的適用性和更高的準確性。

從圖8也可以發(fā)現：在整個橋跨范圍內，忽略剪滯效應和剪切變形的影響，采用該方法所求內力結果與曲桿結構力學法所求內力結果非常接近，表明在進行實際橋梁結構理論受力分析計算時，需要考慮剪力滯和剪切變形引起的結構變化。

圖8 三跨波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁內力比較Fig. 8 Comparison of internal forces of three-span continuous curved box girder with corrugated steel webs

通過以上分析可以發(fā)現：考慮剪滯效應和剪切變形的影響，該方法所求簡支和三跨波形鋼腹板曲線箱梁內力結果都與有限元所求內力結果最為接近；而忽略剪力滯和剪切變形的影響時，該方法所求內力結果與曲桿結構力學法所求內力結果非常接近。以上結論表明：考慮剪滯效應和剪切變形影響，該方法對CCBG(CSWs)內力求解具有更高的精確性和更好的適用性。

4 結論

1）通過分別對比曲桿結構力學法、考慮剪滯效應和剪切變形影響、不考慮剪滯效應和剪切變形影響所求CCBG(CSWs)簡支結構內力結果與有限元所求CCBG(CSWs)簡支結構內力結果可知：剪滯效應和剪切變形對CCBG(CSWs)簡支結構的彎矩具有比較明顯的影響，而對于扭矩和剪力的影響比較小。

2）通過對比該方法、曲桿結構力學法與有限元三者所求某三跨等截面波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁所求內力結果可知：考慮剪滯效應和剪切變形的影響，將推導的CCBG(CSWs)一次簡支超靜定結構約束扭轉微分方程，結合三彎矩法求解波形鋼腹板連續(xù)曲線箱梁內力具有更好的適用性和準確性。

3）剪力滯效應和剪切變形對CCBG(CSWs)的內力存在著一定的影響，且對于多跨CCBG(CSWs)結構內力的影響更加明顯。