“頻率”與“概率”是一回事嗎？

文／張衛明

在實際生活中，我們常用隨機事件的頻率去估計該事件的概率。那么，頻率與概率是一回事嗎？為什么可以用頻率估計概率？如何用頻率估計概率？頻率和概率雖然是兩個不同的概念，但二者既有區別又有聯系。下面，我們從兩個方面進行分析，來幫助同學們厘清頻率與概率的關系。

一、頻率與概率的區別

頻率是指在試驗中，某個對象出現的次數（即頻數）與試驗總次數的比值。頻率在試驗之前是不能確定的，它隨著試驗次數的變化而變化，即便兩次重復試驗的次數相同，隨機事件出現的次數也可能不同，頻率也就可能不同。因此，頻率是一個隨著試驗次數的增加可能發生變化的統計量，它是不確定的。

概率是指一個事件發生的可能性大小的數值。概率是隨機事件自身的屬性，是對隨機事件發生的可能性大小的度量。一個隨機事件發生的概率是由隨機事件自身決定的，并且是先于試驗而客觀存在的，它不會因為試驗次數的變化而發生變化。比如，拋擲一枚質地均勻的硬幣，出現正面朝上的概率是0.5，與做不做試驗或做多少次試驗都無關。

二、頻率與概率的聯系

初學概率的同學可能會產生困擾：概率是什么？是一個精確的數，還是一個近似的數？事實上，一個隨機事件的發生既有隨機性（對單次試驗來說），又存在統計規律性（對大量重復試驗來說），是偶然性與必然性的統一。隨機事件的統計規律表現在：隨機事件的頻率會隨著試驗次數的變化而變化，但在大量的重復試驗中，隨機事件發生的頻率會在某一個常數附近擺動，而且，試驗次數越多，擺動越小，并且頻率會趨于穩定。這個性質就是頻率的穩定性。在實際中，當概率不易求出時，人們常常取試驗次數很大時的事件的頻率作為概率的估計值。試驗次數越多，頻率與概率就越接近，因此，概率可以通過頻率來“測量”。

對于概率可以通過頻率來“測量”，我們要明確兩點：

首先，頻率穩定于概率這個結論是對于在相同的條件下，大量重復試驗而言的。如果在試驗次數不多的條件下，用頻率估計概率是不可取的。

比如，在拋擲硬幣的試驗中，拋擲一枚質地均勻的硬幣50次，正面朝上的有20次，則正面朝上的頻率是0.4，于是就認為正面朝上的概率大約為0.4。這樣的結論我們肯定不認同，因為誤差太大了。如果我們不斷增加試驗的次數，就會得到不同的結果，而這個結果也會越來越接近這個事件的理論值0.5。因此，頻率穩定于概率是對于大量重復試驗而言的。

其次，雖然大量重復試驗后，一個事件的頻率會穩定于它的概率，但頻率并不等同于概率，它只是概率的一個近似值。

比如，拋擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上的概率是0.5，但人們在做拋擲硬幣的試驗時，并不能保證硬幣正面朝上的次數是試驗總次數的一半。事實上，在試驗次數很多時，正面朝上的頻率只是接近0.5。當然，這與我們在實際中用頻率去估計概率并不矛盾，就像測量一根木棒的長度一樣。木棒有其客觀存在的“真實長度”，但在實際中，我們測量時，必定會存在誤差。因此，我們用工具測得的木棒長度，總是穩定在木棒“真實長度”的附近，很難得到木棒的“真實長度”。這里測量得到的數值與木棒的“真實長度”的關系就像頻率與概率的關系一樣。

對同學們來說，概率是一種新的數學觀念。概率中的數學方法和其他確定性數學方法一樣，也是一種科學的方法，它能夠有效地解決現實世界中的眾多問題，能夠反映概率的思維方式與確定性思維的差異。

在我們的日常生活和科學研究中，概率都有著廣泛的應用，用頻率估計概率只是求概率的常用方法之一。希望這篇文章能幫助同學們撥開云霧，為今后的概率學習以及在生活中運用頻率和概率解決問題打下基礎。