一類半線性橢圓型方程Dirichlet問題解的存在性

周 冉, 韋玉程

(1. 吉林大學 數學學院, 長春 130012; 2. 河池學院 數理學院, 廣西 宜州 546300)

0 引 言

非線性問題解的存在性可等價轉化為適合映射的不動點或適當變分、 半變分問題臨界點的存在性, 而變分法是研究橢圓型方程解存在性的有效方法之一, 也是微分方程理論的重要組成部分. 變分法的主要思想是將微分方程解的存在性轉化為對應泛函臨界點的存在性, 通常涉及兩方面選擇: 函數空間的選擇和能量泛函的選擇. 對于函數空間, 具有緊性或能緊嵌入到某類具有較好性質的可積空間(如L2或Lp空間)為最佳; 對于能量泛函, 一般要求是適定的, 且具有盡可能高的正則性. 但在實際應用中這些條件通常很難滿足. Moameni[1]在研究非凸自對偶Lagrange算子導出的向量場及發展方程時, 提出了一種新的變分原理, 該變分原理可較靈活地處理勢函數問題; Moameni[2-3]用這種新的變分原理, 研究了不具有弱緊性結構的凸變分問題, 得到一些具有超臨界增長的橢圓對稱邊值問題解的存在性； Cowan等[4]用該變分原理研究了超臨界Neumann問題解的存在性； Moameni[5]對該變分原理進行了抽象概括, 并應用于一些超臨界增長的微分方程解的存在性研究中. 該理論允許將臨界點理論應用于給定Banach空間的閉真子集, 并在閉子集上找到臨界點, 從而得到關于整個空間的臨界點. 將該新的變分原理與經典非線性方法相結合, 可解決一些經典變分原理不能處理的具有變分結構的非線性問題.

本文考慮如下具有超臨界增長非線性項的半線性橢圓方程Dirchlet問題:

(1)

其中Ω?n是有界開集,f:Ω×→是Carathéodory函數. 對方程(1)的研究目前已有很多結果, 人們利用極小化方法、 山路引理、 Morse理論、 環繞等變分法[6-11], 以及拓撲度理論、 上下解方法、 不動點定理等拓撲方法[12-14]對方程(1)解的存在性、 多重性等進行了一系列研究, 但這些成果大多數針對非線性項f是次臨界的情形.對于超臨界的情形, 用變分原理進行研究的結果目前文獻報道較少.本文在假設f具有超臨界增長的條件下, 用Moameni[1]提出的變分原理, 證明問題(1)解的存在性.

1 預備知識與主要結果

設V是實Banach空間,Ψ:V→(-∞,+∞]是一個真、 凸且下半連續函數,K?V是凸弱閉子集,Ψ在K上Gteaux可微,DΨ表示其Gteaux導算子,Φ∈C1(V,).根據變分原理, 求算子方程

DΨ(u)=DΦ(u)

(2)

的解, 可轉化為在集合V上求方程Ψ(u)=Φ(u)的解, 即證明能量泛函I(u)∶=Ψ(u)-Φ(u)存在具有某種特征的臨界點.

記Ψ在K上的限制函數為

定義泛函IK:V→(-∞,+∞]為

IK(u)∶=Ψk(u)-Φ(u).

一般地, 泛函IK是非光滑的.

Moameni[1]提出的新變分原理是通過尋找泛函IK在V閉凸子集K上的臨界點得到V上I(u)的臨界點, 進而證明方程(2)解的存在性.

定理1[5]設V是自反Banach空間,Ψ:V→是真、 凸的下半連續泛函,K是V的閉凸子集,Ψ在K上處處Gteaux-可微,Φ∈C1(V;).如果下列兩個條件成立:

1)(臨界點存在條件) 泛函IK:V→(-∞,+∞]：IK(u)=ΨK(u)-Φ(u)存在臨界點u0;

2)(逐點條件) 算子方程DΨ(w)=DΦ(u0)在K中有解.

則u0是方程(2)的解, 即DΨ(u0)=DΦ(u0).

對定義在自反Banach空間V上的凸Gteaux可微且下半連續函數Φ:V→, 記Φ*為Φ的Fenchel對偶, 即

其中〈·,·〉表示V*與V的作用.令Λ: dom(Λ)?V→V*是線性對稱算子.對V的閉凸子集K, 定義ΨK:V→(-∞,+∞]:

定義泛函IK:V→(-∞,+∞]:

IK(w)∶=ΨK(w)-Φ(w).

如果DΦ(u)∈?ΨK(u), 即

ΨK(v)-ΨK(u)≥〈DΦ(u),v-u〉, ?v∈V,

則u∈dom(ΨK)稱為IK的臨界點.

下面給出定理1的另一種形式.

定理2[4]設V是自反Banach空間,Φ:V→是Gteaux-可微、 凸且下半連續泛函,K是V的閉凸子集, 線性算子Λ: dom(Λ)?V→V*是對稱正算子.如果下列兩個條件成立:

1)(臨界點存在條件) 泛函IK(w)=ΨK(w)-Φ(w)存在臨界點u0∈K;

2)(逐點條件) 線性方程Λw=DΦ(u0)在K中有解.

則u0∈K是方程Λw=DΦ(w)的解.

本文主要結果如下.

定理3設Ω為n中具有C1,1邊界的有界域, Dirichlet問題(1)有上下解滿足是常數.f:Ω×→是Carathéodory函數, 且滿足下列條件:

(i)f(x,u)關于u是增函數;

(ii) 存在02, 使得

注1這里只對非線性項f(x,u)的增長性做p>2的限制, 因此允許f(x,u)關于u是超臨界增長的.

2 主要結果的證明

則(V,‖·‖V)構成Banach空間,V*為其拓撲對偶空間.定義線性算子A: dom(A)?V→V*,Av∶=-Δv+λv.對函數f:Ω×→, 令F:Ω×→,F(x,u)=f(x,s)ds, 定義Φ:V→為

則問題(1)可改寫為Au=DΦ(u).

下面分別驗證滿足定理2的條件.

證明: 對u∈Lp(Ω),Au∈Lq(Ω)顯然成立.設u,v∈dom(A), 則

證畢.

引理2泛函Φ(u)是凸的、 Gatéaux-可微且下半連續.

證明: 因為f是Carethéodory函數且滿足定理3中增長性條件(ii), 所以Φ(u)∈C1[15], 因此Φ(u)是Gatéaux-可微和下半連續的.

下面證明泛函Φ(u)是凸的.由定理3中條件(i)知,f(x,u)關于u是增函數, 對固定的x, 有

因此F(x,u)關于u是凸函數.于是對任意u,v∈V,t∈[0,1], 有

證畢.

定義F(x,t)的Fenchel對偶F*(x,s)為

引理3Φ(u)的Fenchel對偶

證明: 對任意的v∈Lq(Ω), 由V在Lp(Ω)中的稠密性, 得

注意到F(x,0)=0,Φ(0)=0<∞, 由文獻[16]中命題2.1得

證畢.

引理4Ψ(u)是V上的凸函數.

證明: 對任意的u,v∈V和t∈[0,1], 有

下面證明IK臨界點的存在性.

即IK(u)在V中的最小值點是IK(u)的臨界點.

證明: 由于ΨK是凸的, 故有

于是

證畢.

即IK(u)有可達的下確界.

于是

于是

另一方面, 由un∈K知

綜上可得

由于V是自反的, 故存在u∈V使得un?u(或{un}的子列), 由K是閉集知u∈K.對u∈dom(Ψ),

Au=-Δu+λu∈Lq(Ω),Ψ(u)=Φ*(Au),

易驗證{un}在W2,q(Ω)中有界.于是在W2,q(Ω)中有un?u, 即u∈K∩W2,q(Ω).

下面證明ΨK(u)的弱下半連續性.令v∈Lp(Ω), 由Fenchel對偶的定義, 有

于是

對所有的v∈Lp(Ω)取上確界, 得

即ΨK(u)是弱下半連續的.

下面證明逐點條件成立.

引理7假設f(x,u)滿足定理3的條件, 則線性Dirichlet問題

(3)

考慮問題(3)對應的能量泛函

由弱極值原理得

注意到a(x)∈L∞(Ω), 故有

進一步, 存在適當的常數Ca, 使得