數學現實原則對培養小學生模型思想的教學啟示

劉蕊 王威 （哈爾濱師范大學教育科學學院）

模型思想是《義務教育數學課程標準（2011 年版）》（以下簡稱“新課標”）修訂時新增的核心詞，其中的闡釋是模型思想地建立及學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。小學階段所研究的模型思想是根據現實生活中遇到的問題情境，進行抽象的過程，通過建立數學模型以及運用數學模型解決同類問題的意識與方法。現階段培養小學生模型思想仍存在一些現實問題，如教師教學方法單一、難以連接學生的生活經驗和數學現實引導學生主動構建數學模型；學生模型意識淡薄、應用數學模型能力不強等。基于數學現實原則，一方面有利于教師根據學生的數學現實在課堂中創設真實情境滲透模型思想，提高學生利用數學模型解決實際問題的能力；另一方面，有利于學生體會到數學與現實世界的緊密聯系，感受數學在生活中的魅力。

我國早在19 世紀末已經有了對高等教育領域模型思想地研究。經過多年對模型思想地實踐研究，模型思想逐漸深入小學教學的教學領域，研究目的主要為促進一線教師重視教學中的建模過程，培養學生的數學思維。目前，對于小學階段模型思想地研究和認知相對比較匱乏，教師教育理念陳舊，教師注重建模結果忽視建模過程。因此，教師在課堂上高效滲透模型思想還有很大的發展空間 。

一、基于數學現實原則探討小學數學教學中培養學生模型思想的價值

弗萊登塔爾是20 世紀數學教育領域最偉大的教育家之一， 他的數學教育思想為我國課程改革帶來了新的思路。弗氏數學教育理論中的數學現實原則主張數學源于生活，存在于生活并應用于生活，每個學生在不同階段都有不一樣的數學現實。學生的數學現實即兒童在以往的生活與學習中所掌握的與數學知識結構相關的認知經驗、邏輯思考方式、解決問題的策略等。在數學教學中，不能將數學教學與現實生活相割裂，脫離了現實生活的數學教學是無趣的、抽象的、機械的。不能將數學教學與學生已有的數學現實相割裂，脫離了學生數學現實的數學教學不易被學生理解與接受。數學模型通過數學的語言符號和方法來描述現實世界，構建了數學與現實的橋梁，借助數學模型有助于數學教學回歸現實生活。

同樣在新課標中明確提出鼓勵學生主動發現生活情境中的數學問題并抽象成為特定的數學模型、主動對數學模型進行檢驗與應用。這一過程加深了學生對數學模型的理解，增強學生學習數學的積極情感體驗。新課標與數學現實原則相契合，充分體現了模型思想的重要性。數學模型與學生的生活經驗、數學現實緊密相關，在數學教學中走出書本，走進學生的生活現實、數學現實有助于培養學生的模型思想，發展學生的數學思維，提高學生應用數學模型解決實際問題的能力。

二、小學數學教學中培養學生模型思想存在的問題

（一）教師注重書本教學，忽視學生數學現實

教學中，小學生數學模型思想地滲透與培養主要源于課本教材，是經過專家學者精心設計好的數學問題，學生建立模型思想的過程也是被動接受的過程。弗萊登塔爾在《數學教育再探》一書中提出，教師講授現成的數學知識是違反教法的，自然界或現實生活中的問題情境的數學思想、數學問題不應該由教科書的作者或者教師來示范說明，而應該留給學生去發現、探索與體驗。培養小學生的數學模型思想不能脫離于學生已有的數學現實，目前小學數學教學過程中以教材為主，忽視學生的數學現實，易使學生失去學習數學的樂趣與探究數學模型的興趣。

（二）學生缺少現實生活經驗，難以主動建構數學模型

小學數學是日常生活的一部分，廣闊的生活中蘊含著豐富的數學知識，弗萊登塔爾指出數學教學要與學生的現實生活經驗緊密地聯系在一起。現實生活中的問題往往包含了很多復雜的因素且解決問題的辦法是多種多樣的，而在傳統數學教學中，學生解決的是經過專家、教材編者精心設計的有固定答案的問題而并不是現實中的真實問題。自然中蘊含著豐富有趣的數學知識，如螞蟻在搬運食物的過程中總能找到最短的路線；丹頂鶴成群結隊遷徙時，排成的人字形角度是固定不變的。給予學生更多機會接觸大自然，增加學生的現實生活經驗有利于師生在教學過程中回歸現實，化抽象為具體，讓學生更容易理解數學概念，逐步培養學生的數學興趣，探索自然界中的數學模型。同樣，基于生活經驗培養學生的模型思維也是課程改革貫徹的思想路徑。

培養學生的模型思想需要教育者聯系學生的生活經驗，在學生的數學現實基礎上滲透。學生積極主動地建構數學模型思想需要有自己獨特的生活經驗以及與自然接觸后對問題地思考，讓學生體驗在生活中有趣而復雜的問題情境，在問題情境中從多角度發現數學問題，將數學問題經過思考再次加工提煉出數學模型，并對自己頭腦中所創建的數學模型進行進一步地驗證與運用。生活經驗的缺失容易使學生逐漸失去接觸現實生活的機會、探索數學問題的樂趣、體驗解決數學問題的過程，因此學生很難主動建構數學模型。

（三）教師創設建模情境脫離學生生活實際，滲透模型思想效果不佳

模型思想是數學基本思想之一，小學階段的數學模型是為解決現實生活中的問題而建立的數學概念、公式、定義、法則等。一些小學教師認為模型思想是高深的、抽象的，需要復雜的現實情境與條件，包含廣泛的數學綜合知識，小學階段學生的水平難以汲取其思想內核。事實上，部分教師未能深入理解模型思想的內涵，在教學中進行模型思想地滲透時，創設建模情境遠遠脫離于學生生活實際，難以調動學生主動構建數學模型的積極性。盡管一些教師會根據教材內容創設情境，滲透內容背后的模型思想，但數學建模的過程僅僅是對數學模型的生搬硬套，而非引導學生積極表達、思考與解決問題。教學中，教師應準確把握教材內容背后的模型思想，合理創設貼近學生現實生活的問題情境，設計有趣地實踐活動，引導學生積極主動地參與建模過程，潛移默化地向學生滲透模型思想。

三、數學現實原則對培養小學生模型思想的教學啟示

（一）引導學生基于個體經驗體會數學發現

數學源于生活，生活中蘊含著豐富的知識，數學現實原則主張教師在進行教學時不能停留于書本而應該帶領學生感受大自然與美好的生活，將數學教學與生活實際聯系在一起，提高學生發現生活中數學模型的能力。

案例1：認識人民幣是人教版一年級下冊的教學內容，教師可以充分利用學生在生活中的購物經驗，將這一節課程設計成為實踐活動，讓學生在真實的購物活動中，了解各類商品的價格，認識元、角、分之間的進率關系。教師在設計實踐活動時留給學生一定的時間和空間，讓學生成為課堂真正的主人，教師在課堂中扮演組織者與引導者的角色。教師可以聯系學生生活中的購物經驗，盡量多地為學生提供實踐與合作交流的機會，使每一名學生都能參與到認幣、換幣的活動中并在活動中得到充分展示，在感受購物活動樂趣的同時使學生認識人民幣。

在模擬真實生活情境中進行模型思想地滲透，有利于學生運用模型解決簡單的實際問題，培養學生在生活中發現數學模型的能力，增加學生的數學現實，有利于學生在生活情境中主動地提取出數學模型。引導學生在現實生活中善于發現數學模型、感受數學模型，雖然不能起到立竿見影的效果，但對于學生模型思想與數學思維的長遠發展是大有裨益的。

（二）創設教學情境理解數學模型

數學具有抽象性，許多學生認為數學是有難度的,尤其是低年級的學生，思維以具體形象思維為主，逐步向抽象思維過渡，這一階段的思維仍然依賴于學生在生活中的直接經驗。學生不依賴于具體的事物與實物，難以感受具象化數學。因此，在教學中如何能使學生感受到數學的魅力是值得教師思考的。數學現實原則主張數學必扎根于生活，要將數學教學與學生的現實生活緊密聯系在一起，相比于教師對書本知識的講解，創設貼近學生生活的教學情境，更容易調動學生學習數學的熱情。教師在設計課堂活動時應投其所好，更多地考慮這一階段學生思維特征與興趣愛好，幫助學生深入理解數學模型。

案例2：“鴿巢問題”是人教版數學六年級下冊的內容，這部分內容是教學中的難點。很多教師的教學急于求證“鴿巢問題”的結論，忽視了創設真實的教學情境，未能連接學生的數學現實，學生難以解決“鴿巢原理”的變式問題。教學中，教師可以首先創設“搶凳子”的游戲激發學生的興趣；其次設計課堂活動，讓學生動手操作并討論4 支鉛筆放進3 個文具盒的情況；再次引導學生深入探究，回顧反思，建構“鴿巢原理”模型；最后應用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題。這樣的課堂設計重在接近學生的現實生活，使學生經歷從生活情境中抽象出“鴿巢原理”的過程，深入理解“鴿巢原理”的模型思想，會用“鴿巢原理”解決簡單的實際問題；通過對“鴿巢原理”的問題變式，提高學生應用“鴿巢原理”數學模型的能力，使學生感受到數學模型與生活是息息相關的。

在身心愉悅的課堂氛圍中，通過創設游戲為滲透“鴿巢原理”這一數學模型做鋪墊，教師充分調動學生的求知欲，因地制宜巧妙地設計課堂游戲活動，對學生滲透模型思想有著潤物細無聲的作用。積極創設真實情境，在增強學生課堂體驗感的同時也為學生搭建增強數學現實的平臺。在模擬現實生活情境中抽象出數學模型，培養學生在生活中主動去建構數學模型的意識，發現現實情境中的問題及數學變量及關系，再從學生已有的知識背景、現實經驗中出發，發展學生的模型思想。這需要教師精心緊湊地設計每一環的教學活動，創設貼近學生生活的真實情境，激發學生主動探索現實世界與數學世界的聯系，最終主動建構自己對于數學模型的理解。

（三）根據學生現有水平選擇數學模型解決策略

學生的數學現實是從以往的學習生活中抽象出來的數學知識、數學方法以及數學思維與經驗的總和。基于學生已有的數學背景與經驗，教師要引導學生獨立思考，對數學知識進行分析、檢驗和判斷，主動建構對模型思想地理解。在小學數學教學中，教師滲透模型思想的效果最終體現于學生對于數學模型的應用能力。從多種角度去探索數學問題的本質有利于學生從不同角度深入理解數學模型，激發學生對數學模型進行轉換與再創造的興趣，提高學生的數學模型應用的能力。因此，在課堂上基于學生數學現實，發展學生的模型思想，使學生在問題解決的過程中尋求多種方法與策略是必不可少的環節。

案例3：“雞兔同籠”是人教版數學四年級下冊的教學內容，這一問題既是數學趣題也是教學中的難題。在雞兔同籠的教學設計中，教師讓學生在問題解決中經歷從猜測到熟悉的列表法，再到“假設法”探究“雞兔同籠”問題過程，最終引出列方程解決“雞兔同籠”問題方法。基于學生數學現實，逐步探索問題解決的不同方法，感受解決問題的策略和方法的多樣化，最終使學生熟練掌握“雞兔同籠”的數學模型。

基于學生數學現實探討解決問題的多種方法，啟發學生在觀察、猜測中提出新思路、在驗證與推理后提出新設想，注重一題多解，重視多解歸一，使學生深入掌握數學模型的同時訓練學生思維的廣闊性和靈活性，不斷推動學生發展認知策略與模型思想。

（四）建立數學模型解決實際問題

弗萊登塔爾認為生活為數學教育提供了豐富的背景，現實生活緊密包含了數學中的各個要素，數學源于生活必然要回歸生活、應用于生活以解決實際生活中的問題。數學教學如果脫離了那些多姿多彩而又錯綜相連的現實問題必將成為“無根之木”。數學必扎根于生活，實施現實原則的關鍵是讓學生接觸現實中的實際問題、提取出數學問題，主動思考如何解決這一問題，總結方法并能提煉數學模型，遇到問題能主動應用數學模型，提高學生利用數學模型解決非刻板化的、靈活的現實問題的能力。

案例4：“植樹問題”是人教版數學五年級上冊的教學內容，這一內容的教學目標主要是滲透植樹問題的思想方法，教師在教學中設計學生常見的生活中的問題，通過畫線段圖，使學生主動探索植樹規律，提取植樹模型，再用探索到的植樹模型解決生活中常見的實際問題。

數學應用于生活，教師應善于將模型思想與生活中的實際問題聯系起來，結合具體的事例進行數學模型思想地滲透。教師應意識到培養學生的數學模型思想是為了提高學生解決實際生活中的復雜問題，而不是有準確答案的虛擬問題。生活中的問題包含了許多小學生可以嘗試探索的數學模型，教師要善于將真實問題情境遷移到課堂當中，培養學生在實際生活中主動探索與應用數學模型的意識。

弗氏數學教學思想中數學現實原則充分重視了學生在教學中的主體地位。根據學生數學現實，教師應精心設計貼近學生生活的教學探究活動，讓學生在生活情境中仔細觀察、合理猜測驗證和解決問題的過程中建構數學模型；根據學生的現實經驗引導學生在生活中善于發現數學模型、利用數學模型解決實際生活中的問題。總之，基于數學現實原則培養小學生模型思想，可以發展學生數學思維，促進學生全面發展。